Problema della distanza tra due
punti
Confronto tra approccio analitico e
approccio geometrico
Introduzione
Sappiamo che il minimo della distanza tra due
punti nello spazio viene realizzato dal
segmento tra i due.
Ma cosa succede se tra i punti A e B viene posto
un ostacolo con ben precise regole per
attraversarlo?
Presentazione grafica
Approccio analitico
Il modo più naturale per affrontare un problema
di minimo è fissare innanzitutto un sistema di
coordinate.
Approccio analitico
Approccio analitico
Quindi scegliere una o più incognite (in modo
opportuno) e definire la funzione che andrà
poi minimizzata.
Approccio analitico
Approccio analitico
La distanza tra A e B è descritta dalla funzione
f(x)=[(a-d-h)^2+x^2]^(1/2)+
+[d^2+(b-x)^2]^(1/2)
Dobbiamo poi verificare che la funzione trovata sia
definita, continua e derivabile almeno
nell’intervallo che ci interessa, cioè [0,b]. Nel
nostro caso lo è.
Approccio analitico
Per trovare il minimo/massimo di una funzione
la dobbiamo derivarla e annullare la derivata.
Nel nostro caso si vede
graficamente/sperimentalmente che,
nell’intervallo che ci interessa, la funzione è
prima decrescente e poi crescente, per cui
esiste un unico punto in cui la derivata si
annulla e in tale punto si raggiunge il minimo.
Approccio analitico
Provando a fare un po’ di conti si vede che non è
per nulla semplice trovare un x in [0,b] tale
che f’(x)=0.
Approccio geometrico
Il metodo analitico, in questo caso, è
fallimentare.
Vediamo però che si trova la soluzione con
semplici considerazioni geometriche.
Approccio geometrico
Come ricordato all’inizio, il minimo della
distanza tra due punti viene realizzato dalla
congiungente tra essi.
Dato che la larghezza del fiume è costante, essa
non influisce nella ricerca del minimo.
Trasliamo quindi il segmento X’B di una
lunghezza h (ampiezza del fiume) e
minimizziamo la somma AX’’+X’B.
Approccio geometrico
Approccio geometrico
Il problema si riconduce quindi a minimizzare la
distanza tra i punti A e B’, ignorando il fiume.
E’ evidente che la soluzione è il segmento AB’.
Traslando nuovamente B’ in B otteniamo il
percorso minimo.
Approccio geometrico
Soluzione
La soluzione è
x=[b(a-d-h)/(a-h)]
Presentazione degli strumenti
geometrici utilizzati
Intuitivamente questa soluzione geometrica è
efficace. Vediamo cosa viene effettivamente
usato nella dimostrazione formale:
• Proprietà del parallelogramma
• Proprietà degli angoli
Presentazione degli strumenti
geometrici utilizzati
Presentazione degli strumenti
geometrici utilizzati
E per finire…
Stavolta non è possibile attraversare il lago.
Qual è il minimo percorso tra A e B?