Geometria descrittiva dinamica
Al sommario
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
DEFINIZIONE INSIEMISTICA,
DINAMICA E DESCRITTIVA DEGLI
ELEMENTI PRIMITIVI
PUNTO, RETTA, PIANO
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1992/93 da Vanina
Facciolà della classe 5°A
dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona
per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Sommario
Copertina
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Titolo dell’argomento
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Gli elementi geometrici fondamentali:punto, retta, piano-Introduzione
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Aspetto dinamico degli elementi fondamentali della geometria descrittiva
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Codifica e decodifica degli elementi geometrici
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Dall'analisi degli elementi alla sintesi della forma
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Il punto: caratteristiche geometriche e descrittive
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Caratteristiche topologiche: punto reale e punto improprio
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Conclusioni
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La linea:caratteristiche geometriche e descrittive
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La linea retta: caratteristiche geometriche e descrittive
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La semiretta:caratteristiche geometriche e descrittive
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Il segmento: caratteristiche geometriche e descrittive
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La superficie rigata piana o piano geometrico
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Il semipiano: caratteristiche geometriche e descrittive
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(omesso)
(omesso)
(omesso)
(omesso)
Tipologia piano geometrico
(omesso)
Caratterizzazione dimensionale e formale del piano geometrico
(omesso)
Abaco delle formalizzazioni
(omesso in parte)
Sommario
Gli elementi geometrici fondamentali:
punto, retta, piano - Introduzione (1)
Ambiente
Le foto sono state estratte da “Ville
e Giardini” nn° 269 – 280 –Editore
Elemond s.p.a. Milano
L’ambiente
in
cui
viviamo,
sia
esso
naturale
che
artificiale, è costituito
da elementi e forme
fisiche
che
hanno
consistenza
bidimensionale
e/o
tridimensionale; esse
possono
essere
ricondotte, comunque,
a forme geometriche
elementari sia solide
che piane. Per fare
questo è necessario
scomporre
ogni
elemento negli enti
fondamentali:
punto,
retta e piano.
Scomposizione
Gli elementi geometrici fondamentali
Punto,Retta,Piano - Introduzione (2)


Le forme geometriche fondamentali si compongono ed articolano
nello spazio in modo vario e diverso dando vita ad elementi più o
meno complessi che costituiscono l'ambiente e caratterizzano il
luogo ove si collocano, sia per generazione naturale che per
produzione manuale ed artificiale .
Riveste perciò particolare importanza acquisire la capacità di leggere ed
analizzare gli elementi che ci circondano per ricondurli a figure geometriche
piane e/o forme geometriche solide .

Operata questa prima lettura è possibile analizzare le forme individuate
scomponendole negli elementi geometrici primari.

