BOLLETTINO
N° 1
Mese di aprile 2010
---------------------------
Articoli contenuti:
---------------------- Recensione del libro di Paul Lockhart, Contro l’ora di Matematica, Rizzoli 2010
-- L’armonia nei numeri di Fibonacci
-- Tartaglia e i segreti del suo triangolo
--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--
RECENSIONE DEL LIBRO DI PAUL LOCKHART
‘’CONTRO L’ORA DI
MATEMATICA’’
---------------------------------------------------------------------Il Laboratorio Montessori ha acquisito, da qualche settimana, questo interessante e curioso libretto,
avente come argomento un’apologia dell’insegnamento della Matematica, contro gli ormai radicati
pregiudizi che avvolgono questa disciplina e i metodi tediosi con cui vengono trasmessi i suoi
contenuti dottrinali, che l’hanno resa invisa agli studenti di tutti i tempi.
Formule -- complesse e articolate -- mandate a memoria, senza comprenderne il senso, al fine di
riuscire meccanicamente a svolgere un esercizio (quasi fosse un’operazione di natura metafisica),
per, poi, regolarmente dimenticare il tutto ed essere perennemente accompagnati da un’insidiosa
domanda: a cosa serve la matematica?; perché la si studia?; quale relazione essa ha colla
quotidianità?; cosa nascondono e cosa vogliono significare le ardite formule?
La prima parte dello scritto sottolinea gli errori di procedura commessi, comunemente, a scuola,
durante la trasmissione concettuale: ed è la pars destruens, un esodo dalla posizione che intende la
disciplina solo come assimilazione passiva di procedure e manipolazioni di formule.
La matematica, secondo l’autore, è, invece, un’arte, è ‘’una poesia della ragione’’.
Essa offre l’occasione di rivedere/rivisitare il mondo secondo una libera e critica capacità
manipolativa, ripercorrendo, con medesimo entusiasmo, quello stesso cammino sperimentale
partecipato dai matematici, i quali, storicamente, hanno ‘ri-composto’ -- in formule e linguaggi
ordinati, raffinati e armonici -- un coacervo di riflessioni, di aggiustamenti, di ipotesi, di operazioni
di smontaggio e rimontaggio di idee e intuizioni .
Bisogna incitare a comprendere che le regole e formule consolidate e riportate asetticamente sui
manuali sono state precedute da un’avventura del pensiero, dal desiderio di vedere il reale in modo
libero e fuori dalle visioni comuni; un’attività creativa conduce a leggere e a cogliere, tra le righe
nascoste, un senso, una logica e una bellezza, inducenti a rendere visibile e traducibile ciò che si
cela dietro le cose del mondo, anche le più semplici e scontate.
La matematica appare, allora, non solo come un mezzo per esercitare e rinvigorire gli aspetti della
logica, ma si offre, anche, come possibilità di affinare il pensiero divergente; essa si lega ad altri
ambiti dell’umano e ne illumina il senso.
La posizione dell’autore viene ad enuclearsi attraverso la forma dialogica tra Simplicio e Salviati
(prestito efficace dal ‘ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, di Galileo Galilei) ;
metafora in cui si sostiene che il passato metodologico della matematica (Simplicio) può trovare
accoglimento e sistemazione ottimale in un nuovo assetto didattico -- dinamico, circolare e multifattoriale -- della disciplina (Salviati).
Ci sembra opportuno avvicinare l’esperienza avviata al Laboratorio, durante le lezioni di
matematica, coi suggerimenti contenuti in questo libretto.
Le docenti di matematica, all’interno delle attività laboratoriali, hanno cercato, sapientemente, di
partire collo sviluppare la capacità di osservazione e le abilità logiche fondamentali (con attività
pratiche innovative e creative) e di accedere alla parte sistematica in un secondo momento;
si è, così, offerta l’opportunità -- agli studenti normodotati -- di apprezzare la novità metodologica e
di cogliere più facilmente il senso del percorso, come se fosse una scoperta (un disvelamento)
compiutasi all’interno di un linguaggio apparentemente ostico e impenetrabile; agli studenti
diversamente abili si è offerta la possibilità di un cammino tangibile e un’informazione meno aspra
dei concetti.
L’esperienza, grazie al coinvolgimento emotivo che le si accompagna, rappresenta un invito ad
esplorare altre aree della disciplina con minore ansia e maggiore motivazione.
--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--.--
PREMESSA ALLE DISPENSE DI MATEMATICA
---------------------------------------------------------------------
Viene offerta, attraverso la pubblicazione delle due dispense, la possibilità di comprendere come,
partendo dalle vicende di vita privata dei due famosi matematici Fibonacci e Tartaglia, rese in
maniera liberamente drammatizzata, si giunga, con passaggi che contemplano l’osservazione
attenta di elementi naturali, all’apprendimento consapevole di alcuni loro famosi assunti.
Un indubbio beneficio per gli studenti normodotati: i due personaggi vengono incontrati nella loro
dimensione privata e resi più familiari attraverso il racconto di simpatici e sorprendenti momenti
della loro vita; dall’alto delle loro posizioni accademiche, essi scendono a illustrare, con attività
concrete, l’armonia delle loro teorie, mostrando le implicazioni e gli interrogativi alla base della
loro speculazione, i quali, spesso, rischiano di rimanere nascosti.
Un beneficio per gli studenti diversamente abili: finalmente una trattazione liceale alla loro portata,
quasi mai inglobata nel piano di studi personalizzato, perché ritenuta ostica e complessa; anche per
loro, il personaggio torna a proporsi in una drammatizzazione da loro stessi interpretata, con forme
buffe e pantomime esilaranti; e, con questa metodologia divertente (ma non, per questo,
semplicistica e infantile) -- accompagnata dallo svolgimento, a piccoli gruppi, di esercizi e di altre
fasi del lavoro --, viene offerta la traccia concreta per risalire alla comprensione dell’assunto
matematico (assunto appreso, sì, in maniera generale, ma in una dimensione partecipata e
suscettibile di produrre stimoli insperati nella mente di ciascuno, con possibili future ricadute
positive).
L’esito è, ad ogni modo, legato alla sapienza del docente-regista, disposto a virare,
estemporaneamente, le manovre di navigazione, rispetto alle scelte preventivate; a stimolare i
naviganti; a incoraggiare tutti nella comune opera di costruzione degli apprendimenti, nella
convinzione che ciascuno porterà via, con sé, un segmento di sapere (matematico, logico,
linguistico, comportamentale, etico, estetico, emotivo, etc), il quale andrà, in seguito, a riversarsi
negli ingranaggi complessi e articolati del pensiero, infondendovi nuova linfa.
