MARIOLINA CAPPADONNA
CORSO
DI MATEMATICA
Per il primo biennio
Algebra 2
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
INDICE
Presentazione
1
IX
Calcolo letterale
(2ª parte)
1 Frazioni algebriche
1.1 Monomi frazionari
1.2 Elevamento a potenza, avente per
esponente un numero relativo,
di un monomio
1.3 Frazioni algebriche
2
2
2
algebriche
1 Radicali
44
1.1 Radicali numerici e letterali
1.2 Condizioni di esistenza di un
44
radicale letterale
Operazioni con i radicali
Espressioni irrazionali
Razionalizzazione del
denominatore di una frazione
Radicali quadratici doppi
44
45
56
3
5
1.3
1.4
1.5
8
1.6
2 Operazioni con le frazioni
I radicali
56
59
2.1 Minimo comune multiplo
di più monomi interi
8
2.2 Minimo comune multiplo
di più polinomi
9
2 Semplici equazioni numeriche
di primo grado contenenti
coefficienti irrazionali
60
2.3 Operazioni con le frazioni
algebriche
10
2.4 Espressioni contenenti frazioni
algebriche
14
3 Semplici sistemi di equazioni
numeriche di primo grado
contenenti coefficienti irrazionali 60
ESERCIZI
ESERCIZI
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
15
17
29
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
62
63
89
RECUPERO
32
RECUPERO
99
INDICE
3
Equazioni di secondo grado
in una sola incognita
1 Equazioni numeriche intere
di secondo grado
124
1.1 Equazioni numeriche intere
di secondo grado monomie
125
1.2 Equazioni numeriche intere
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
di secondo grado pure
Equazioni numeriche intere
di secondo grado spurie
Equazioni numeriche intere
di secondo grado complete
Formula risolutiva ridotta
di un’equazione numerica intera
completa di secondo grado
Relazioni tra i coefficienti e le
soluzioni di un’equazione
numerica intera di secondo
grado determinata in R
Scomposizione di un trinomio
completo di secondo grado
3 Regola di Cartesio
binomie
1.5 Equazioni numeriche intere
trinomie
1.6 Equazioni reciproche
128
RECUPERO
199
131
5
Equazioni frazionarie
1 Equazioni numeriche
132
frazionarie
206
1.1 Principi di equivalenza e loro
133
conseguenze
1.2 Risoluzione di un’equazione
numerica frazionaria
206
207
135
136
2 Equazioni di quarto grado
reciproche di prima specie
140
143
161
RECUPERO
168
RECUPERO
Equazioni di grado
superiore al secondo
6
209
212
213
222
224
Sistemi di equazioni
1 Sistemi di equazioni di
1 Equazioni di grado
180
secondo grado
230
1.1 Sistemi numerici interi
1.1 Equazioni numeriche intere
di grado superiore al secondo
1.2 Equazioni numeriche intere
di grado superiore al secondo
riconducibili a più equazioni
di grado inferiore mediante
scomposizione
184
185
127
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
superiore al secondo
182
187
188
197
ESERCIZI
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
4
182
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
ESERCIZI
IV
monomie
1.4 Equazioni numeriche intere
ESERCIZI
125
2 Problemi di secondo grado
in una sola incognita
1.3 Equazioni numeriche intere
180
di secondo grado in
due incognite
1.2 Sistemi simmetrici
230
233
2 Sistemi numerici interi di
180
grado superiore al secondo
234
INDICE
3 Sistemi numerici frazionari
237
ESERCIZI
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
239
240
257
RECUPERO
266
ESERCIZI
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
314
315
324
RECUPERO
327
9
7
Disequazioni numeriche
intere di primo grado
Disequazioni frazionarie
1 Disequazioni numeriche
frazionarie
1 Disuguaglianze e loro
proprietà
2 Disequazioni
276
ESERCIZI
277
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
340
341
347
RECUPERO
348
2.1 Classificazione delle
2.2
2.3
2.4
2.5
disequazioni
Risoluzione di una
disequazione
Disequazioni equivalenti e
principi di equivalenza delle
disequazioni
Grado di una disequazione
Ricerca delle soluzioni di una
disequazione numerica intera
di primo grado in una sola
incognita
277
278
10
278
279
280
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
286
288
297
RECUPERO
298
Disequazioni numeriche intere
di grado superiore al primo
1 Disequazioni numeriche intere
di secondo grado
Sistemi di disequazioni
1 Sistemi di disequazioni
nella stessa incognita
354
ESERCIZI
ESERCIZI
8
336
304
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
359
359
368
RECUPERO
371
11
Semplici equazioni e
disequazioni con valore assoluto
1 Equazioni con valore assoluto
in una sola incognita
376
2 Disequazioni con valore
assoluto in una sola incognita 377
ESERCIZI
2 Disequazioni di grado superiore
al primo risolvibili con il
metodo della scomposizione 311
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
379
379
381
V
INDICE
12
Semplici equazioni e
disequazioni letterali
1 Equazioni letterali
13
384
1 Cenni di calcolo
delle probabilità
1.1 Equazioni letterali in una
sola incognita
1.2 Risoluzione di un’equazione
letterale intera di primo grado
in una sola incognita
1.3 Risoluzione di un’equazione
letterale intera di secondo grado
in una sola incognita
1.4 Risoluzione di un’equazione
letterale frazionaria
in una sola incognita
2 Disequazioni letterali
384
384
386
390
391
2.1 Disequazioni letterali in una
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Introduzione
Operazioni logiche fra eventi
Frequenza di un evento
Probabilità di un evento
Differenza tra frequenza e
probabilità
1.6 Teoremi sul calcolo delle
probabilità
2 Cenni di statistica
2.1 Introduzione
2.2 Rappresentazioni grafiche
410
410
410
413
414
415
416
419
419
419
ESERCIZI
sola incognita
391
2.2 Risoluzione di una disequazione
letterale intera di primo grado
in una sola incognita
391
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
425
427
437
ESERCIZI
Esercizi per le prove PISA
443
Sapere
Saper fare
Riepilogativi
VI
Cenni di probabilità
e statistica
393
394
405
PRESENTAZIONE
Il libro di testo è uno strumento didattico principalmente rivolto agli studenti ma, contemporaneamente, deve rispondere in modo completo alle richieste di tipo metodologico del
docente che intende usarlo.
