GEOmetria DEScrittiva DINamica
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
DEFINIZIONI INSIEMISTICA,
DINAMICA E DESCRITTIVA DEGLI
ELEMENTI PRIMITIVI
PUNTO, RETTA, PIANO
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1992/93 da Vanina
Facciolà della classe 5°A
dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona
per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva”
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Prof. Elio Fragassi
Gli elementi geometrici fondamentali
Punto,Retta,Piano (1)
Ambiente
Le foto sono state estratte da “Ville
e Giardini” nn° 269 – 280 –Editore
Elemond s.p.a. Milano
L’ambiente
in
cui
viviamo, sia naturale
che
artificiale,
è
costituito da elementi
e forme fisiche che
hanno
consistenza
bidimensionale
e/o
tridimensionale; esse
possono
essere
ricondotte, comunque,
a forme geometriche
elementari sia solide
che piane. Per fare
questo è necessario
scomporre
ogni
elemento negli enti
fondamentali: punto,
retta e piano.
Scomposizione
Gli elementi geometrici fondamentali
Punto,Retta,Piano (2)


Le forme geometriche fondamentali, infatti, si compongono ed
articolano nello spazio in modo vario e diverso dando vita ad elementi
più o meno complessi che costituiscono l'ambiente e caratterizzano il
luogo ove si collocano, sia per generazione naturale che per
produzione manuale ed artificiale .
Riveste perciò particolare importanza acquisire la capacità di leggere ed
analizzare gli elementi che ci circondano per ricondurli a figure geometriche
piane e/o forme geometriche solide .

Operata questa prima lettura globale è possibile analizzare le forme
individuate scomponendole negli elementi geometrici primari.

Questa operazione di scomposizione ci dà l'opportunità di individuare le leggi
e le strutture elementari, ma fondamentali, delle figure e delle forme
geometriche che, poi, trattate sulla superficie definiscono l'ambiente e
caratterizzano il luogo fisico ove si collocano.
Aspetto dinamico degli elementi fondamentali
della geometria descrittiva

Pertanto,
PUNTO ,
RETTA
e PIANO
costituiscono, in sintesi, gli elementi di
base di tutte le forme geometriche
che definiscono l'ambiente in cui
viviamo.
Se pensiamo alle forme ed alle
figurazioni
geometriche
non
come
oggetti ed elementi finiti, definiti e
conclusi,
ma
come
risultanti
di
articolazioni spaziali in divenire degli
elementi fondamentali, è necessario
immaginare una descrizione dinamica
della geometria e delle relative forme e
figurazioni che si definiscono in una
elaborazione dinamica e rispondono a
precise e definite leggi ed operazioni
geometrico-descrittive. Per questo, gli
appunti
che
seguono,
definiscono
anzitutto gli elementi della geometria
descrittiva nel loro aspetto dinamico con
origine dall'ente principale: il "punto" per
passare, poi, all’insieme "retta" ed ai suoi
sottoinsiemi per arrivare alla definizione
degli insiemi "piano” e semipiano ,
ciascuno
con
le
specifiche
caratteristiche insiemistiche-dinamicodescrittive (fig.01).
Codifica e decodifica degli elementi
geometrici