Si ringrazia la gentile collega di matematica per la messa a disposizione degli scritti, qui di seguito
riportati.
Le dispense, da lei redatte, sono state distribuite -- agli studenti partecipanti -- circa 15 giorni prima
dello svolgimento di ciascuna delle lezioni laboratoriali, al fine di far maturare in loro la
consapevolezza di quanto poi si sarebbe andati a realizzare.
LEZIONE DI MATEMATICA
L’ARMONIA NEI NUMERI DI FIBONACCI
OBIETTIVI:
 Conoscere il contributo dato da Fibonacci in campo matematico.
 Scoprire la relazione che intercorre tra i numeri di Fibonacci e certi fenomeni naturali come:
l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo
e la disposizione dei petali e dei semi di girasole.
 Interpretare le relazioni tra la matematica e la botanica o la zoologia su un piano filosofico,
cioè come espressione delle leggi dell’armonia che regolano l’universo.
CONTENUTI:
Prima parte descrittiva contiene i seguenti argomenti:
 I numeri di Fibonacci
 Proprietà della successione di Fibonacci
 I numeri di Fibonacci in natura
Seconda parte è una raccolta di alcuni degli esercizi realizzati con gli alunni, di seguito elencati:
Attività 1: disegnare la spirale logaritmica
Tutti gli studenti, aiutati dai tirocinanti e dalle assistenti educatrici provano a disegnare, seguendo le
istruzioni riportate su un foglio fornito dall’insegnante la spirale logaritmica.
Attività 2: contare il numero di spirali presenti in una pigna di pino, in un cavolfiore e nel
disco di un girasole raffigurati
Si tratta di contare il numero di spirali sia in senso orario che antiorario presenti in una pigna di
pino, in un cavolfiore e in un disco di girasole raffigurati.
Verificate che ottenete i numeri di Fibonacci anche se contare le spirali in un disco di girasole sarà
difficile, provateci!!!
LA
DOCENTE
Prof.ssa Lanzacane Concetta
I NUMERI DI FIBONACCI
Uomo di smisurata cultura e grande viaggiatore, Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci,
figlio di Guglielmo Bonacci (Fibonacci sta infatti per filius Bonacii), nacque a Pisa intorno al 1170.
Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio
pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio
con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua
istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche,
che non erano ancora state introdotte in Europa.
In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica
pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse
l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche
impiegate in queste regioni, in particolare i diversi metodi in grado di semplificare i calcoli, infatti
essendo un mercante, era particolarmente interessato a questo aspetto del suo lavoro: fare calcoli
veloci e precisi permetteva di risparmiare tempo. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i
seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche. In tutta la sua produzione
l’opera più importante è il "Liber abaci", comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi
tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo
della matematica dell’Europa occidentale.
In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando
notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema
di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad
introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti. Infatti
il segno 0, che indica un numero vuoto come un soffio di vento fu introdotto in Italia proprio dal
pisano Fibonacci col nome che dura ancora oggi e che proviene dal latino zephirus, (dolce
venticello) adattamento dell'arabo zefr, che significa zero.
Dunque si deve a Fibonacci l'introduzione del sistema decimale e l'utilizzo delle cifre arabe in
Europa, cioè i numeri come li conosciamo adesso, le nove cifre e lo zero, rivoluzionando così i
sistemi di numerazione in un’epoca in cui tutto il mondo occidentale usava i numeri romani e i
calcoli si facevano con l’abaco.
Ritornato in Italia, la sua notorietà giunse anche alla corte dell'imperatore Federico II di Svevia che
nel 1223 a Pisa fu ben felice di assistere a un singolare torneo tra abachisti e algoritmisti, armati
soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale
indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco.
Il test era il seguente: "Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte)
supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani
siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?".
Leonardo diede al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato
e vinse la gara.
La risposta è la seguente:
alla fine del primo mese si ha la prima coppia;
alla fine del secondo mese si ha la prima coppia e una coppia da questa generata;
alla fine del terzo mese si aggiunge una terza coppia;
alla fine del quarto mese si hanno 5 coppie, perché anche la seconda coppia ha incominciato a
generare e così via.
Il ragionamento prosegue con la seguente progressione:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,
17711….
Con questo stratagemma fu facile per il Fibonacci trovare la risposta esatta.
Si tratta della prima progressione logica della matematica! Questa successione, oggi nota come
"numeri di Fibonacci" è caratterizzata dal fatto che ogni termine, a parte i primi due, è la somma dei
due che lo precedono.
Mesi : 0 1 2 3 4 5
Coppie: 1 1 2 3 5 8
Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica
di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a
riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo
dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.
Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che esiste una pubblicazione periodica dedicata
interamente alla sequenza aritmetica da lui elaborata ed è considerato uno dei più geniali matematici
di tutti i tempi.
PROPRIETÀ DELLA SUCCESSIONE DI FIBONACCI
La successione di Fibonacci possiede molte proprietà eleganti e significative. Fu Edouard Lucas, il
grande esperto in giochi matematici, ad approfondirne per primo lo studio. Anche oggi continua
ad essere studiata e nel 1963 un gruppo di matematici americani, in California, all’Università di
Santa Clara, decise di fondare un’Associazione degli Amici di Fibonacci. L’associazione pubblica
una rivista, The Fibonacci Quarterly, in cui vengono raccolte tutte le novità sulla più celebre delle
successioni.
Vediamo alcune delle sue principali proprietà.
•
Due termini successivi qualsiasi sono primi tra loro.
•
Un qualsiasi numero della successione elevato al quadrato è uguale al prodotto tra il
numero che lo precede e quello che lo segue, aumentato o diminuito di una unità.
Per esempio 212 = 441 = (13∙34)–1, mentre 892 = 7921 = (55∙144)+1
•
Keplero osservò che il rapporto di due termini consecutivi si avvicina a 1,618 e il
limite esatto della successione formata dai rapporti fra due termini consecutivi della
successione di Fibonacci è la sezione aurea
(chiamata da Leonardo da Vinci divina proporzione) .
Infatti la successione formata dai rapporti fra due termini consecutivi della successione di
Fibonacci è una successione i cui primi termini sono
i cui valori decimali approssimati sono: 1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,617;
1,61818; 1,6179; …
cioè si osserva che il rapporto tra due termini consecutivi della successione di Fibonacci
diminuisce progressivamente per poi tendere molto rapidamente al numero 1,61803..., noto col
nome di sezione aurea.