Questo Corso di matematica tiene conto sia delle segnalazioni e delle informazioni pervenute nel corso degli anni da studenti e docenti di matematica, sia dell’esperienza didattica
maturata nella quotidianità dell’insegnamento.
L’impostazione metodologica dell’opera presenta sfaccettature particolari e innovative.
Aspetti originali sono ravvisabili nell’anticipazione, rispetto alla loro trattazione approfondita, di alcuni concetti o temi, sia perché utilizzati come strumenti propedeutici di quelli successivi, sia al fine di facilitare il loro apprendimento (come, per esempio, risolvere semplici
equazioni di primo grado già dal capitolo dei numeri naturali), nel ricorso a schemi, grafici,
figure geometriche o tabelle per risolvere esercizi proposti, nell’utilizzo dei numeri “sotto il
segno di radice” sin dal primo capitolo sui numeri, nell’utilizzo di concetti e nelle trattazioni di temi spesso dimenticati dai libri della scuola media superiore (per esempio le operazioni con i numeri decimali, i problemi contenenti cambiamenti di unità di misura, le percentuali, gli sconti, le formule inverse).
Tutto questo tenendo sempre ben presente che è lo studente il soggetto al centro del lavoro di tutti i giorni e che l’obiettivo principale e costante deve essere il creare successi
didattici.
Il Corso di matematica è suddiviso in tre volumi: Algebra 1, Algebra 2 e Geometria ed è
rivolto agli studenti del primo biennio dei licei e degli istituti tecnici. I tre volumi percorrono infatti tutti i temi di matematica previsti dalle linee ministeriali per i primi due anni.
Le nozioni sono presentate con linguaggio chiaro e conciso, tuttavia rigoroso come richiede la disciplina, e sono sempre accompagnate da esempi esplicativi.
VII
PRESENTAZIONE
Nei due volumi di algebra, dopo la trattazione di
alcuni argomenti già noti agli studenti, viene dato
ampio spazio agli insiemi numerici, al linguaggio
algebrico, alle applicazioni in ambito algebrico, non
solo prettamente orientate in ambito matematico, ma
anche verso contesti più generali. All’interno dei due
volumi vengono infatti proposti problemi di
Matematica pratica, problemi e compiti che ogni
studente può incontrare nella vita di tutti i giorni e in
cui è necessario applicare principi e ragionamenti
matematici. Essi hanno l’obiettivo di disabituare i
giovani a risolvere solo problemi di tipologia classica (dato x, calcola y) e puntano a sviluppare la capacità degli studenti di utilizzare le loro conoscenze per
affrontare compiti e prove di vita quotidiana.
unpo’ diaiuto
Marco ha ricevuto un sacchetto con 495 caramelle, 110 al limone e 385
all’arancia. Marco non riesce a dividere le caramelle in più sacchetti in modo
che tutti i sacchetti contengano la stessa composizione di caramelle al limone e
all’arancia e, inoltre, che tutte le caramelle vengano utilizzate. Qual è la soluzione del
problema di Marco?
CAPITOLO
1
ESERCIZI
Richiami di
insiemistica
Il problema è risolvibile mediante l’applicazione del MCD.
Il numero di sacchetti deve essere un divisore comune di 110 e di 385:
110 = 2 · 5 · 11
385 = 5 · 7 · 11
per cui MCD(110, 385) = 5 · 11 = 55.
Ciascuno dei 55 sacchetti dovrà contenere 495 : 55 = 9 caramelle in tutto.
Il dirigente scolastico e i suoi stretti collaboratori si riuniscono ogni 14 giorni, i docenti ogni 16 giorni e il personale non docente ogni 24 giorni. Se oggi le tre categorie si
sono riunite, tra quanto si riuniranno nello stesso giorno?
Il problema si risolve con l’aiuto del mcm infatti, la risposta al quesito è il più piccolo multiplo comune tra 14, 16 e 24, ossia:
mcm(14, 16, 24) = 336
Risolvere i seguenti problemi con l’ausilio del MCD e del mcm
Matematica
PRATICA
262 Una lavanderia possiede tre lavabiancheria. Una deve essere revisionata tra 30 giorni, un’altra tra 15 giorni e la terza tra 20 giorni. Oggi sono state revisionate tutte e
tre. Tra quanto tempo ricapiterà la revisione contemporanea?
263 Quattro colleghi di lavoro si recano nella filiale della loro azienda con le seguenti
modalità:
• il primo ogni cinque giorni;
• il secondo ogni quindici giorni;
• il terzo ogni venti giorni;
• il quarto ogni venticinque giorni.
Oggi si sono ritrovati tutti insieme nella filiale. Tra quanto tempo si ritroveranno
ancora tutti e quattro nella filiale?
264 Una parte di corridoio cieco della casa di Giulia è un quadrilatero avente i lati lunghi rispettivamente 200 cm, 120 cm, 130 cm, 150 cm. Giulia vuole illuminarlo con
dei faretti, in modo che all’inizio e alla fine di ogni lato del corridoio ce ne sia sempre uno e che, inoltre, la distanza tra due faretti consecutivi sia costante sui quattro
lati e la più grande fra tutte le possibilità. A quale distanza deve installare i faretti?
Quanti faretti saranno necessari?
[10 cm; 60]
265 Paolo deve riporre in una cassettiera 15 paia di calzini neri, 25 paia di calzini grigi
e 20 paia blu. Se li vuole riporre in modo da occupare il maggior numero possibile
di cassetti e che in ognuno di essi vi siano tre tipi diversi di calzini e lo stesso numero di paia per colore, di quanti cassetti deve disporre? Quante paia di calzini di ciascun colore saranno riposti in ogni cassetto?
