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2
1
5
6
4
6
4
9
1
6
5
5
6
4
7
6
5
2
5
5
6
Il triangolo di Tartaglia è stato ideato da Niccolò Fontana, detto il
Tartaglia, nato a Brescia nel 1499 e morto a Venezia il 13
Dicembre 1557. Il soprannome “Tartaglia” gli fu dato poiché nel
1512 fu ferito alla mandibola e al palato che a 12 anni gli
procurò un'accentuata balbuzie; anche una volta diventato
famoso decise di mantenere il soprannome. La sua fama in
campo matematico è legata alla scoperta della regola, già
intuita da Scipione Dal Ferro, che permette di risolvere
l’equazione algebrica di terzo grado, nota come «la regola di
Cardano».
Nei suoi scritti, si vanta infatti di essere andato a scuola di
scrittura solo per 15 giorni, all'età di 14 anni. Grazie alla sua
abilità, poté comunque guadagnarsi da vivere a Verona, dove fu
insegnante di matematica dal 1521 . Il triangolo era già noto
prima di Tartaglia ai cinesi. Diede anche un importante
contributo alla diffusione delle opere dei matematici antichi.
Il Triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti binomiali,
ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.
Si costruisce mettendo alla sommità il numero 1, nella riga successiva una coppia di 1 e per le righe
successive si procede ponendo all’inizio sempre 1, mentre gli altri numeri si ottengono sommando via via
le coppie di numeri che li precedono e li seguono nella riga superiore. Si può così continuare all’infinito…
Se proviamo a scrivere le potenze dei binomi che conosciamo, ovvero (a+b) 0, (a+b)
1, (a+b) 2, (a+b) 3 ,i risultati sono:
(a+b)0 =
1
(a+b)1 =
a
+ b
(a+b)2 = a2 +2ab +b2
(a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3
Possiamo subito osservare che tutti i risultati sono polinomi ordinati secondo la potenza
decrescente della lettera a e secondo la potenza crescente della lettera b, sono anche completi ed
infine la potenza del primo termine corrisponde alla potenza del binomio.
quindi se devo calcolare:
(a+b)4= ? ? ?
Non temete! Grazie al triangolo di Tartaglia il risultato che andremo ad ottenere è il
seguente:
(a+b)4= a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4
1
1 +
1 + 3
1 + 4 +
1
+
2
+
6
1
+ 1
3 + 1
+ 4 + 1
= 1
= 2
= 4
= 8
= 16
* Sommando i numeri di ciascuna riga, escludendo la prima che
contiene esclusivamente il numero uno, si ottengono potenze di 2.
Differenza nelle righe:
1
1 1 - 3
1 - 4 +
2
+
6
1
+ 1
3 - 1
- 4 + 1
=
=
=
=
0
0
0
0
* La somma dei numeri in posto dispari (1°,3°,5°,…) meno la somma dei numeri al posti
pari (2°,4°,6°,…) dà zero.
Potenze di undici:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
=
=
=
=
=
1
11
121
1331
14641
*Leggendo i numeri per esteso (orizzontalmente) di ogni riga, si ottiene la potenza di 11.
È importante notare che dalla 5° riga in poi l’equivalenza con le potenze di 11 è verificata
solo se ottiene conto dei riporti.
Se si sommano i numeri in diagonale, nel modo indicato nella figura, si ottiene la
successione di Fibonacci.
Somma delle diagonali:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
*Sommando sulle «infinite» diagonali i numeri (1+3+6+10) otteniamo il
numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20).
Hanno collaborato:
Minniti Francesco e Alessandro Pregoni
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IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA