DISEQUAZIONI DI II
GRADO
ax  bx  c  0
2
ax  bx  c  0
2
ax  bx  c  0
2
ax  bx  c  0
2
Lo studio del segno di un trinomio
Considerando che il coefficiente a sia sempre positivo cioè a>0
per risolvere le disequazioni di secondo grado
si utilizzano le seguenti regole
ax²+bx+c > 0
ax²+bx+c < 0
ax²+bx+c=0
Δ>0
X<x₁ v X>x₂
Intervalli esterni
Δ<0
x₁<X<x₂
Intervalli interni
Δ<0
Sempre verificata
XЄR
Δ<0
Impossibile Ø
Nessuna soluzione
reale
Δ=0
Sempre verificata
XЄR
purchè X≠(x₁=x₂)
Δ=0
Impossibile Ø
Nessuna soluzione
reale
Nel caso in cui ci sia anche maggiore o minore o uguale o uguale
si osservano le seguenti regole
ax²+bx+c ≥0
ax²+bx+c ≤0
ax²+bx+c=0
Δ>0
X≤x₁ v X≥x₂
Intervalli esterni
Δ<0
x₁≤X≤x₂
Intervalli interni
Δ<0
Sempre verificata
XЄR
Δ<0
Impossibile Ø
Nessuna soluzione
reale
Δ=0
Sempre verificata
XЄR
Δ=0
Una sola soluzione
reale coincidente con
x₁=x₂
esempio
x  14 x  13  0
2
Si considera l’equazione associata
x  14 x  13  0
2
x 2  14 x  13  0
Si risolve, trovando le eventuali
radici
x
0
14  196  4 1  13
2
14  144
x
2
14  12

2
x1  1
x2  13
x 1
x  13
Si posizionano le radici sopra
una retta orientata.
1
13
Poiché il verso è positivo e il Δ>0 si prendono gli intervalli esterni alle soluzioni trovate
X<1
V
X> 13
]−∞ ,1[ U ] 13 , +∞ [
LE DISEQUAZIONI FRAZIONARIE DI
SECONDO GRADO
Le disequazioni frazionarie sono le
disequazioni in cui l’incognita compare al
denominatore,ridotte in forma normale si
presentano :
dove A(x) e B(x) sono polinomi nella variabile
x e almeno uno di essi è di secondo grado.
Procedimento di risoluzione di
disequazioni frazionarie
1. Si pongono numeratore e denominatore entrambi > 0
indipendentemente dal verso della disequazione
2. Si riporta il segno del denominatore e numeratore sul
grafico, ricordando che la linea continua indica i valori positivi
e la tratteggiata valori negativi.
3. La soluzione della disequazione è data dal prodotto dei segni
che corrispondono al verso della disequazione. Poiché
l’incognita compare al denominatore,occorre stabilire
inizialmente le condizioni di accettabilità,escludendo i valori di
x che rendono nulli i denominatori,in corrispondenza dei
quali, l’espressione perde senso e con essa anche la
disequazione.
Esempio
Per risolvere le seguente disequazione frazionaria:
1
3 x
5
1 x
1 x
Trasportiamo tutti i termini al primo membro e riduciamo allo stesso
denominatore
1
3 x
1  4(1  x)  (3  x)
2  5x
4
0
0
1 x
1 x
1 x
1 x
Ora studiamo il segno del numeratore e del denominatore risolvendo la
disequazione che si ottiene ponendo ciascun termine maggiore a zero:
N  2  5x  0  x 
2
5
Rappresentiamo ora il segno del numeratore
su due linee parallele, tratteggiate in
corrispondenza dei valori di x per cui
ciascuno dei due termini, N e D, è negativo e
continua in corrispondenza dei valori di x per
cui ciascuno dei due termini è positivo.
Sulla terza linea rappresentiamo il segno della
frazione. In quanto il segno è positivo in
questo caso prenderemo i valori per i quali la
disequazione è positiva ovvero
D  1 x  0  x  1
2
5
N
D
N
D
x
1
________________
_____ _ _ _ _ _ _ _
__________ _ _ _
_____ _ _ _ ______
+
+
2
 x 1
5
Sistema di disequazioni
Cosa significa cercare la soluzione di un sistema di disequazioni?
Significa individuare,se esistono, gli intervalli comuni di soluzioni
. tra più disequazioni.
Il procedimento risolutivo è il seguente:
1. Si risolvono separatamente ciascuna delle disequazioni del sistema
2. Si rappresentano graficamente
3. Si individuano le soluzioni comuni
Supponiamo di dover risolvere questo sistema:
A) 5 –x ≥0
B) (x-2)(x+3) > 0
C) (x-4) / (- x - 2) ≥ 0
Risolvo separatamente le disequazioni messe a sistema, utilizzando tutte le tecniche
imparate precedentemente:
A) È di 1° grado, non serve fare lo studio del segno:
-x ≥ -5  x ≤ 5  ]-∞, 5]
B) È già scomposta, faccio lo studio per fattori
1) x-2 >0  x>+2
2) x+3>0  x>-3
-3
+2
1)
2)
+
_
+
La soluzione è (attento, nessun pallino!perchè l’estremo è escluso) : ] -∞ , -3[ U ]+2, +∞[
C) È un disequazione fratta, già scomposta. Posso fare subito lo studio del segno:
N) x-4 ≥0  x≥+4
D) - x - 2 > 0 - x > < +2  x< -2
Hai notato che l’uguale è solo al numeratore?
Hai notato che al denominatore - a causa del meno davanti alla x - ho cambiato
segno e versi?
Costruisco la tabella (attento! Al denominatore il primo segno va verso sinistra)
e scelgo la zona con il più (nell’esercizio c’è ≥)
-2
+4
D)
N)
_
+
o
_
La soluzione è (occhio al pallino!): ]-2, +4]
A questo punto costruisco una nuova tabella che deve rappresentare SOLO
le soluzioni del sistema. Osserviamo che
• la tabella delle soluzioni deve avere tante linee quante sono le disequazioni
messe a sistema
• in questa tabella non ci sono linee tratteggiate!
infatti si rappresentano le soluzioni con delle linee continue
• la soluzione è rappresentata dagli intervalli che sono CONTEMPORANEAMENTE
soluzione su tutti i livelli
Mi riscrivo per bene le singole soluzioni in corrispondenza delle disequazioni della traccia
A)
]-∞, +5]
B)
] -∞ , -3[ U ]+2, +∞[
C)
]-2, +4]
Tabella delle soluzioni del sistema:
-∞
-3
-2
+2
+4
+5
+∞
o
A)
B)
C)
o
La soluzione è quella evidenziata : ]+2, +4] , poiché è l’unica colonna in cui i tre
livelli hanno contemporaneamente la linea continua.