Questa operazione di scomposizione ci dà l'opportunità di individuare le leggi
e le strutture elementari, ma fondamentali, delle figure e delle forme
geometriche che, poi, trattate sulla superficie definiscono l'ambiente e
caratterizzano il luogo fisico ove si collocano.
Sommario
Aspetto dinamico degli elementi
fondamentali della geometria descrittiva
Se pensiamo alle forme ed
alle figurazioni geometriche non
come oggetti ed elementi finiti,
definiti e conclusi, ma come
risultanti di articolazioni spaziali in
divenire degli elementi fondamentali,
è
necessario
immaginare
una
descrizione dinamica della geometria
e delle relative forme e figurazioni
che
si
definiscono
in
una
elaborazione dinamica e rispondono a
precise e definite leggi ed operazioni
geometrico-descrittive. Per questo,
gli appunti che seguono, definiscono
Pertanto
anzitutto
gli
elementi
della
geometria descrittiva nel loro
PUNTO
aspetto
dinamico
con
origine
RETTA
dall'ente principale: il "punto" per
PIANO passare, poi, all’insieme "retta" ed ai
suoi sottoinsiemi per arrivare alla
definizione degli insiemi "piano” e
costituiscono, in sintesi, gli
elementi di base di tutte le forme
geometriche che definiscono
l'ambiente in cui viviamo.
semipiano, ciascuno con le specifiche
caratteristiche
insiemistichedinamico- descrittive (fig.01).
Sommario
Codifica e decodifica degli
elementi geometrici
Per questo, volendo descrivere
graficamente, con linguaggio geometrico, gli
elementi che determinano l'ambiente è
necessario acquisire capacità di lettura
delle immagini per conoscere, bene, (Fig.02,
Fig.03, Fig. 04) sia gli elementi geometrici
singoli che gli insiemi costituitisi, che le
leggi mediante le quali gli stessi si
articolano e si compongono in insiemi di
figure e forme geometriche (codifica) che
le operazioni grafiche per mezzo delle quali
è possibile la lettura e la descrizione
(decodifica) dinamica degli stessi.
Sommario
Dall’analisi degli elementi alla sintesi della forma
Su quanto considerato si innesta la necessità di definire
alcune considerazioni per ragionare di dinamicità nella
rappresentazione geometrica in modo da poter passare
da una descrizione geometrica statica ad una
elaborazione descrittiva dinamica mediante la ricerca, lo
studio, l'applicazione, la lettura, la composizione e la
definizione di processi creativi fondati su elementi
geometrici che si compongono, nel tempo e nello spazio,
sulla base di leggi insiemistiche-geometrico-descrittive
che fanno riferimento ai concetti di una
GEOMETRIA
DESCRITTIVA
DINAMICA
L’oggetto rappresentato (Fig.05) è stato ottenuto componendo, nello spazio e nel tempo ,
mediante un processo elaborativo mentale e pratico, gli elementi geometrici analizzati nella pagina
precedente: un pentagono, un rombo e un rettangolo. Queste sono figure piane delimitate da un
perimetro chiuso costituito da lati che, geometricamente, sono segmenti di rette complanari; mentre
le rette, intersecandosi, generano i vertici che, dal punto di vista geometrico, sono punti. Questa
immagine, pur se complessa, può essere scomposta negli elementi geometrici primari delle precedenti
figure 02, 03, 04: Punto, Retta, Piano.
Infatti:
I VERTICI possono essere riguardati come PUNTI.
Gli SPIGOLI possono essere riguardati come segmenti di RETTE.
Le FACCE possono essere riguardate come porzioni di PIANI.
Così operando la figurazione risultante rappresenta la sintesi di un processo elaborativo e descrittivo che integra, in
continuo, nel suo divenire, concetti teorici geometrici ed insiemistici, acquisizioni metodologiche ed elaborazioni
grafiche tra elementi aventi caratteristiche comuni.
Il punto geometrico
Sommario
ENTE
GEOMETRICO
Perché deve essere
inteso come qualcosa che
esiste concettualmente
Perché riferito, in
modo specifico al
campo della geometria
ADIMENSIONALE
Perché privo di ogni
dimensione: altezza, peso
lunghezza, larghezza,, ecc.
Alcuni esempi di punto geometrico
Caratteristiche topologiche: punto reale
e punto improprio
Ampliando l'ambito operativo dello spazio geometrico-descrittivo con il concetto di infinito ) il
punto può caratterizzarsi come "ente reale" o "ente improprio" a seconda che la sua ubicazione spaziale
sia riconducibile all'interno di un luogo geometrico; finito e reale, oppure in un luogo geometrico dello
spazio infinito
Contraddistinguiamo, pertanto, il "punto reale"
(Fig.14) come l'elemento geometrico primario
collocato nello spazio finito di un determinato
luogo geometrico e lo indichiamo, sia nei disegni e
nelle figure, che nello scritto di questi appunti,
con le lettere maiuscole dell'alfabeto A, B, C, D
Punto reale: Ente geometrico collocato nello spazio finito
Caratterizziamo, invece, il "punto improprio"
(Fig.15) come l'ente geometrico primario
collocato in un luogo dello spazio infinito, e lo
indichiamo, sia nei disegni che nelle figure, che
nello scritto di questi appunti con le annotazioni,
come di seguito: A, B, C, D ,....
Punto improprio: Ente geometrico collocato nello spazio infinito
Sommario
Conclusioni (1)
Il punto così definito e caratterizzato rappresenta l’elemento primigenio e
fondamentale della Geometria descrittiva dinamica di cui, in particolare si
tratta nei seguenti appunti
Quanto di seguito si basa, infatti, su uno stretto rapporto tra Geometria
descrittiva ed Insiemistica con i relativi scopi e le specifiche caratteristiche di
seguito enunciate
Per quanto attiene la “Geometria descrittiva” trattasi dello studio “... Dei
metodi di rappresentazione e quindi implicitamente,di tutti quei metodi
che consentono di costruire immagini di figure e quindi di tradurre i
problemi geometrici in termini puramente rappresentativi...” (1) il cui
scopo “...è la rappresentazione delle figure dello spazio sopra un
piano...in modo che dalla rappresentazione si possa risalire all’oggetto
rappresentato, determinando così ogni elemento di esso in forma e
grandezza” (2)
(1) Dante Nannoni, Il mondo delle proiezioni, vol.I, Cappelli, Bologna, 1980
(2) E. Bompiani – C. Longo, Geometria descrittiva, Eredi Virgilio Veschi, Roma 1968
Conclusioni (2)
Il concetto di insieme si è venuto a delineare, con le sue
caratteristiche scientifiche, alla fine del secolo XIX. Per quanto
attiene l’Insiemistica si ricorda che “Nel 1897, Georg Cantor,
creatore della teoria degli insiemi, definiva un insieme
come “l’unione in un tutto di oggetti del nostro intuito o del
nostro pensiero, ben determinati e differenziabili gli uni
dagli altri” (1)
A seguito di studi approfonditi e discussioni, questa definizione iniziale
ha subito modifiche e precisazioni all’inizio del secolo XX, ma non per
questo ha perso di validità ed importanza.
Negli appunti che seguono essa va intesa come studio e ricerca di
rapporti geometrici connettivi ed applicazione di processi logicodescrittivi tra elementi e “...classi di elementi che vengono
indicati per una loro caratteristica comune” (2)
(1)R. Faure – A. Kaufmann – M.Denis-Papin, Manuale di matematica, ISEDI, Milano, 1976
(2)Remo Sandron, Dizionario fondamentale della lingua italiana, De Agostini, Novara, 1994
Sommario
La linea: caratteristiche geometriche e descrittive
considerazioni introduttive e presentazione
Tra le forme geometriche di terza specie, di norma, vi si colloca il cosiddetto "spazio di punti" o
"spazio punteggiato”, intendendo con esso il luogo geometrico costituito da tutti i punti dello spazio
fisico tridimensionale.
Se immaginiamo questo "spazio di punti" non statico ma dinamico, allora vuol dire che ogni punto può
muoversi liberamente, occupando, istante per istante, posizioni diverse all'interno di un luogo o di un
ambito definito. Sulla base di questa presupposizione, un punto in movimento nello spazio descrive, con
il suo spostarsi, una linea l.
Linea curva(fig.16)
Linea spezzata
(fig.17)
Le linee curva, spezzata e mista possono essere, a loro volta, aperte, chiuse, semplici o
intrecciate
Linea mista (fig.18)
Linea retta
(fig.19)
La linea: caratterizzazione dinamica ed insiemistica
Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni
punto in movimento nello spazio si può associare
una linea, che assume, a seconda del percorso
che descrive una specifica caratterizzazione
con relativa denominazione (Fig.20).
Dal punto di vista geometrico e dinamicodescrittivo possiamo riassumere il concetto di
cui sopra con la seguente espressione
insiemistica:
~  W
 P