Ricordiamo che sin dai tempi più antichi, la sezione aurea rappresentava la giusta proporzione tra
due elementi perché essi appaiano armoniosi all’occhio umano quindi era considerata come legge
universale dell'armonia, perciò dietro l'idea di perfezione e di armonia, nella natura come nell'arte,
si nasconde un numero il cui valore non è esprimibile in cifre decimali se non in forma
approssimata: 1,618034... Si tratta infatti di un numero irrazionale, che all'inizio del secolo scorso,
il matematico americano Mark Barr propose di indicare con la lettera greca "ϕ", dall'iniziale di
Fidia, il grande scultore greco che lo ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nella
costruzione del Partenone di Atene.
Interessante è la relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica che si rivela se si
costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei
lati dei due precedenti, quindi con lati che sono i numeri di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …… Se li
disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la
figura che si ottiene è una spirale logaritmica.
I NUMERI DI FIBONACCI IN NATURA
Cosa hanno in comune una galassia, l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la
spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole? Tutti
questi presentano schemi riconducibili a quello della spirale logaritmica e dei numeri di Fibonacci.
Ecco qui rappresentata una serie di esempi in cui l’espressione matematica della spirale logaritmica
si manifesta nella bellezza e nella eleganza della natura.
L'elemento comune di tutte le figure è rappresentato dalla spirale logaritmica attraverso la quale lo
sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di accrescere "secondo
natura" in maniera ottimale e meno dispendiosa possibile. Quindi la spirale logaritmica si ritrova in
natura, ad esempio nella forma delle galassie, nelle conchiglie, nelle chiocciole, nei girasoli, nelle
pigne dei pini ecc.
Se andiamo a considerare la lumaca (chiocciola), la spirale logaritmica ha la proprietà di allargarsi
man mano che ci si allontana dal centro, probabilmente per la lumaca costituisce il giusto
compromesso fra lunghezza ed area di accrescimento, cioè il volume più congeniale.
Esaminando in maniera più approfondita la forma di fiori come la margherita, il girasole o una
comune pigna notiamo che esiste una stretta relazione con i numeri di Fibonacci.
Infatti guardando attentamente in un girasole, la parte del fiore che si trova all’interno della corona
(il "disco"), si può scoprire che essa è composta da un numero notevole di fiori più piccoli, disposti
a formare una serie di spirali concentriche, alcune disposte in senso orario, altre in senso antiorario.
Le spirali sono tutte logaritmiche, ed il numero di quelle orarie rispetto a quello delle spirali
antiorarie formano due numeri successivi della sequenza del Fibonacci.
Sulla testa di un tipico girasole, per esempio, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo
schema: 89 spirali che si irradiano ripide in senso orario; 55 che si muovono in senso antiorario e 34
che si muovono in senso orario ma meno ripido. Il più grande girasole che si sia mai conosciuto
aveva 144, 89 e 55 spirali.
Da un punto di vista geometrico, si tratta dell’unico modo possibile di avere una pianta in grado di
crescere attraverso i fiori che essa contiene, occupando nel miglior modo possibile tutto lo spazio a
disposizione ed ottimizzando anche la distribuzione delle risorse!
La presenza delle due spirali, l’una ascendente, l’altra discendente, nel disco del girasole, è simbolo
dell’equilibrio tra lo spazio e l’energia che lo percorre, ciò che è necessario affinché la vita si
manifesti, ogni essere vivente necessita di energia, tramite l’apporto diretto del Sole, tramite
l’alimentazione e la respirazione, ma anche dello spazio adeguato in cui esprimere le proprie qualità
ed i rapporti con le altre forme di vita.
Schema delle spirali nel disco del girasole
Invece se andiamo ad osservare la disposizione dei capolini di una margherita si notano due
famiglie di spirali, composte la prima da curve ruotanti in senso antiorario, l’altra da curve ruotanti
in senso orario. Ebbene, in moltissimi casi i numeri di curve che compongono le due famiglie sono
due numeri di Fibonacci consecutivi!
Per esempio, in figura, si distinguono 34 spirali che ruotano in senso orario e 21 spirali che ruotano
in senso antiorario.
Schema delle spirali nel disco di una margherita
Un altro esempio è dato dalle pigne di pino in cui le scaglie si dispongono in due serie di spirali dal
ramo verso l'esterno, una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne
di dieci specie di pino ha rivelato che oltre il 98 per cento di esse contiene un numero di Fibonacci
nelle spirali che si diramano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri sono adiacenti, o adiacenti
saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci, per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell'altro, o 8
spirali in un senso e 21 nell'altro.
Pigna di pino
Dunque in natura molte cose sono strutturate in base ai numeri di Fibonacci: basta guardare con
attenzione anche questo cavolo romanesco e si nota che i piccoli bitorzoli che costituiscono una
delle sue protuberanze sono disposti secondo linee a spirale: alcune mostrano una rotazione in senso
orario, altre in senso antiorario. Se disegniamo in rosso le spirali in senso orario, le altre in nero.
Contandole, si scopre che le linee rosse sono 8, quelle nere 13: proprio due numeri consecutivi della
successione di Fibonacci!
Osservando questo cavolfiore se contiamo le spirali si ottengono due numeri consecutivi della
successione di Fibonacci, infatti ci sono 5 spirali in senso orario e 8 in senso antiorario.
Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non
una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas.
Nell’esempio si possono osservare tre insiemi di spirali: un insieme composto da 5 spirali che
salgono con gradualità da sinistra a destra, un insieme di 8 spirali che salgono più rapidamente da
destra a sinistra, e un insieme di 13 spirali che salgono quasi verticali da sinistra a destra.
I numeri di Fibonacci si trovano anche nella fillotassi, l'ordinamento delle foglie su uno stelo. Fu
Keplero a rilevare che su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno
schema che comprende due numeri di Fibonacci. Osservando una pianta dall’alto ci si
accorge, infatti, che le foglie non sono disposte casualmente ma secondo una sorta di
spirale: ogni foglia tende ad occupare una posizione tale da non nascondere le
“compagne” sottostanti.
Grazie a questo ordine ogni foglia può ricevere la quantità di luce sufficiente per
compiere il proprio ciclo vitale regolarmente e l’acqua della pioggia può raggiungere
rapidamente, attraverso lo stelo, le radici. Quando la pianta è provvista di molte foglie capita
inevitabilmente che ci siano foglie dispose sopra ad altre. Il fatto curioso è che la spirale della
disposizione delle foglie lungo uno stelo compie sempre un numero di giri intorno allo stelo stesso
prima che una foglia si sovrapponga ad un’altra pari ad un numero di Fibonacci. E ancora: contando
le foglie sistemate sullo stelo tra due che si sovrappongono….se ne trovano sempre una quantità
pari ad un numero di Fibonacci.