[5; 3, 5, azioni elementari in N
VIII
La s
dei ntoria
umer
i
per
Esercizi PISA
e
le prov
erg
Könisb
ponti di
n I sette
o
n Il tuon e luminoso
al
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bi
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ala
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ea
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pl
n Il com matematico
o
n Il mag
n Il dado fica
si
n La clas
orari
n I fusi
o
colatin
n Il cioc
ulta
n La m
oni
n I polig libero
po
n Il tem
mpe
n Le za
ioni
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atica
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matem
rifica di
ve
La
n
melle
ra
ca
n Le
nG
li uo
cono mini preis
sce
to
nI
siste vano i nu rici
meri?
nell mi di n
n C ’antichit umerazio
à
uriosi
ne
tà su
nI
nomi
i num
dei g
e
in E
rand ri
i num
n U uropa
na c
eri
dei n onquista
ostri
n
giorn umerica
i
In fondo ai volumi di algebra è
presente la sezione Esercizi per le
prove PISA, esercizi strutturati e
costruiti secondo i criteri di indagine e valutazione su cui si basano le
prove OCSE-PISA che hanno l’obiettivo di sviluppare la capacità degli studenti di misurare le proprie scelte e di
prendere decisioni mediante l’applicazione, a contesti extrascolastici, di quanto viene da loro appreso a scuola.
Il primo volume di algebra contiene anche
una panoramica sull’evoluzione storica
dei numeri, dall’antichità fino ai giorni
nostri.
CAPITOLO
1
1 Poligoni inscritti in una circonferenza
1.1 Poligoni inscritti in una circonferenza
TEORIA
Costruzioni geometriche
DEFINIZIONE
Un poligono avente tutti i vertici su una circonferenza prende il nome di poligono inscritto nella circonferenza.
Una circonferenza che contiene un poligono in essa inscritto prende il nome di circonferenza circoscritta al poligono.
E
F
ABCDEF è un
D poligono (esagono)
D
C Il poligono ABCD
inscritto nella
circonferenza.
O
A
O
C
B
B
(quadrilatero)
non è inscritto nella
circonferenza.
A
Se tutti i vertici di un poligono sono punti di una semicirconferenza e uno dei lati del poligono è il diametro
della semicirconferenza, il poligono si dice inscritto nella semicirconferenza.
D
Il volume di geometria fornisce la trattazione completa della geometria euclidea (piana e solida) ed è
corredato di molte figure esemplificative nonché di
dimostrazioni guidate, al fine di accompagnare lo
studente nell’applicazione dei teoremi appresi a
casi concreti. Le dimostrazioni di teoremi presenti
nel volume solo in forma enunciata sono fornite
nella guida per il docente.
VIII
A
C
O
B
ABCD è un poligono (trapezio) inscritto
in una semicirconferenza di diametro AB.
DEFINIZIONE
Un poligono è inscrittibile in una circonferenza quando esiste una circonferenza passante per tutti i
suoi vertici.
■ Se gli assi dei lati di un poligono si intersecano in uno stesso punto allora il poligono è inscrittibile
in una circonferenza.
1.2 Poligoni inscrittibili
■ Un triangolo qualsiasi è sempre inscrittibile.
Il punto di intersezione degli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza è il centro della circonferenza circoscritta.
Sia ABC un triangolo qualsiasi.
Ipotesi: ABC è un triangolo qualsiasi.
Tesi: ABC è inscrittibile.
Dimostrazione:
Il circocentro di un triangolo qualsiasi è equidistante dai tre vertici quindi la circonferenza avente per raggio tale distanza è circoscritta al triangolo. Tale circonferenza è unica poiché per tre punti non allineati (i
VIII
LO
CAPITO
letterale
Calcolo(2ª parte)
1
preso:
avrai ap
SAPERE
pitolo,
mi
esto ca
e mono
ne di qu
te di du
za
Al termi
quozien
a poten
nto
izioni di
fin
me
de
eleva
n le
izione di
fin
de
n la
nario
nomio
o frazio
di un mo ne di monomi
izio
merico
n la defin icato di valore nu
n il signif nomio frazionarioalgebrica
mo
ne
un
zio
di
fra
izione di
merico
n la defin icato di valore nu
n il signif frazione algebrica algebrica
ne
di una
di frazio
finizione
de
la
n
nomi
ile
più mo
irriducib ne di mcm di
omi
più polin
izio
n la defin izione di mcm di zioni tra frazioni
n la defin izione delle opera
n la defin he
algebric
online
Risorse
grado di:
FARE
sarai in
SAPER
pitolo,
esto ca
zionario
ne di qu
mio fra
da una
Al termi
un mono o frazionario
ere
osc
mi
n ricon ere un mono
zione
n distingu algebrica
una fra
di
ne
zio
nio
fra
domi
nare il
zione
n determi a
una fra
rico di
algebric
e nume
merici
e il valor
valori nu
n calcolar a per particolari
e
ric
eb
ter
let
alg
a
e
algebric
i alle su
attribuit
frazione a frazione
are una
un
n semplificai minimi termini
n ridurre a
nomi
più mo
di
m
i
algebric
mc
polinom
nare il
n determi nare il mcm di piùriche allo stesso
n determi più frazioni algeb
zioni
n ridurre natore
fra
te più
ricamen
denomi
are algeb
n addizionhe
riche
ni algeb
zio
algebric
fra
riche
are più
n moltiplic due frazioni algebzione algebrica
n dividere a potenza una fra nenti frazioni
n elevare e espressioni conte
n calcolar he
algebric
torio con
Labora
torio con
Labora
ZI
ESERCI
Ogni volume è suddiviso in capitoli a loro volta strutturati in paragrafi e sottoparagrafi.
Nella pagina di apertura sono elencate le conoscenze
(sapere) e le competenze (saper fare) che lo studio
degli argomenti permetterà di acquisire.
In basso sono indicate le attività di laboratorio e di
esercizi e/o approfondimenti disponibili online,
collegate al capitolo stesso.
PRESENTAZIONE
CLIL
Math
DERIVE
EXCEL
Ogni nuovo concetto e ciascuna delle proprietà introdotte sono inoltre corredati di una serie
di esempi chiarificatori nei quali ogni passaggio è spiegato in modo articolato e puntuale.
All’interno di molti paragrafi dei volumi di algebra sono presenti i Casi particolari che
accompagnano gli studenti nell’immediata applicazione a casi specifici, spesso a loro già
noti, delle nozioni teoriche apprese.
