Realizzato da:
Silvia Riso
Ilaria Loiero
IV° Ginnasio 2011/2012
Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò
Fontana (Brescia, 1499 circa – Venezia, 13 dicembre 1557), è
stato un matematico italiano, il cui nome è legato al
noto triangolo.
Il Triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica a
forma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia dei
coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad
una qualsiasi potenza n.
Prime cinque righe del triangolo.
Il triangolo di Tartaglia è noto anche come triangolo di
Pascal, che ne diffuse la conoscenza.
Il triangolo di Tartaglia ha una disposizione a "triangolo
rettangolo", una forma che consente un'analisi migliore di
righe e colonne.
Ogni numero, tranne il numero generatore al vertice del
triangolo, è la somma dei due numeri sovrastanti.
Ai bordi si trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti
sono, in questo caso, da una parte 1 e dall'altra nessun
numero, cioè zero.
Le prime righe del Triangolo di Tartaglia sono le seguenti:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzione si
ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente.
Ossia, se k e n sono interi positivi, k è minore o uguale a n.
L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello
sviluppo delle potenze di un binomio.
Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo di (𝑎 + 𝑏)4 , è
sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia
per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè:
1, 4, 6, 4, 1). E dunque possiamo scrivere:
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏2 + 4a𝑏 3 + 𝑏 4
In generale, nella n+1-esima riga si trovano i coefficienti
della potenza n-esima del binomio.
Le proprietà di questo triangolo sono molte, e lo si può
considerare una vera palestra di possibili esercitazioni per
il matematico apprendista.
Somma delle righe
Cioè la somma della n-esima riga è 2n, si può dimostrare molto
facilmente osservando che la somma della prima riga è
ovviamente 1, e data una riga, ogni numero della riga
successiva si ottiene sommando i due numeri superiori e che
ogni numero superiore viene utilizzato due volte, quindi ,
indicando con Sn la somma della riga n Sn = Sn − 1 * 2.
Differenza nelle righe
La somma dei numeri in posto dispari (1°, 3°, 5°,...) meno la
somma dei numeri al posto pari (2°, 4°, 6°,...) dà zero. Per le
righe con un numero pari di elementi, questo è ovvio in
quanto il triangolo è simmetrico.
Per una dimostrazione generale ci affidiamo alla tecnica
precedente prendendo come binomio (1-1), in questo modo
otteniamo proprio la somma che cerchiamo, che non può che
fare o. Un esempio:
(1 − 1)3 = 1 − 3 + 3 − 1 = 0
l metodo per la dimostrazione è sempre quello, prendendo il
binomio 10+1; per esempio alla 4ª riga si ottiene (10 + 1)4 = 1 * 104 * 10 +
4 * 103 * 11 + 6 * 102 * 12 + 4 * 101 * 13 + 1100 * 14 = 1 * 10000 + 4 * 1000 + 6
* 100 + 4 * 10 + 1 = 14641.
È importante notare, tuttavia, che dalla 5ª riga in poi l'equivalenza
con le potenze di 11 è verificata solo se si tiene conto dei riporti,
perdendo l'immediatezza dei risultati precedenti.
Sommando i numeri su una diagonale (1+3+6+10) otteniamo il
numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20). Questa è
un' identità molto utile nel campo della combinatoria,
chiamata comunemente con il nome di "Identità della mazza
da hockey " per analogia con la forma assunta evidenziano gli
addendi e il risultato in diagonale.
Multipli di numero fissato
Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano
suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in
basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei
triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono
adiacenti.
La somma dei termini di ogni riga è la successione delle
potenze del 2.
Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il
doppio della somma dei termini della riga precedente e che la
somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla
somma dei termini di tutte le righe che lo precedono.
Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i
termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra
Il Triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono
stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari
sono stati sostituiti da punti neri.