Come si vede dal disegno sotto, partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri
dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima e a seconda delle specie, questa sarà la
seconda, la terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima foglia.
Anche nella crescita di una pianta è individuabile la successione di Fibonacci non solo dal numero
di rami presenti ad ogni fase della crescita della pianta ma anche dal numero delle foglie che la
pianta stessa fa germogliare ogni qual volta si ramifica. Infatti la crescita di alcune piante segue uno
schema ben definito. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare,cioè un tronco può dar
vita ad un ramo solo se è “maturo” ovvero a partire dalla propria seconda fase di crescita. Inoltre, un
tronco non potrà generare più di un ramo per ogni fase altrimenti rischierebbe di indebolire troppo
la pianta compromettendone la salute.
Quindi al primo mese abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via
seguendo proprio la successione di Fibonacci.
Sempre nell’ambito della botanica un’altra osservazione che possiamo fare è che il numero dei
petali di un fiore è spesso un numero di Fibonacci. In natura esistono infatti fiori ad un solo petalo
(calle), fiori con 2 petali (euphorbia), fiori con 3 petali (trillium), fiori con 5 petali (columbine),
fiori con 8 petali (bloodroot), fiori con 13 petali (black-eyed susan), fiori con 21 (shasta daisy), fiori
con 34 petali (daisy), ecc., infatti le margherite di solito ne hanno 34 o 55.
Invece esistono pochissime specie di fiori che non hanno un numero di petali pari ad un numero
della successione di Fibonacci.
Del resto… è assai raro trovare un quadrifoglio! (4 non è un numero di Fibonacci)
1 petalo
2 petali
3 petali
5 petali
8 petali
13 petali
21 petali
34 petali
La successione di Fibonacci nei petali di una rosa campestre
La rosa di campagna ha un petalo centrale, due laterali, tre successivi (1 + 2), cinque successivi
(2 + 3), otto successivi (3 + 5), tredici successivi (5 + 8) ecc. e cioè il numero dei petali cresce
secondo la sequenza di Fibonacci.....
Tutte queste scoperte in botanica, in zoologia e in astronomia non avrebbero sorpreso gli antichi
greci, convinti com'erano dell'armonia geometrica dell'universo.
Fibonacci nel Medioevo, da illustre matematico del tempo, riuscì con la scoperta dei suoi numeri a
dare alcune spiegazioni riguardanti le leggi dell’armonia che regolano l’universo.
Curiosità …………
Avete mai osservato la frutta?...............Non potevano mancare i numeri di Fibonacci nella frutta:
sezionando trasversalmente una noce, una banana, una mela, una pera…si ottengono
NOCE: 2 parti
BANANA: 3 parti
MELA: 5 parti
Tutto questo non è che un piccolo esempio di quante conclusioni nacquero da un piccolo studio
sull'allevamento dei conigli... Chissà che anche voi, non abbiate l'intuizione di scoprire una
sequenza numerica magica come quella di Fibonacci.
ATTIVITÀ 1: DISEGNARE LA SPIRALE LOGARITMICA
Come operare: costruisci i seguenti quadrati seguendo l’ordine alfabetico e facendo attenzione a
rispettare misure e posizioni (si procede in senso antiorario). Puoi aiutarti guardando il disegno.
Quadrato A 1 cm di lato
Quadrato B 1 cm di lato posizionato sopra ad A
Quadrato C 2 cm di lato a sinistra di A e B
Quadrato D 3 cm di lato sotto a C e A
Quadrato E 5 cm di lato a destra di D, A e B
Quadrato F 8 cm di lato sopra a E, B e C
Quadrato G 13 cm di lato a sinistra di G, C e D
Puntando l’ago del compasso nel vertice di ogni quadrato con apertura pari alla lunghezza del
lato del quadrato tracciare degli archi di circonferenza all’interno del quadrato stesso. Ripetendo
tale procedimento per ogni quadrato si ottiene la spirale logaritmica.
Provare a continuare la spirale costruendo gli altri quadrati: quanto misurerà il lato del quadrato
H?
Osserva i numeri che costituiscono la misura dei lati dei quadrati con i quali hai disegnato la
spirale: 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - ...
Questi numeri costituiscono una serie molto famosa in matematica : sono i numeri di Fibonacci.
ATTIVITÀ 2: CONTARE IL NUMERO DI SPIRALI
Determinare il numero di spirali sia in senso orario che antiorario presenti in questa pigna di pino
Le spirali in senso orario sono ………..
Le spirali in senso antiorario sono ………….
Hai ottenuto 2 numeri della successione di Fibonacci?
SI
NO
Determinare il numero di spirali sia in senso orario che antiorario presenti in questo cavolfiore
Le spirali in senso orario sono ………..
Le spirali in senso antiorario sono ………….
Hai ottenuto 2 numeri della successione di Fibonacci?
SI
NO
Prova a contare le spirali presenti nello schema del disco del girasole riprodotto nell’altra pagina
Le spirali ripide in senso orario sono ………..
Le spirali in senso antiorario sono ………….
Le spirali meno ripide in senso orario sono ………..
Hai ottenuto 3 numeri della successione di Fibonacci?
SI
NO
Prova a contare i petali della rosa campestre……………
LEZIONE DI MATEMATICA
TARTAGLIA E I SEGRETI DEL SUO TRIANGOLO
OBIETTIVI:
 Conoscere la figura di Tartaglia e il suo contributo in campo matematico.
 Scoprire alcune delle innumerevoli proprietà del triangolo, dimostrando che esiste un
collegamento con la successione di Fibonacci, i numeri di Pitagora (triangolari, quadrati) e
addirittura con i frattali.
CONTENUTI:
Prima parte descrittiva contiene i seguenti argomenti:
 Niccolò Tartaglia
 Il Triangolo di Tartaglia e le sue proprietà
 Dal Triangolo di Tartaglia ai frattali
Seconda parte è una raccolta di alcuni degli esercizi realizzati con gli alunni, di seguito elencati:
Attività 1: costruire il triangolo di Tartaglia
Tutti gli studenti, aiutati dai tirocinanti e dalle assistenti educatrici provano a scrivere le prime dieci
righe del triangolo di Tartaglia.