O
1
TEORIA
di
Richiami ca
insiemisti
uso di
sario far
nsare
be neces
emi
Gli insi
sareb
iente pe
e
.
per farlo
è suffic
di insiem
e perché per assimilarlo nco di nomi ecc
e
ncetto
e di insiem
un ele
o
finiti, a
1.1 Il co dare una definizion e è quindi intuitivo
esempi
tti ben de
di ogge
ssibile
di insiem
i numeri
Non è po imi. Il concetto , a una raccolta
armadio,
nti
on
.
ti in un
suoi sin zione di eleme
a classe
contenu
lle
nti di un
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classe,
gli stude
a stessa cio, i nomi de
un
di
i
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i: gli alu
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Sono
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, B, C, ...)
naturali
abeto (A
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ge: x
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e si leg
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insiemi
ive: x ∈Y : x ∉Y e si
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Gl
si
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Y,
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1.
scr
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b, c, ...)
insieme
di Y, si
nti. L’ini si indica
un certo
scole (a,
o eleme a classe
elemento
Gli insiem n lettere minu gli elementi di
n è un
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insiem
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n tutti gli di uno studente
ica
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Per ind
me Y. No
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ene all’in rtiene all’insie gella di fine
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menti.
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legge: x voti insufficien un insieme pri
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ica con
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success
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nti si dic
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n
DEFINIZI
no
e, vicev
e no
ieme B
e si posso to.
ieme ch
ins
li. In
ins
iem
un
ua
ins
Un
di
•
nti
di un
ono ug
e infini
B si dic
che eleme
elementi
ti, si dic
sono an di A, allora A e : A ≠ B.
• Se gli finito; altrimen
ieme A
ive
nti
ene
e
ins
nti
scr
me
dic
un
si
si
e B co
menti di sono anche ele sono uguali,
nto di B
ora si
B
ti gli ele
e B non
che eleme rtiene ad A, all : A
• Se tut gli elementi di
iemi A
di A è an
legge
n appa
due ins
sa, tutti
⊂ B e si
elemento di uno) che no
= B. Se
A
ni
A
li:
og
li:
bo
simbo
e B, se
nere più
B. In sim
eiemi A
può conte o dell’insieme
due ins
A può ess
nto (ne
pri
sia che
• Dati
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B, A
e A.
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A
o
B.
e
nti
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re con
è inclus
no
legge: B
B si inten
coincide
A che si boli che indica
Con A ⊆ insieme di B o
ma: B
tto
i o da sim
tto.
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re un so
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B anche
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A
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la relazion preceduto e ere X ⊂ Y o {x,
dei
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e
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pre
e scr
e pre
l’ins
sem
Scriv
l’insiem turali; con Z
meri
È possibil ⊂ deve essere ⊂ N è errato.
e dei nu
numeri,
1
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no solo
Il simbo rivere x ⊂ Y o
R l’insiem ro. Gli insiedei nume
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Sc
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Se gli
la letter Q l’insieme de
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esempi
numeric eri relativi, co no gli stessi ins essivi.
.
int
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ieme pro
ttoinsiem
sottoins
pari è so
A è un
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I A.
• L’ins
è corretto
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z} ⊂ Y
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o {x, y,
Y
• L’ins
⊂
scu
X
lla
. Scrivere
alunni de
N è errato
Yo1⊂
⊂
x
Scrivere
⊂
CAPITOL
IX
CASI
PARTI
COLA
RI
vuoto: me vuoto
è
univer ∅ ⊂ A, ∀ considerat
A
ogni, sale e il cu ≠ ∅ (dov o sottoinsi
n Ogn per tutti). i significat e il simboloeme proprio
i insi
o sarà
di
∀
eme
CAPI
studia , che pren qualsiasi
è sotto
TOLO
al
de
to ne
1.3 R
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l pros il nome tro insiem
e impr
appre
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di
simo
oprio
capito quantific non
senta
Un in
di se
atore
lo, si
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zione
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le
pu
gg
ò esse
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:A⊆
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TEOR
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A.
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RichiamIA
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A = {0 zione, scri
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3, 4,
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{n ∈N icando tr
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ma
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n Per
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matita
penn
a
penn
arello
A
B
IX
IX
PRESENTAZIONE
I testi propongono un elevato numero di esercizi, articolati secondo la scansione dei capitoli,
dei paragrafi e dei sottoparagrafi. Gli esercizi
sono suddivisi in tre tipologie: Sapere, Saper
fare e Riepilogativi.
ESERCIZI
SAPERE
COMPLETA
.
è …………………………….
1 Un insieme
………..
……………………
si dice finito se
.
2 Un insieme
se …………………………….
si dice infinito
.
3 Un insieme
………………….
o uguali se …………
.
dicon
si
mi
……………….
4 Due insie
insieme se ……………
altro
un
di
……..
me
……………………
è sottoinsie
………. e …
5 Un insieme
……………………
mi
insie
in sotto
.
si distinguono
mi
………………….
insie
…………
sotto
I
tuito
6
costi
mi è l’insieme
insie
due
tra
.
……….
……………………
7 L’intersezione
ieme costituito
………..
due insiemi è l’ins
tuito ……………………
8 L’unione tra
è l’insieme costi
.
……………….
tra due insiemi
costituito ……………
9 La differenza
me A è l’insieme
.
insie
un
di
………………….
ntare
costituito …………
10 Il compleme
ieme
l’ins
è
mi
insie
cartesiano di due
otto
prod
.
Il
……….
11
unti se ……………………
disgi
o
dicon
si
12 Due insiemi
Gli esercizi del Sapere (completa, rispondi,
vero/falso, scelta multipla) sono prove di tipo
cognitivo e possono essere svolti in classe, con
la guida del docente, o in modo autonomo a
casa. In entrambi i casi permettono allo studente di gestire attivamente il processo di
apprendimento e l’acquisizione delle conoscenze, di memorizzare quanto appreso
durante la spiegazione, di utilizzare correttamente il linguaggio matematico.
tra due insiemi?
RISPONDI
prodotto cartesiano
o?
rappresentare il
le all’insieme vuot
13 Come si può
può essere ugua
tra due insiemi
renza
diffe
La
14
15 A – B ⊆ A?
mi?
insie
gli
tare
ono rappresen
a di Eulero-Venn?
