è una disposizione geometrica a
forma di triangolo dei coefficienti
binomiali, ossia dei coefficienti
dello sviluppo del binomio (a+b)
elevato ad una qualsiasi potenza n.
Triangolo di
Tartaglia
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di
questa costruzione si ottengono come somma di due
elementi adiacenti della riga precedente.
Sappiamo che:
(a+b)º=1
(a+b)¹=a+b
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Ma non sappiamo come si risolve:
(a+b)
Per risolvere questo quesito possiamo aiutarci
proprio con il Triangolo di Tartaglia.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Se guardassimo bene:
(a+b)º=1
(a+b)¹=1a+1b
(a+b)²=1a²+2ab+1b²
(a+b)³=1a³+3a²b+3ab²+1b³
I numeri evidenziati sono corrispondenti a quelli
orizzontali del triangolo di Tartaglia!
Quindi, per logica:
(a+b) =1a+4ab+6ab+4ab+1b
Ma manca qualcosa…gli esponenti!
Infatti, gli esponenti della parte letterale dei
monomi devono avere tutti lo stesso grado, ossia
l’esponente di (a+b) che in questo caso è 4.
Inoltre questi devono essere crescenti nella lettera b
e decrescenti nella lettera a.
Quindi:
(a+b) =a +4a³b+6a²b²+4ab³+b
Proprietà
Il triangolo ha molte altre numerose proprietà,
alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre
dalle proprietà dei coefficienti binomiali (le due cose
sono legate tra loro).
•Condizione al contorno
Tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno.
•Simmetria del triangolo
Il triangolo è simmetrico rispetto all'altezza.
•Potenze di undici
Le cifre che compongono le potenze di 11 si
possono leggere immediatamente sul triangolo di
Tartaglia.
•Somma delle righe
1
= 1
1+1
= 2
1+2+1
= 4
1+3+3+1 = 8
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
La somma delle cifre di una riga equivale alla metà
della somma delle cifre della riga successiva.
•Differenza nelle righe
Si può notare che:
1-1
=0
1-2+1
=0
1-3+3-1 =0
1-4+6-4+1 =0
La somma dei numeri in posto dispari meno la
somma dei numeri al posto pari dà zero.
•Somma delle diagonali
Prendiamo una porzione del triangolo:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Sommando i numeri su una diagonale otteniamo il
numero adiacente al prossimo sulla diagonale.
•Multipli di numero fissato
Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che
siano suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli
con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono
ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali
triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.
Cenni Storici
La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota
a matematici cinesi nel XIV secolo e forse anche in
epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò
Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso
trattato nella prima metà del XVI secolo, ma in
Francia e successivamente anche nel mondo
anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che
un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei
suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è
comunemente attribuito a Stiefel che ne scrisse
nel 1544.
Questo lavoro è stato
realizzato da:
Martina Destito Martìn
&
Barbara Loperfido