Attività 2: individuare nel triangolo di Tartaglia i numeri triangolari, quadrati e
rappresentarli
Si tratta di individuare nel triangolo di Tartaglia, i numeri triangolari, quadrati e di rappresentarli
con le rispettive figure.
Attività 3: trovare i numeri di Fibonacci nel triangolo di Tartaglia
Questa attività consiste nel sommare i numeri in diagonale, sia in una rappresentazione che
nell’altra del triangolo riconoscendo che i numeri trovati sono proprio quelli di Fibonacci.
Attività 4: riconoscere i numeri naturali, triangolari e tetraedrici sulle diagonali o sulle
colonne del triangolo
Nelle due configurazioni del triangolo, sia quella di Tartaglia che di Pascal, gli studenti devono
individuare i numeri naturali, triangolari e tetraedrici rimarcandoli con dei colori.
Attività 5: colorare le caselle contenenti i numeri pari, i multipli di 3, di 4, di 5 e osservare le
configurazioni che si ottengono
Durante questa attività, gli studenti dovranno essere in grado di riconoscere e colorare le caselle
contenenti i numeri pari, i multipli di 3, di 4, di 5 su delle immagini del triangolo di Tartaglia,
fornite dall’insegnante. Osservate bene quello che ottenete!!!
Nell’ultima parte della dispensa sono state riportate alcune delle schede utilizzate per le attività
sopra menzionate.
LA
DOCENTE
Prof.ssa Lanzacane Concetta
Niccolò Tartaglia
Del nostro personaggio non si conosce l'esatta data di nascita, avvenuta intorno all’anno 1500 a
Brescia. Gli studiosi lo ricordano come uno dei più importanti matematici della sua epoca.
Il periodo in cui visse Tartaglia è ricordato dagli storici come l’età del Rinascimento. È l'epoca di
Machiavelli, di Raffaello, di Leonardo da Vinci, di Michelangelo... Ma le guerre e le atrocità non
risparmiarono nemmeno questo secolo così ricco di creatività e di arte. In quel periodo la città di
Brescia veniva assediata dalla Francia, e fu proprio durante un’insurrezione contro i francesi che
Niccolò fu ferito e divenne... Tartaglia! Infatti durante la presa di Brescia da parte dei francesi nel
1512 fu ferito alla mandibola e al palato. Dato per morto, sopravvisse grazie alle cure della madre,
ma gli rimase un’evidente difficoltà ad articolare le parole che gli procurò un’accentuata balbuzie
per la quale i coetanei lo soprannominarono "Il Tartaglia". Un soprannome che decise di mantenere
anche quando raggiunse la fama di grande matematico e lo utilizzò per firmare le sue opere.
Tartaglia, così fu soprannominato mentre il suo vero nome era Niccolò Fontana, non ha sicuramente
avuto una vita facile. Nato da una famiglia molto povera, perse il padre, un corriere a cavallo, al
servizio del governo della città, quando aveva appena sei anni e quindi la sua famiglia finì in
miseria e non poté permettersi alcuna scuola. Praticamente fu autodidatta e andò soltanto per 15
giorni, all’età di 14 anni, a una "scuola di scrittura", per imparare a scrivere l’alfabeto - come
racconta nella sua autobiografia - ma arrivato alla lettera "k", la dovette abbandonare, non potendo
continuare a pagare il maestro. Fu quindi essenzialmente un autodidatta: imparò da solo il greco, il
latino e la matematica. A Tartaglia dobbiamo tra l’altro la prima traduzione italiana degli Elementi
di Euclide. Verona e Venezia furono le due città in cui visse e insegnò.
La mia non è stata una vita
facile: non sono andato a scuola
perché la mia famiglia era
troppo povera. Sono stato un
autodidatta, insomma ho fatto
tutto da me!
Tartaglia è stato uno dei più grandi algebristi del Cinquecento e il suo nome è legato, in particolare,
alla scoperta delle formule risolutive delle equazioni di terzo grado. Per rivendicare la paternità di
queste formule si trovò coinvolto in una polemica con un altro celebre matematico dell’epoca,
Girolamo Cardano a cui gli inviò una poesia nei cui versi si nascondeva la soluzione delle equazioni
di terzo grado, da lui scoperta, nel 1534, quand’era a Venezia. Cardano fu il primo a rendere
pubblica la soluzione, nel suo libro l’Ars Magna, pubblicato a Norimberga nel 1545. E questo fece
imbestialire Tartaglia, che si sentì defraudato della sua scoperta. Per correttezza, dobbiamo dire che
Cardano riconobbe di aver ricevuto la dimostrazione della regola direttamente da Tartaglia,
osservando però che era già stata trovata in precedenza da Scipione Del Ferro, presumibilmente
attorno al 1515, morto senza divulgarla. Cardano precisava inoltre che Tartaglia era arrivato alla
soluzione del problema perché sollecitato da una sfida matematica lanciata da Anton Maria Fiore,
discepolo di Del Ferro.
Nel 1500 erano in uso delle gare pubbliche fra matematici chiamate "cartelli di matematica
disfida".
Ognuno dei contendenti proponeva all’avversario un numero stabilito di quesiti di vario tipo e di
particolare difficoltà. Ogni "cartello" era depositato presso un notaio o una persona influente,
stampato e distribuito in Italia a molti studiosi del periodo.
Lo sfidato doveva risolvere i problemi in un tempo preventivamente stabilito, proponendo a sua
volta all’avversario nuovi quesiti. Alcuni giudici, scelti di comune accordo, dichiaravano vincitore
chi riusciva a risolvere il maggior numero di problemi.
Niccolò Tartaglia fu protagonista, e vincitore, di una disfida fra le più famose.
Il suo contributo allo sviluppo dell’algebra fu molto importante, ma leggendo i suoi scritti
difficilmente potremmo riconoscere l’algebra che noi studiamo: il linguaggio dell’algebra moderna,
fatto di simboli che consentono di esprimersi molto rapidamente e con grande precisione, non era
infatti ancora stato inventato. Tartaglia, ad esempio, non faceva uso delle lettere come facciamo noi
e non poteva scrivere, di conseguenza, le equazioni nella forma in cui noi le conosciamo.
Egli fornisce il metodo per la risoluzione di equazioni di terzo grado, ma non usa i nostri simboli:
l’incognita, da noi indicata con x, viene da lui chiamata "cosa", e quella che noi diamo come una
breve formula risolutiva viene invece scritta da Tartaglia come una filastrocca, facile da ricordare
grazie alle rime, ma non altrettanto facile da interpretare!