16 Come si poss
con un diagramm
e rappresentato
finito può esser
17 Un insieme
ica di un insieme?
cui
terist
carat
due insiemi di
la proprietà
i di Eulero-Venn,
18 Che cos’è
ante i diagramm
resentano, medi
19 Come si rapp
dell’altro?
uno sottoinsieme
VERO/FALSO
altro insieme.
me di qualsiasi
e vuoto.
vuoto è sottoinsie
20 L’insieme
uguale all’insiem
insiemi non è mai
o
unione tra due
21 L’insieme
le all’insieme vuot
insiemi è ugua
le
due
tra
siano
carte
prodotto è ugua
22 Il prodotto
mi coinvolti nel
insie
degli
solo se ciascuno
a
allor
o.
o,
sieme vuot
all’insieme vuot
mi è uguale all’in
uno dei due insie all’insieme vuoto.
23 Se almeno
le
sezione è ugua
l’insieme inter
V
F
V
F
V
F
V
F
X
Gli esercizi del Saper fare (completa, scelta multipla, vero/falso, domande aperte) consentono di applicare le conoscenze acquisite nonché di verificare l’avanzamento del proprio processo formativo. Ogni gruppo di esercizi è introdotto da Un po’ di aiuto, una raccolta di
esempi risolti e commentati, creata al fine di aiutare lo studente a gestire autonomamente la
propria capacità risolutiva.
Gli esercizi Riepilogativi sono collocati in fondo a ogni capitolo e offrono un concreto aiuto
nel processo di consolidamento e di rafforzamento delle conoscenze nonché nell’acquisizione di una preparazione adeguata prima di una verifica sommativa.
CAPITOLO
24 Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A ∪ B = B ∪ A.
V
F
25 Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A × B = B × A.
V
F
26 Qualsiasi siano gli insiemi A e B: A – B = B – A.
V
F
27 Qualsiasi siano gli insiemi A, B e C: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
V
F
1
ESERCIZI
Richiami di
insiemistica
SCELTA MULTIPLA
28 Se A ⊂ B ∧ A ≠ ∅ ⇒
a) A ∩ B = B
c) A ∩ B ≠ ∅
b) A ∩ B = A
d) A ∪ B = ∅
CAPITOLO
29 Dati tre insiemi A, B e C, allora A ∩ (B ∪ C) è uguale a:
a) (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)
b) (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)
c) (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)
d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
1
ESERCIZI
Richiami di
insiemistica
30 Dato un insieme universo U, il complementare del complementare di un insieme A
è uguale:
a) all’insieme A
b) all’insieme vuoto
c) all’intersezione tra A e U
d) all’unione tra A e U
ati
n di seguito indic
(E4)16]
sistemi di base
[(11100100)2;
enti numeri nei
Esprimere i segu
n = 2, 16
) ; (1B5)16]
110101)2; (665 8
306 (228)10
307 (437)10
309 (52)10
310 (8C)16
1)
311 (1111110 2
312 (13000)5
SAPER FARE
1.2 Gli insiemi e i simboli
313 (125)6
314 (437)10
Inserire il simbolo mancante < , > o = tra le seguenti coppie di numeri:
45…65; 909…901; 488…478; 20…52; 10…2 ⋅ 5
Inserire il simbolo mancante
n = 5, 10, 16
16
0) ; (3E8)16]
n = 2, 3, 4, 10,
(33220)4; (100 10
; (1101001)3;
; (35)16]
[(1111101000)2
[(110101)2; (53)10
2) ]
n = 2, 10, 16
[(12311)4; (322 5
n = 4, 5
[(23) ; (17)16]
10
317 (7BC)16
318 (19260)10
I simboli < e >, da sinistra verso destra, si leggono minore e maggiore, per cui:
45 < 65; 909 > 901; 488 > 478; 20 < 52; 10 = 2 · 5
[(31)10; (1F)16]
1) ; (310)4]
[(110100)2; (122 3
(140)10]
[(10001100)2;
; (FD)16]
[(2003)5; (253)10
n = 2, 3, 4
n = 2, 10
1) ]
; (210112)3; (431 5
[(1001000101)2
) ; (1980)16]
[(11110111100 2
n = 10, 16
n = 2, 3, 5
315 (10111)2
316 (581)10
unpo’ diaiuto
[(110
n = 2, 8, 16
n = 10, 16
308 (11111)2
n = 2, 10
]
; (222102100)3
n = 2, 3, 16
1100)2; (4B3C)16
[(10010110011
PILOGATIVI
ESERCIZI RIE
1
–1 … N
2
12 … N
3
{0, 1, 2} … N
4
{0, 1, 2} … {n ∈N ⎢0 ≤ n ≤ 4}
1
89 – 43
4
5
{n ∈N ⎢n < 6} … {0}
3
12 : 4 – 2
4·2–7
{n ∈N ⎢n < 5} … {0, 1, 2, 3, 4}
32 + 13 – 44
2 – 10 : 2
6
5
8
5–3·2
6
ero naturale
ssioni è un num
seguenti espre
risultato delle
Stabilire se il
2 43 – 89
Individuare la risposta giusta tra quelle proposte
79 Quattro è compreso tra uno e venti.
7
2·3–6
9
[10 – 10 : 10 –
11
80 Il triplo della somma di due con il suo successivo è minore del cubo di tre e maggiore del doppio di 5.
3
9] : (1 – 1)
– 7)]
10 [4 · 5 – (12
12
3
:3·5–1
8 +5
27 + 16
vere o false
mazioni sono
seguenti affer
Stabilire se le
X
13
01
=0
14 00 = 1
18:9 = 22
9
15 218 : 2 = 2
e cinque.
dodici con tre
5 è la somma di
di tre
16 (12 + 3) –
e tra il quadruplo
+ 1) è la sottrazion
17 34 – (2 · 3
tre.
del doppio di
di due.
e il precedente
quattro e il cubo
e tra la metà di
izion
3
.