~  l
 ! l| P
Ogni punto in movimento casuale nello spazio implica l’esistenza di una
ed una sola linea l
Legenda dei simboli
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
P = Punto in movimento casuale.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
l = Linea generata da un punto dinamico.
| = Quantificatore insiemistico universale (tale che).
La linea:
caratterizzazione spaziale e descrittiva
Dalle considerazioni dinamiche e dalle esemplificazioni
grafiche di cui sopra possiamo dedurre quanto di
seguito. Se il punto P si muove, nello spazio, in modo
casuale, si può affermare che esso descrive una linea
che può caratterizzarsi come quella della fig. 21 e
configurarsi come "linea sghemba" (se il punto, nel
movimento,
occupa
un
luogo
geometrico
tridimensionale), o come "linea piana" (Fig.22) (se il
punto, nello spostarsi occupa un luogo geometrico
piano).Pertanto, nell'uno o nell'altro caso, si può
concludere, sintetizzando il concetto con la seguente
formalizzazione dinamico-descrittiva della linea l.
l

+
 
~
P


l = Linea l generata da un punto P in movimento casuale.
S = Sommatoria delle posizioni di P in movimento casuale.
- + = Estremi impropri della sommatoria.
{P} = Insieme delle posizioni del punto geometrico in movimento casuale.
La linea dinamico-geometrica- è costituita dalla sommatoria infinita dell’insieme
delle posizioni di un punto P che si muove in modo casuale nello spazio
bidimensionale e/o tridimensionale
La linea:
caratterizzazione spaziale e descrittiva (2)
Volendo estendere la natura dinamico-descrittiva del punto quale ente generatore
fondamentale della geometria in generale e della geometria descrittiva in particolare, si
può enunciare, come di seguito, la proprietà principale dell'elemento "linea" della
"Geometria descrittiva dinamica
In uno spazio geometrico punteggiato, per ogni punto in movimento casuale,
si genera un insieme, non vuoto, chiamato "linea" costituito dalla sommatoria, estesa
da - a +, dell’insieme di tutte le posizioni del punto P in movimento casuale nella
spazio bidimensionale e/o tridimensionale.
La formalizzazione sintetica insiemistica-dinamico-descrittiva assume, pertanto,
il seguente aspetto.
~
 P  W   ! l

 
~
P
~
| P  l
-
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito
Ogni punto in movimento casuale implica l’esistenza di uno ed un solo insieme
linea costituito dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni del punto P
in movimento nello spazio stesso
Sommario
La linea retta: caratteristiche geometriche
e descrittive
Se il punto P si muove nello spazio secondo una
direzione unica e definita, allora si dirà che il
punto è in "movimento orientato" (Fig.23).
In questo caso la linea l sarà contenuta da un
piano (fig.24) assumendo il nome di "linea
retta", che per facilità di esposizione si
indicherà semplicemente con il termine
"retta".
Didascalicamente, verrà indicata, sia nei disegni che nelle figure che negli scritti dei seguenti appunti,
con le lettere minuscole dell'alfabeto: esempio a, b, c, d,...
La caratterizzazione descrittiva ed insiemistica verrà definita nelle pagine successive.Come il
punto, anche la retta può essere un elemento geometrico reale oppure un elemento geometrico
improprio. La retta sarà un elemento reale quando il suo campo di esistenza ricade in un luogo
geometrico reale; viceversa sarà un elemento geometrico improprio quando il suo campo di esistenza
ricade in un logo geometrico improprio come ad esempio nel caso di retta intersezione tra due piani
paralleli.
Le didascalie sono le seguenti:
rette reali = a, b, c, d, ...
rette improprie = a , b, c, d, ...
Formalizzazione delle caratteristiche
geometrico-descrittive
La retta r è costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle
posizioni di un punto P che si muove nello spazio secondo una direzione stabilita.
r

+ 

-
P 
dove:
r = Linea retta
{P
 } = Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato.
 = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio.
-;+ = Estremi impropri della sommatoria.
Quanto sopra può applicarsi ad ogni punto riguardato in senso dinamico per cui, poiché nello spazio i punti sono infiniti e
le direzioni sono anch'esse infinite, possiamo sintetizzare, per la retta, la seguente espressione insiemistica:
 P  W  !r|P  r
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
P = Punto in movimento definito ed orientato.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
r = Linea retta
| = Quantificatore insiemistico universale (Tale che).
che si legge
Per ogni punto in movimento orientato nello spazio esiste una ed una sola retta
Formalizzazione delle caratteristiche
geometrico-descrittive (2)
Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemisticogeometrico-descrittiva della retta come di seguito, la cui formalizzazione sintetica
assume la seguente forma
 P  W  !r
 

-
 P | P  r
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di
seguito.
Ogni punto in movimento orientato implica l’esistenza di una ed
una sola linea che assume il nome di “retta” ed è costituita dalla
sommatoria orientata, estesa da - a + , dell'insieme costituito dalle
posizioni del punto P in movimento orientato nello spazio
Elementi necessari alla definizione della retta
Sulla base delle considerazioni sviluppate, dato uno spazio, sia piano che solido, per definire, univocamente, una
retta possiamo utilizzare due metodi, a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive.
La definizione geometrica classica postula che una retta
è tale, ed univocamente definita, quando coincide con la linea
che passa per due punti distinti con il minore sviluppo (Fig.25).
Per cui dati due punti A e B si possono tracciare infinite linee
che passano per essi ma una, ed una sola linea retta. Se i due
punti, pur diversi, coincidono A  B siamo, fisicamente, in
presenza di un unico punto e pertanto per un punto possono
passare infinite rette complanari determinando un fascio di
rete , oppure infinite rette dello spazio determinando una
stella di rete.
Se consideriamo l’aspetto dinamico della geometria e
quindi la retta come elemento generato da un punto in
movimento orientato, sarà sufficiente definire un solo punto P
ed una direzione d per determinare univocamente una ed una
sola retta (Fig. 26) . Date infatti le infinite direzioni
esistenti nello spazio e/o sul piano, se si assegna una
determinata direzione d di spostamento ad un punto P, ci
sarà solo una retta che con quella direzione assegnata
passerà per il punto P dato.
Concludendo, per definire descrittivamente una retta possiamo utilizzare, a secondo dei casi, uno dei
seguenti metodi:
a) retta passante per due punti distinti e non coincidenti.
b) retta passante per un punto secondo una direzione assegnata.
Abaco delle formalizzazioni (1)
Sommario
Elementi
geometrici
Espressioni
Insiemistica
Linea l
punteggiata
Descrittiva
~
 ! l| P  l

l

+
 

~
P
Descrittiva

 
~  W   ! l
 P
~
| P
 l
Formalizzazioni
 P  W  !r|P  r
r

+ 

-
Insiemisticodescrittiva
~
P
-
Espressioni
Insiemistica
Retta r
punteggiata
~
 P  W

Insiemisticodescrittiva
Elementi
geometrici
Formalizzazioni
 P  W   ! r
 

-
P 
 P | P
 r