Eccone una parte:
Quando che 'l cubo con le cose appresso,
Se agguaglia a qualche numero discreto,
Trovami dui altri, differenti in esso.
Dapoi terrai questo per consueto
Che 'l loro produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose netto
El residuo poi suo generale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.
Dobbiamo ancora dire che Tartaglia viene considerato il padre della moderna balistica, presentata
per la prima volta, come disciplina matematica, nella sua opera Nova Scientia (1537) che è la sua
prima pubblicazione. In essa descrive metodi e strumenti dell’artiglieria, in particolare un quadrante
a pendolo, detto "archipenzolo", per misurare l’inclinazione del cannone. Ritornò sull’argomento in
un’altra sua opera Quesiti et inventioni diverse (1546) in cui descrive la traiettoria di un proiettile in
termini matematici e tenta anche di dimostrare che l’angolo di massima gittata è di 45°. Infatti si
guadagnò da vivere come consulente dei mastri carpentieri dell’arsenale veneziano e vendendo le
proprie scoperte balistiche (ossia relative al movimento e alla direzione dei proiettili) ad artiglieri,
militari, soldati e naviganti che affollavano la repubblica veneta. Morì a Venezia il 13 dicembre
1557.
Il Triangolo di Tartaglia e le sue proprietà
Il nome di Tartaglia è noto ai più per il Triangolo che porta il suo nome. Si tratta di una semplice
configurazione numerica, dal fascino straordinario e ricchissima di implicazioni in campi diversi,
presentata da Tartaglia in un suo libro, il “General trattato di numeri et misure” (1556),
praticamente un'enciclopedia della matematica di quei tempi dove egli riporta questa particolare
figura e ammette di non essere una sua invenzione (era già nota agli indiani e ai cinesi), che però
viene da allora tramandata come il "Triangolo di Tartaglia".
Per costruirlo partiamo dal "numero generatore" 1, sulla seconda riga si scrive due volte 1 e poi il
numero 1 si riporta all'inizio e alla fine di ogni riga. Tutti gli altri numeri si ottengono sommando i
due numeri sovrastanti, come è facile verificare in figura.
Si ritrova la stessa configurazione numerica del Triangolo di Tartaglia, denominato "Tavola del
vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori" in un libro cinese del 1303: il Prezioso Specchio
dei Quattro Elementi di Chu-Shih-Chieh.
Il "Triangolo di Tartaglia" come venne proposto dal matematico cinese Chu Shih-Chieh
Nel libro vengono riportate le potenze di un binomio fino all'ottava potenza, con una
rappresentazione dei numeri a bastoncini. Si osservi che lo zero veniva indicato con un piccolo
cerchio. Chu non ne rivendica la paternità, ma fa riferimento a un "vecchio metodo" e ci sono libri
cinesi più antichi, del dodicesimo secolo, che riportano lo stesso schema.
Infatti Omar Khayyàm (1050c./1122) che è stato un grande matematico, ma anche un celebre poeta,
fu tra i primi a studiare questo triangolo, nella sua applicazione alle potenze di un binomio, e come
tale lo ritroviamo su tutti i testi di algebra, anche a livello di scuola dell'obbligo.
Chi ha qualche ricordo del calcolo letterale saprà, ad esempio, che
1, 3, 3 e 1, i coefficienti dei quattro termini, sono i numeri della terza riga del triangolo (senza
contare il numero generatore, cioè il numero che si trova in alto, al vertice del triangolo) e così
1, 5, 10, 10, 5 e 1, i coefficienti dei sei termini, sono i numeri della quinta riga del triangolo.
Dunque per calcolare le potenze di un binomio possiamo utilizzare il Triangolo di Tartaglia,
per questo motivo gli elementi del triangolo sono anche detti coefficienti binomiali poiché
coincidono con i coefficienti delle potenze di un binomio.
Vediamo adesso come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b).
Scriviamo ad esempio le potenze di un binomio che in genere conosciamo.
Quadrato di un binomio:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Cubo di un binomio:
(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³
Osserviamo bene i polinomi risultanti; essi sono ordinati e completi. Ma possiamo notare due
precise caratteristiche dei loro termini:
- in ogni monomio gli esponenti delle potenze di a (1° termine) decrescono e quelli delle potenze di
b (2° termine) crescono;
- ogni monomio viene moltiplicato per un numero detto coefficiente. I coefficienti seguono una
certa "legge di formazione" che ritroviamo ... nel Triangolo di Tartaglia!
Infatti i coefficienti del polinomio"quadrato di un binomio"; sono i numeri: 1, 2, 1;
mentre quelli del polinomio"cubo di un binomio"; sono i numeri: 1, 3, 3, 1. E, se ridiamo uno
sguardo al Triangolo di Tartaglia ... vediamolo così
Riga
0
1
2
3
4
5
6
...
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
...........................
Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b)n
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = 1a + 1b = a + b
(a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a+b)3 = 1a3 + 3a2b +3ab2 + 1b3
(a+b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + 1b4
(a+b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + 1b5
(a+b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6
................................................................................................
La prima riga risolve (a + b) elevato 0 (zero);
la seconda riporta i coefficienti di (a+b)1;
la terza riga è costituita dai coefficienti di (a + b)²
e così via...
Seguendo questo schema possiamo sviluppare una qualsiasi potenza di un binomio.
Un secolo dopo Blaise Pascal (1623-1662) riprese il triangolo di Tartaglia, lo caratterizzò con
nuove proprietà fino ad allora sconosciute e lo rappresentò usando la forma del triangolo rettangolo.
Mi chiamo Blaise Pascal, sono nato a
Clermont nel 1623. Ho apportato una
leggera modifica al triangolo, disponendo lo
schieramento a “triangolo rettangolo”.
Questa forma vi consentirà un’analisi
migliore delle righe e delle colonne
Il triangolo nella configurazione di Pascal, a "triangolo rettangolo"
Blaise Pascal, nel 1654, scrisse un intero libro, Le Triangle Aritmétique, dedicato a questo triangolo
e alle sue proprietà, in particolare nel campo del calcolo combinatorio. Uno studio importante che
portò a ribattezzare il celebre triangolo con il nome di "Triangolo di Pascal".
Egli ha infatti scoperto che i numeri del triangolo corrispondono alle diverse combinazioni possibili
di un dato gruppo di oggetti. Ad esempio, 5 oggetti a, b, c, d ed e, si possono combinare a due a due
in 10 modi diversi: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de e 10 è proprio il numero all'incrocio della
quinta riga con la seconda colonna (si conta come zero, lo ricordiamo, la riga dell'1 iniziale e la
colonna di 1). Sei oggetti si combinano a tre a tre in 20 modi diversi e 20 è il numero all'incrocio
della sesta riga con la terza colonna. Un altro esempio di combinazione di 5 oggetti a gruppi di 2 è
quello rappresentato in figura.
Ricordiamo che, in generale dato un numero n di oggetti, si chiamano "combinazioni semplici"
tutti i gruppi di k oggetti che si possono formare con gli n oggetti dati, in modo che due
qualunque di essi siano diversi per avere almeno un oggetto differente.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Vedremo adesso quante proprietà e relazioni numeriche possiede questo magico triangolo!
Il triangolo di Tartaglia racchiude nei suoi numeri, diversi piccoli segreti e non è solo un metodo
per calcolare i coefficienti binomiali. Proviamo, per esempio a sommare i numeri di ciascuna riga,
partendo dall'alto, danno le potenze di 2.
Infatti se osserviamo le righe del triangolo e facciamo la somma dei numeri otteniamo: 1, 2, 4, 8,
…… che sono proprio le potenze di 2.
1
2
4
8
Le potenze successive di 2
1
1+1
1+2+1
1+3+3+1
1+4+6+4+1
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1
1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1
1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1
1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1
1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1
= 20
= 21
= 22
= 23
= 24
= 25
= 26
= 27
= 28
= 29
= 210
Quelle che seguono sono soltanto alcune delle innumerevoli proprietà del triangolo nel quale si
possono rilevare, in modi diversi, la successione di Fibonacci, i numeri triangolari e tetraedrici e
addirittura i frattali, che emergono sostituendo ogni numero e i suoi multipli con punti di colore
diverso o anche semplicemente collocando punti bianchi e neri al posto dei numeri pari e dispari.
Tutte queste costruzioni che scaturiscono dalla nostra indagine e che trovano sorprendentemente
tante applicazioni in natura, sono un bell'esempio del fascino e del valore della matematica.
Esiste un punto di incontro tra Fibonacci e Tartaglia?
Di certo, in vita i due non si sarebbero mai potuti dare la mano, essendo vissuti in epoche distanti
ben tre secoli. Fibonacci, al secolo Leonardo Pisano, visse infatti a cavallo del 1200 ed era di
famiglia benestante essendo il padre, il segretario della Repubblica di Pisa e responsabile del
commercio con l’Africa. Fu proprio in Africa che ebbe modo di studiare le avanzate tecniche
matematiche, al tempo in possesso del mondo arabo.
Tartaglia, al secolo Niccolò Fontana visse a cavallo del 1500 fra Brescia e Verona. Era di famiglia
tutt’altro che ricca, e rimase orfano di padre quando era ancora molto giovane. Non potendosi
pagare gli studi fu essenzialmente un autodidatta.
Ma se osserviamo bene il triangolo vediamo che esiste una relazione tra i due, infatti dal triangolo
di Tartaglia si possono ricavare i numeri di Fibonacci, basta sommare i numeri in diagonale, nel
modo indicato in figura, sia in una rappresentazione che nell’altra: così dalla prima riga otteniamo
1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., ricordiamo che i numeri della successione di
Fibonacci sono:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Nel triangolo di Tartaglia si possono evidenziare due diagonali composte da numeri detti
triangolari.
Questi numeri:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, . . .
sono detti triangolari per il fatto che si possono rappresentare geometricamente con dei triangoli.
N um e ri T ria ng o la ri
1
6
3
10
P e r s c o prire i tre n uo v i n um e ri tria ng o la ri,
s i a g g iun g e un a nu o v a fila a l tria n g o lo .
15
21
28
Un numero triangolare è dato dalla somma di un numero naturale n e di tutti i suoi precedenti.
Indicato con tn l’ennesimo numero triangolare si ha:
tn = 1 + 2 + 3 + ... + n
Esempio: il sesto numero triangolare è t6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Un altro caso particolare di numeri che possiamo riscontrare nel Triangolo di Tartaglia sono i
numeri tetraedrici, così detti perché si possono rappresentare con un tetraedro cioè una piramide
con una base triangolare.
L’ennesimo numero tetraedrico è dato dalla somma dei primi n numeri triangolari
Tn = t1 + t2 + t3 + ... + tn
Esempio: T3 = 1 + 3 + 6 = 10
Quindi anche i numeri tetraedrici si possono leggere nel triangolo di Tartaglia.
1
10
4
Se osserviamo un’altra diagonale riscontriamo la successione dei numeri naturali: 1, 2, 3, ………
Nella seconda
diagonale si trova la
sequenza dei
Numeri naturali
1
11
1
2
1
1
3
1
1
1
9
36
84
15
126
126
1
6
7
21
84
1
8
28
56
70
1
5
35
35
56
1
10
20
21
28
8
1
4
10
15
7
1
6
5
6
1
3
4
1
1
36
1
9
1
La somma di due numeri triangolari successivi è sempre un numero quadrato:
t1 + t2 = 1 + 3 = 4 = 22
t 2 + t 3 = 3 + 6 = 9 = 32
Num e ri qua dra ti:
1
I num e ri qua dra ti s i
le g g ono n e lla te rz a
dia g on a le , dove s i
trova no a n c h e i
n um e ri tria ng ola ri
1
1
1
1
1
56
28
36
84
10
1 26
15
70
21 + 28 = 49
1
28 + 36 = 64
1
6
7
21
84
1
8
28
56
1 26
15 + 21 = 36
1
5
35
35
10 + 15 = 25
1
4
20
21
7
8
9
10
15
6 + 10 = 16
3
6
4
6
1
1
3
5
1
3 +6 =9
2
1
1
1 +3 =4
1
36
1
9
1
I numeri triangolari, quadrati sono i famosi numeri figurati di Pitagora (la sua celebre aritmogeometria)
abbiamo così trovato un collegamento tra i numeri del triangolo e i numeri di Pitagora.
Se consideriamo il triangolo nella configurazione di Pascal possiamo osservare che la prima
colonna è composta dalla successione dei numeri naturali, la seconda dai numeri triangolari, la terza
dai numeri tetraedrici.