l’add
è
resto non nullo
18 4 : 2 + 2
é 21 : 2 = 10 con
ibile per 2 perch
19 21 non è divis
X
X
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
CAPITOLO
di un numero
Scomporre in
fattori primi i
seguenti num
eri
57 125, 236,
825
Equazioni
numeriche
intere
di primo
grado
61
65
69
73
PRESENTAZIONE
58 2222, 242,
4356
59 4840, 1100
, 660
60 363
Per scomporre
225 in fattori prim
unpo’ diaiuto
i, si traccia una
immediatamen
te alla destra del
linea verticale
numero e, a destr
si scrive il suo
a della linea,
più piccolo divis
ore primo ovve
Si divide 225 per
ro 3: 225 3
3 e si scrive il
quoziente sotto
il dividendo:
225 3
Il procedimento
si itera fino a quan
75
do il resto non
diventa nullo:
225
3
75
3
25
5
5
5
1
Per cui: 225 = 2 2
3 ·5
480
62 252
63 3780
1250
66 900
64 132
67 3465
240
70 1800
68 30 030
71 540
20 790
74 48 510
72 1350
3.4-3.5 MCD
e mcm
Calcolare il MCD
e il mcm dei
seguenti grup
pi di numeri
24, 48, 20
Si scompone ogni
RECUPERO
Algebra 1 e Algebra 2 contengono, alla fine di
alcuni capitoli, delle sezioni di recupero.
Ogni sezione di recupero segue la struttura dei
capitoli cui si riferisce. È infatti corredata di un
ripasso teorico, di esercizi del Sapere, del Saper
fare e Riepilogativi e costituisce un valido strumento per colmare le lacune eventualmente createsi nella preparazione di base degli studenti.
Le sezioni di recupero possono essere di grande aiuto anche per consolidare e rafforzare
quanto già appreso.
3.1 Numeri prim
i e numeri com
3.3 Scomposiz
posti - 3.2 Crit
ione
eri di divisibilità
in fattori prim
i
7
RECUPERO
unpo’ dia
iuto
numero in fatto
ri primi:
24 = 23 · 3; 48
Per calcolare il
= 24 · 3; 20 = 22
MCD, si devono
·5
moltiplicare i fatto
no preso una sola
ri primi comuni
volta e col mino
ai
r esponente:
numeri, ciascuMCD(24, 48, 20)
Per calcolare il
= 22 = 4
mcm, si devono
moltiplicare i fatto
numeri, ciascuno
ri primi comuni
preso una sola
volta e col magg
e non comuni
ai
ior esponente:
mcm(24, 48, 20)
= 24 · 3 · 5 = 240
75 25, 35, 15
76 14, 22,
28
78 25, 45, 60
77 12, 18,
48
79 16, 8, 128
81 12, 8, 24
80 18, 24,
36
82 10, 25,
55
84 20, 12, 36,
83 38, 19,
60
114
85 12, 48,
144, 1440
87 15, 30, 60,
86 21, 42,
45, 50
49, 77
88 18, 9, 45,
27, 36
XI
Risorse online
Nelle pagine web:
www.hoeplieditore.it/4432-0 (per i volumi
di algebra) e www.hoeplieditore.it/4431-3
(per il volume di geometria) i contenuti dei volumi sono integrati da:
• laboratorio di matematica con Excel e con Derive per i capitoli di algebra;
• due capitoli di geometria analitica di base, con laboratorio Excel-Derive;
• ulteriori esercizi per ogni capitolo;
• lezioni di ripasso di argomenti di Algebra 1, propedeutici al programma di Algebra 2;
• esercizi di matematica in lingua inglese basati sull’approccio metodologico CLIL;
• laboratorio di geometria con GeoGebra per i capitoli di geometria;
• un excursus dei momenti significativi del pensiero matematico fino ai giorni nostri.
Laboratorio con
EXCEL
Laboratorio con
DERIVE
ESERCIZI
CLIL
Math
Laboratorio con
GEOGEBRA
In una sezione riservata al docente sono disponibili online per ogni capitolo ulteriori verifiche da somministrare in classe, con la possibilità di avere, tramite software di riordino,
una ventina di prove differenti per ciascuna batteria di esercizi, nonché la traduzione dei
quesiti e delle letture in inglese proposti nella sezione CLIL Math.
Ciascuno dei tre volumi del Corso di matematica è corredato di una Guida per il docente
contenente al suo interno tutti i risultati degli esercizi e dei problemi proposti nel testo.
Nella guida relativa al volume di geometria sono fornite anche le dimostrazioni della maggior parte dei teoremi dei quali è presente nel testo solo la forma enunciata. Nelle guide
relative ai volumi di algebra il docente avrà a disposizione ulteriori verifiche di algebra per
diversi capitoli. Alcune pagine descrivono le modalità di svolgimento e il tipo di preparazione richiesto per le prove OCSE-PISA.
MARIOLINA CAPPADONNA
XI
CAPITOLO
Disequazioni
frazionarie
SAPERE
9
SAPER FARE
Al termine di questo capitolo, avrai appreso:
la definizione di disequazione frazionaria
i diversi tipi di disequazioni
Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:
distinguere un’equazione da una disequazione
distinguere una disuguaglianza numerica da
una disequazione
riconoscere e risolvere una disequazione
numerica frazionaria
Risorse online
Laboratorio con
EXCEL
Laboratorio con
DERIVE
ESERCIZI
CLIL
Math
CAPITOLO
9
TEORIA
Disequazioni
frazionarie
1 Disequazioni numeriche frazionarie
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione.
Una disequazione frazionaria, dopo aver individuato il suo dominio, aver eseguito le eventuali operazioni in essa contenute, nel rispetto dei tre principi di equivalenza, e ridotto entrambi
P( x )
>0 o
entrambi i membri allo stesso denominatore, può essere ricondotta alla forma:
Q( x )
P( x )
< 0.
Q( x )
Risolvere una disequazione di questo tipo significa studiare il segno della frazione algebrica
P( x )
e questo, com’è noto, è dato dal prodotto del segno del numeratore per il segno del
Q( x )
denominatore.