Per questo, volendo descrivere
graficamente, con linguaggio geometrico,
gli elementi che determinano l'ambiente è
necessario acquisire capacità di lettura
delle immagini per conoscere, bene,
(Fig.02, Fig.03, Fig. 04) sia gli elementi
geometrici singoli che gli insiemi
costituitisi, che le leggi mediante le
quali gli stessi si articolano e si
compongono in insiemi di figure e forme
geometriche (codifica) che le operazioni
grafiche per mezzo delle quali è possibile
la lettura e la descrizione (decodifica)
dinamica degli stessi.
Dall'analisi degli elementi alla sintesi della forma
Su quanto considerato si innesta la necessità di
definire alcune considerazioni per ragionare di dinamicità
nella rappresentazione geometrica in modo da poter passare
da una descrizione geometrica statica ad una elaborazione
descrittiva dinamica mediante la ricerca, lo studio,
l'applicazione, la lettura, la composizione e la definizione di
processi creativi fondati su elementi geometrici che si
compongono, nel tempo e nello spazio, sulla base di leggi
insiemistiche-geometrico-descrittive che fanno riferimento
ai concetti di una
GEOMETRIA
DESCRITTIVA
DINAMICA
L’oggetto rappresentato (Fig.05) è stato ottenuto componendo, nello spazio e nel tempo , mediante un processo
elaborativo mentale e pratico, gli elementi geometrici analizzati nella pagina precedente: un pentagono, un rombo e un
rettangolo. Queste sono figure piane delimitate da un perimetro chiuso costituito da lati che, geometricamente, sono
segmenti di rette complanari; mentre le rette, intersecandosi, generano i vertici che, dal punto di vista geometrico,
sono punti. Questa immagine, pur se complessa, può essere scomposta negli elementi geometrici primari delle
precedenti figure 02, 03, 04: Punto, Retta, Piano.
Infatti:
I VERTICI possono essere riguardati come PUNTI.
Gli SPIGOLI possono essere riguardati come segmenti di RETTE.
Le FACCE possono essere riguardate come porzioni di PIANI.
Così operando la figurazione risultante rappresenta la sintesi di un processo elaborativo e descrittivo che integra, in
continuo, nel suo divenire, concetti teorici geometrici ed insiemistici, acquisizioni metodologiche ed elaborazioni
grafiche tra elementi aventi caratteristiche comuni.
Il punto geometrico
ENTE
GEOMETRICO
Perché deve essere
inteso come qualcosa che
esiste concettualmente
Perché riferito, in
modo specifico al
campo della geometria
ADIMENSIONALE
Perché privo di ogni
dimensione: altezza,
lunghezza, larghezza, peso,
Alcuni esempi di punto geometrico
Caratteristiche fisiche: punto reale e punto improprio
Ampliando l'ambito operativo dello spazio geometrico-descrittivo con il concetto di infinito ) il punto può
caratterizzarsi come "ente reale" o "ente improprio" a seconda che la sua ubicazione spaziale sia riconducibile
all'interno di un luogo geometrico; finito e reale, oppure in un luogo geometrico dello spazio infinito
Contraddistinguiamo, pertanto, il "punto reale"
(Fig.14) come l'elemento geometrico primario
collocato nello spazio finito di un determinato luogo
geometrico e lo indichiamo, sia nei disegni e nelle
figure, che nello scritto di questi appunti, con
le lettere maiuscole dell'alfabeto A, B, C, D
Punto reale: Ente geometrico collocato nello spazio finito
Caratterizziamo, invece, il "punto improprio"
(Fig.15) come l'ente geometrico primario
collocato in un luogo dello spazio infinito, e lo
indichiamo, sia nei disegni che nelle figure, che
nello scritto di questi appunti con le annotazioni,
come di seguito: A, B, C, D ,....
Punto improprio: Ente geometrico collocato nello spazio infinito
La linea
Tra le forme geometriche di terza specie, di norma, vi si colloca il cosiddetto "spazio di punti" o
"spazio punteggiato”, intendendo con esso il luogo geometrico costituito da tutti i punti dello
spazio fisico tridimensionale.
Se immaginiamo questo "spazio di punti" non statico ma dinamico, allora vuol dire che ogni punto può
muoversi liberamente, occupando, istante per istante, posizioni diverse all'interno di un luogo o di un
ambito definito. Sulla base di questa presupposizione, un punto in movimento nello spazio descrive, con
il suo spostarsi, una linea l.
Linea curva(fig.16)
Linea spezzata
(fig.17)
Linea mista (fig.18)
Linea retta
(fig.19)
La linea: caratterizzazione dinamica ed insiemistica
Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni punto
in movimento nello spazio si può associare una
linea, che assume, a seconda del percorso che
descrive una specifica caratterizzazione con
relativa denominazione (Fig.20).
Dal punto di vista geometrico e dinamicodescrittivo possiamo riassumere il concetto di cui
sopra con la seguente espressione insiemistica:
~  W
 P

~  l
 ! l| P
Ogni punto in movimento casuale nello spazio implica l’esistenza di una
ed una sola linea l
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
Legenda dei simboli
P = Punto in movimento casuale.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
l = Linea generata da un punto dinamico.
| = Quantificatore insiemistico universale (tale che).
La linea:
caratterizzazione spaziale e descrittiva
Dalle considerazioni dinamiche e dalle esemplificazioni
grafiche di cui sopra possiamo dedurre quanto di seguito.
Se il punto P si muove, nello spazio, in modo casuale, si può
affermare che esso descrive una linea che può caratterizzarsi
come quella della fig. 21 e configurarsi come "linea sghemba"
(se il punto, nel movimento, occupa un luogo geometrico
tridimensionale), o come "linea piana" (Fig.22) (se il punto,
nello spostarsi occupa un luogo geometrico piano).
Pertanto, nell'uno o nell'altro caso, si può concludere,
sintetizzando il concetto con la seguente formalizzazione
dinamico-descrittiva della linea l.
l

+
 
~
P


l = Linea l generata da un punto P in movimento casuale.
S = Sommatoria delle posizioni di P in movimento casuale.
- + = Estremi impropri della sommatoria.
{P} = Insieme delle posizioni del punto geometrico in movimento casuale.
La linea geometrica-dinamica è costituita dalla sommatoria infinita
dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove casualmente nello
spazio bidimensionale e/o tridimensionale
La linea:
caratterizzazione spaziale e descrittiva (2)

Volendo estendere la natura dinamico-descrittiva del punto quale ente generatore
primario e fondamentale della geometria in generale e della geometria descrittiva in
particolare, si può enunciare, come di seguito, la proprietà principale dell'elemento "linea"
della "Geometria Descrittiva Dinamica"
In uno spazio geometrico punteggiato, per ogni punto in movimento casuale,
si genera un insieme, non vuoto, chiamato "linea" costituito dalla sommatoria,
estesa da - a , dell’insieme di tutte le posizioni del punto P in movimento
casuale nella spazio bidimensionale e/o tridimensionale.
La formalizzazione sintetica insiemistica-dinamico-descrittiva assume, pertanto, il seguente aspetto.
~
 P  W   ! l