1
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
1
3
6
10
15
21
28
36
45
1
4
10
20
35
56
84
120
1
5
15
35
70
126
210
1
6
21
56
126
252
1
7 1
28 8 1
84 36 9 1
210 120 45 10 1
Ma le magie del triangolo di Tartaglia non sono finite…
Il fiore
1
Moltiplica i numeri
contenuti nelle cellette
verdi
1∙5∙6=30
Moltiplica i numeri
contenuti nelle cellette
arancioni:
1∙3∙10=30
1
1
1
9
36
84
15
70
126
1
6
7
21
84
1
8
28
56
126
Il prodotto è lo
stesso
1
5
35
35
56
28
10
20
21
7
8
10
15
1
4
6
5
6
1
3
4
Un altro esempio:
7∙15∙56=5880
6∙28∙35=5880
1
3
1
1
1
2
1
1
1
1
36
1
9
1
Nel triangolo di Tartaglia si può notare un’altra proprietà: se si iniziano a sommare i numeri di una
diagonale, partendo dall’uno che si trova al bordo del triangolo, in qualsiasi posizione ci si ferma il
numero che si trova nella riga sottostante sarà il risultato.
La stessa proprietà la possiamo riscontrare se consideriamo il triangolo nell’altra configurazione.
In questo caso ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono,
nella colonna alla sua sinistra.
Dal Triangolo di Tartaglia ai frattali
Il Triangolo di Tartaglia nasconde molte configurazioni interessanti. Il modo più semplice per
evidenziarle è quello di sostituire ogni numero e tutti i suoi multipli con colori diversi.
Naturalmente il Triangolo deve essere sufficientemente ampio, per riuscire ad individuare queste
configurazioni. Il risultato è una sorprendente serie di triangoli simili … cioè che hanno la stessa
forma e che risultano l’esatto ingrandimento o rimpicciolimento l’uno dell’altro cioè una serie di
triangoli con una struttura a frattale.
Le successioni in cui uno schema contiene repliche in miniatura di se stesso (come le matrioske
russe) si chiamano frattali. Il termine frattale è stato coniato dal matematico B. B. Mandelbrot.
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su
scala sempre più ridotta.
Questa è la “definizione” più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una
frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: la
proprietà principale di un frattale è l’autosomiglianza.
Se nel triangolo di Tartaglia si colorano le celle dei numeri pari si ha:
cioè si forma una figura simile ad una figura geometrica nota come triangolo di Sierpinskj.
Il triangolo di Sierpinski è un esempio di figura frattale.
Il Triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti
bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.
Il Triangolo di Tartaglia al computer, come frattale: i numeri pari sono stati sostituiti da
punti neri e i numeri dispari da punti rossi.
Termini dispari
Triangolo di Sierpinski
Continuando a giocare con il triangolo di Tartaglia, possiamo colorare le caselle contenenti i
multipli di 3, quelle dei multipli di 4 e infine quelle dei multipli di 5.
Si formano dei triangoli… tutti a testa in giù… Questo triangolo è veramente una miniera d‘oro!!!
É certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde.
La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di ognuno.
Possiamo concludere con una citazione di Hans Magnus Enzensberger:
"La matematica è davvero una storia infinita, disse. Scavi e scavi e trovi sempre qualcosa di
nuovo."
NUMERI TRIANGOLARI E QUADRATI
Individuare nel triangolo di Tartaglia i numeri triangolari rimarcandoli con un colore.
Dopo, scrivere i numeri quadrati che si ottengono sommando due successivi numeri triangolari.
Rappresentarli nella griglia sottostante.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
9
10
11
36
55
165
21
126
1
7
28
84
210
462
1
6
56
252
462
5
35
126
1
15
70
210
330
10
35
84
1
4
20
56
120
3
10
21
1
6
15
28
45
3
5
7
2
4
6
1
8
36
120
330
1
1
9
45
165
1
10
55
1
11
1
I NUMERI DI FIBONACCI
Trova i numeri di Fibonacci nel seguente triangolo.
Ricordo che i numeri di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ………
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
1
4
10
20
35
56
84
120
165
1
5
15
35
70
126
210
330
1
6
21
56
126
252
462
1
7
28
84
210
462
I NUMERI DI FIBONACCI
Trova i numeri di Fibonacci nel seguente triangolo.
Ricordo che i numeri di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ………
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
9
10
11
36
55
165
21
126
1
7
28
84
210
462
1
6
56
252
462
5
35
126
1
15
70
210
330
10
35
84
1
4
20
56
120
3
10
21
1
6
15
28
45
3
5
7
2
4
6
1
8
36
120
330
1
1
9
45
165
1
10
55
1
11
1
TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Nel triangolo di Tartaglia individua i numeri naturali, triangolari e tetraedrici, rimarcandoli con un colore.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14
9
10
11
12
13
45
66
220
286
364
120
495
715
1001
792
2002
3003
45
495
1
10
55
220
715
2002
1
9
165
1287
3003
8
120
792
1
36
330
1716
3432
28
210
924
1
7
84
462
1716
6
56
252
1
21
126
462
1287
15
70
210
1
5
35
126
330
4
20
56
1
10
35
84
165
6
15
28
1
3
10
21
36
55
78
91
8
3
5
7
2
4
6
1
11
66
286
1001
1
1
12
78
364
1
13
91
1
14
1
TRIANGOLO DI PASCAL
Nel seguente triangolo, individua i numeri naturali, triangolari e tetraedrici.
Puoi evidenziarli con un colore
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
105
120
136
153
171
1
4
10
20
35
56
84
120
165
220
286
364
455
560
680
816
969
1
5
15
35
70
126
210
330
495
715
1001
1365
1820
2380
3060
3876
1
6
21
56
126
252
462
792
1287
2002
3003
4368
6188
8568
11628
1
7
28
84
210
462
924
1716
3003
5005
8008
12376
18564
27132
1
8
36
120
330
792
1716
3432
6435
11440
19448
31824
50388
1
9
45
165
495
1287
3003
6435
12870
24310
43758
75582
1
10
55
220
715
2002
5005
11440
24310
48620
92378
1
11
66
286
1001
3003
8008
19448
43758
92378
1
12
78
364
1365
4368
12376
31824
75582
1
13
91
455
1820
6188
18564
50388
1
14
105
560
2380
8568
27132
1
15
120
680
3060
11628
MULTIPLI DI 5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14
9
10
11
12
13
45
66
220
286
364
120
495
715
1001
792
2002
3003
45
495
1
10
55
220
715
2002
1
9
165
1287
3003
8
120
792
1
36
330
1716
3432
28
210
924
1
7
84
462
1716
6
56
252
1
21
126
462
1287
15
70
210
1
5
35
126
330
4
20
56
1
10
35
84
165
6
15
28
1
3
10
21
36
55
78
91
8
3
5
7
2
4
6
1
11
66
286
1001
1
1
12
78
364
1
13
91
1
14
1