Per far ciò, è necessario seguire la seguente procedura:
1. studiare separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;
2. schematizzare entrambi i segni e precisamente:
• rappresentare sulla retta reale tutti i valori di x che annullano sia il numeratore, sia il
denominatore; se nella disequazione è presente anche il simbolo di uguaglianza, si
traccia un cerchio pieno in corrispondenza del valore che annulla il numeratore; in
tutti gli altri casi, si traccia un cerchio vuoto;
• tracciare due linee parallele alla retta reale, una corrispondente al segno del numeratore e l’altra a quello del denominatore, che sarà un tratto continuo, negli intervalli in
cui ciascun termine della frazione assume segno positivo, e non continuo, negli intervalli in cui assume segno negativo;
3. applicare la regola del segno di un prodotto (procedendo con la moltiplicazione in “verticale”, rispetto al lettore), individuando così l’insieme S delle soluzioni.
P( x )
> 0 , allora S è costituito dai valori
Se la disequazione di partenza assume la forma
Q( x )
reali corrispondenti agli intervalli in cui nella schematizzazione del segno del prodotto è
presente il segno “+”; altrimenti è costituito da quelli corrispondenti agli intervalli in cui
nella schematizzazione è presente il segno “−”.
CASI PARTICOLARI
P( x )
> 0 e nella schematizzazione dei
Q( x )
segni è presente solo il segno negativo o, viceversa, se la disequazione assume la
P( x )
< 0 e nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno posiforma
Q( x )
Se una disequazione assume la forma
tivo, evidentemente l’insieme delle soluzioni è vuoto: S = ∅.
Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno indicato dal testo,
nessun valore reale escluso, allora S = R.
A prescindere dal verso della disequazione di partenza, quando si studiano separatamente
il segno del numeratore e il segno del denominatore, al fine di utilizzare una procedura
comune, si è soliti studiare solo il segno positivo, ponendo maggiore di 0 sia il numerato336
re, sia il denominatore. Se il verso della disequazione contiene anche il simbolo di uguaglianza, si pone maggiore o uguale a 0 solo il numeratore (il denominatore non può assumere valore nullo).
Gli esempi che seguono esemplificano le considerazioni operate nel presente paragrafo.
esempio
CAPITOLO
9
TEORIA
Disequazioni
frazionarie
Risolvere le seguenti disequazioni frazionarie:
4x − 8
>0
•
6x − 2
1
Il dominio della frazione algebrica è D = {∀ x ∈R | 6x − 2 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ }.
3
Non ci sono operazioni da eseguire. Il segno della frazione dipende dal segno del suo
numeratore e dal segno del suo denominatore, per cui è necessario studiarli separatamente. Si indichi con N il numeratore e con D il denominatore:
Studio del segno di N.
4x − 8 > 0 ⇒ x > 2. N assume segno positivo se a x si attribuiscono valori maggiori
di 2; N assume segno negativo se a x si attribuiscono valori minori di 2; N si annulla
se x = 2.
Studio del segno di D.
1
6x − 2 > 0 ⇒ x > .
3
Schematizzazione dei segni:
Il cerchio è vuoto perché
la disequazione iniziale
non contiene il simbolo
di uguaglianza
1
3
2
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
–
+
Se si esamina la schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni
⎫ ⎛
⎧
1
1⎞
della disequazione di partenza è: S = ⎨∀x ∈ R x < ∨ x > 2 ⎬ = ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ( 2, + ∞) .
3
3⎠
⎭ ⎝
⎩
•
5x − 1
≤0
x 2 − 25
Il dominio della frazione algebrica è l’insieme:
D = {∀ x ∈R | x2 − 25 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠ ± 5}
Non ci sono operazioni da eseguire.
Studio del segno di N.
1
5x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥
5
Studio del segno di D.
x2 − 25 > 0 ⇒ x < −5 ∨ x > 5
337
CAPITOLO
9
Schematizzazione dei segni:
1
5
–5
TEORIA
Disequazioni
frazionarie
5
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
–
+
–
+
L’insieme delle soluzioni è quindi dato da:
⎡1 ⎞
⎢ , 5⎟
⎣5 ⎠
(la parentesi è tonda in corrispondenza dei valori esclusi dal dominio; è quadra in corrispondenza del valore che annulla il numeratore e che non è escluso dal dominio).
S = {∀ x ∈R | x < −5 ∨
•
1
≤ x < 5} = ( − ∞, −5) ∪
5
2 x 2 − 3x + 1
>0
3x 2 − 5x + 2
Il dominio della frazione algebrica è l’insieme:
D = {∀ x ∈R | 3x2 − 5x + 2 ≠ 0} = {∀ x ∈R | x ≠
2
, x ≠ 1}.
3
Non ci sono operazioni da eseguire.
Studio del segno di N.
1
2x2 − 3x + 1 > 0 ⇒ x < ∨ x > 1
2
Studio del segno di D.
2
∨ x >1
3
Schematizzazione dei segni:
3x2 − 5x + 2 > 0 ⇒ x <
1
2
2
3
1
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
–
+
+
⎫ ⎛
⎧
⎛2 ⎞
1 2
1⎞
S = ⎨∀x ∈ R x < ∨ < x < 1 ∨ x > 1⎬ = ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , 1⎟ ∪ (1, + ∞)
2 3
2⎠
⎝3 ⎠
⎩
⎭ ⎝
•
3+ x
x +x
2
+
3− x
x − 2x + 1
2
≤0
P( x )
≤ 0 . Se si scompongono i
È necessario ricondurre la disequazione alla forma
Q
(
x
)
denominatori, si ottiene:
338
CAPITOLO
9
3+ x
3− x
+
≤ 0 . D = {∀ x ∈R | x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 1}.
x ( x + 1) ( x − 1)2
(3 + x )( x − 1)2 + x ( x + 1)(3 − x )
x ( x + 1)( x − 1)2
3x 2 − 2 x + 3
≤ 0 ⇒ ... ⇒
x ( x + 1)( x − 1)2
TEORIA
≤0
Disequazioni
frazionarie
Studio del segno di N.
3x2 − 2x + 3 ≥ 0. ∆ < 0. Il trinomio non si annulla mai ed è positivo ∀ x ∈R.