 
~
P
~
| P  l
-
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito
Ogni punto in movimento casuale implica l’esistenza di uno ed un solo
insieme linea costituito dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni
del punto P in movimento nello spazio
La linea retta: caratteristiche geometriche e
descrittive
Se il punto P si muove nello spazio secondo
una direzione unica e definita, allora si dirà
che il punto è in "movimento orientato"
(Fig.23).
In questo caso la linea l sarà contenuta da
un piano (fig.24) assumendo il nome di
"linea retta", che per facilità di
esposizione si indicherà semplicemente
con il termine "retta".
Didascalicamente, verrà indicata, sia nei disegni che nelle figure che negli scritti dei seguenti appunti, con le lettere
minuscole dell'alfabeto: esempio a, b, c, d,...
La caratterizzazione descrittiva ed insiemistica verrà definita nelle pagine successive.Come il punto, anche la
retta può essere un elemento geometrico reale oppure un elemento geometrico improprio. La retta sarà un elemento
reale quando il suo campo di esistenza ricade in un luogo geometrico reale; viceversa sarà un elemento geometrico
improprio quando il suo campo di esistenza ricade in un logo geometrico improprio come ad esempio nel caso di retta
intersezione tra due piani paralleli.
Le didascalie sono le seguenti:
rette reali = a, b, c, d, ...
rette improprie = a , b, c, d, ...
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive
La retta r è costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle
posizioni di un punto P che si muove secondo una direzione stabilita nello spazio.
r

+ 

P 
dove:
-
r = Linea retta
{ P} = Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato.
 = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio.
-;+ = Estremi impropri della sommatoria.
Quanto sopra può applicarsi ad ogni punto riguardato in senso dinamico per cui, poiché nello spazio i punti sono infiniti e le
direzioni sono anch'esse infinite, possiamo sintetizzare, per la retta, la seguente espressione insiemistica:
 P  W  !r|P  r

P = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
= Punto in movimento definito ed orientato.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
r = Linea retta
| = Quantificatore insiemistico universale (Tale che).
che si legge
Per ogni punto in movimento definito ed orientato nello spazio, esiste una ed una sola retta
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive (2)
Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemisticogeometrico-descrittiva della retta come di seguito, la cui formalizzazione sintetica
assume la seguente forma
 P  W  !r
 

-
 P | P  r
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito.
Ogni punto in movimento orientato implica l’esistenza di una ed
una sola linea che assume il nome di “retta” r ed è costituita dalla
sommatoria orientata, estesa da - a + , dell'insieme costituito dalle
posizioni del punto P in movimento orientato e definito nello spazio
Elementi necessari alla definizione della retta
Sulla base delle considerazioni sviluppate, dato uno spazio, sia piano che solido, per definire, univocamente, una
retta possiamo utilizzare due metodi, a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive.
La definizione geometrica classica postula che una retta
è tale, ed univocamente definita, quando coincide con la linea
che passa per due punti distinti con il minore sviluppo (Fig.25).
Per cui dati due punti A e B si possono tracciare infinite linee
che passano per essi ma una, ed una sola linea retta. Se i due
punti, pur diversi, coincidono A º B siamo, fisicamente, in
presenza di un unico punto e pertanto per un punto possono
passare infinite rette complanari determinando un fascio di
rete , oppure infinite rette dello spazio determinando una
stella di rete.
Se consideriamo l’aspetto dinamico della geometria e
quindi la retta come elemento generato da un punto in
movimento orientato, sarà sufficiente definire un solo punto P
ed una direzione d per determinare univocamente una ed una
sola retta (Fig. 26) . Date infatti le infinite direzioni
esistenti nello spazio e/o sul piano, se si assegna una
determinata direzione d di spostamento ad un punto P, ci
sarà solo una retta che con quella direzione assegnata
passerà per il punto P dato.
Concludendo, per definire descrittivamente una retta possiamo utilizzare, a secondo dei casi, uno dei
seguenti metodi:
a) retta passante per due punti distinti e non coincidenti.
b) retta passante per un punto secondo una direzione assegnata.
Continua con
Semiretta
 Segmento
 Superficie
 Piano rigato
 Piano punteggiato
 Semipiano

Gli elementi geometrici di cui sopra sono stati
omessi dalla trattazione
Abaco delle formalizzazioni
Elementi
geometrici
Espressioni
Insiemistica
Linea l
punteggiata

l
+
 
~
P


~  W
 P

 ! l

 
~
P
|
~  l
P
-
Formalizzazioni
 P  W  !r|P  r
Descrittiva
Insiemisticodescrittiva
~
 ! l| P  l

Espressioni
Insiemistica
Retta r
punteggiata
~
 P  W
Descrittiva
Insiemisticodescrittiva
Elementi
geometrici
Formalizzazioni
r

+ 

-
 P  W

 ! r 
P 
 

-
 P | P
 r