Studio del segno di D.
x(x + 1)(x − 1)2 > 0. Per studiare il segno del polinomio, non conviene eseguire le moltiplicazioni, ma avvalersi della scomposizione già presente studiando il segno di ciascun fattore:
1° fattore: x > 0
2° fattore: x + 1 > 0 ⇒ x > −1
3° fattore: (x − 1)2 > 0 ⇒ ∀ x ∈R | x ≠ 1 (per x = 1 il binomio x − 1 si annulla).
–1
0
1
Segno di x
Segno di x + 1
Segno di (x – 1)2
Segno del denominatore
+
–
+
+
Il denominatore è quindi positivo ∀ x ∈R | x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1, mentre è negativo
∀ x ∈R | −1 < x < 0.
Ora è possibile schematizzare il segno di N e di D per individuare il segno della frazione e trovare, così, l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza:
–1
0
1
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
–
+
+
S = {∀ x ∈R | −1 < x < 0} = (−1, 0).
339
Esercizi
SAPERE
COMPLETA
1
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se ………………………..
2
Risolvere la disequazione
3
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria, se nella schematizzazione del prodotto dei segni è presente solo il segno indicato dal testo, nessun valore
reale escluso, è uguale a ……………………………..
P( x )
> 0 significa ……………………………..
Q( x )
SCELTA MULTIPLA
4
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se:
a) l’incognita compare in tutti i denominatori presenti nella disequazione
b) l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione
c) l’incognita non compare in nessun denominatore presente nella disequazione
d) l’incognita compare in almeno uno dei numeratori presenti nella disequazione
5
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori reali è:
a) (−∞, +∞)
b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞)
d) (−∞, 2) ∪ (2, +∞)
6
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da nessun valore reale è:
a) (−∞, +∞)
b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
c) ∅
d) R
7
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori
reali escluso il numero 1 è:
a) [−∞, 1] ∪ [1, +∞]
b) [−∞, 1) ∪ (1, +∞]
c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞)
d) (−∞, 1] ∪ [1, +∞)
VERO/FALSO
P( x )
coincide con il segno di P(x).
Q( x )
8
Il segno di
9
Nella schematizzazione dei segni, un tratto continuo corrisponde
al segno negativo.
10 Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno opposto
a quello indicato dal testo allora S = ∅.
340
V
F
V
F
V
F
CAPITOLO
9
SAPER FARE
unpo’ diaiuto
x −1
<0
x+2
Studio del segno del numeratore N (si ricorda che si è stabilito di porre sia N, sia D
maggiori di 0): x − 1 > 0 ⇒ x > 1
Studio del segno del denominatore D: x + 2 > 0 ⇒ x > −2
Schematizzazione dei segni:
–2
ESERCIZI
Disequazioni
frazionarie
1
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
–
+
Dalla schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza è uguale all’insieme: S = {∀ x ∈R | −2 < x < 1} = (−2, 1).
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado)
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
1
>0
x
5
0<
x
x−3
>0
x−4
x+2
≤0
x
2x − 3
<0
14 x − 7
9 x − 18
≤0
x−2
1
< −2
x
2
>1
x −1
x−3
>6
x
x+2
≥2
6− x
5x − 25
≤2
6 x − 12
[x > 0]
2
[x > 0]
4
[x < 3 ∨ x > 4]
6
[−2 ≤ x < 0]
8
⎡1
3⎤
⎢⎣ < x < ⎥⎦
2
2
10
[S = ∅]
12
⎡ 1
⎤
⎢⎣ − < x < 0 ⎥⎦
2
14
[1 < x < 3]
16
⎡ 3
⎤
⎢⎣ − < x < 0 ⎥⎦
5
⎡ 10
⎤
⎢⎣ ≤ x < 6 ⎥⎦
3
⎡
⎤
1
⎢⎣ x ≤ − ∨ x > 2 ⎥⎦
7
18
20
22
3
>0
x
10
≥0
x
x +5
<0
x+6
x
≥0
x−7
−
5x − 10
>0
7 x − 21
1
>1
x
1
≥5
x
2x
< −2
x +1
x −1
≤1
2− x
5x − 8
> −1
2 − 6x
5x
≥1
x+2
[x < 0]
[x > 0]
[−6 < x < −5]
[x ≤ 0 ∨ x > 7]
[x < 2 ∨ x > 3]
[0 < x < 1]
⎡
1⎤
⎢⎣0 < x ≤ ⎥⎦
5
⎡
1⎤
⎢⎣ −1 < x < − ⎥⎦
2
⎡
⎤
3
⎢⎣ x ≤ ∨ x > 2 ⎥⎦
2
⎡
1⎤
⎢⎣ x < −6 ∨ x > ⎥⎦
3
⎡
1⎤
⎢⎣ x < −2 ∨ x ≥ ⎥⎦
2
341
CAPITOLO
9
ESERCIZI
Disequazioni
frazionarie
x
<3
x +1
⎡
3⎤
⎢⎣ x < −1 ∨ x > − ⎥⎦
4
24
4−
2x
>0
x −1
[x < 1 ∨ x > 2]
⎡ 1
5⎤
⎢⎣ − < x < − ⎥⎦
2
11
26
x
2x
<
1− x x −1
[x < 0 ∨ x > 1]
[−1 < x < 8]
28
2x − 3 3 − x
≥
−1
2− x x−2
23
−
25
x
+5< 0
2x + 1
27
x − 5 1− 2x
<
+2
1+ x
x +1
29
x − 3 1+ 2 x
−
−4≤0
2 − 4x 1− 2x
30
x
2x + 3
+1 <
x −3
x −3
31
3 − 4x
2x + 3
−1 <
x −3
x −3
32
x + 4 5x + 1
<
x − 2 3x − 6
33
1− 2x
2x + 1
−3<
x+4
2x + 8
⎡
23 ⎤
⎢⎣ x < −4 ∨ x > − ⎥⎦
12
34
4x
x −1
≥
+2
2x + 6 x + 3
[−5 ≤ x < −3]
35
x
x −1
≤
−1
x − 5 2 x − 10
36
2x
5x − 10
−1 ≤
−4
2x + 4
3x + 6
37
2x
x −3
4
−
≤ 1−
16 x − 4 4 x − 1
8x − 2
38
⎛ x
x
x−3⎞
+ 3 > −⎜
+
6x + 2
⎝ 15x + 5 3x + 1⎟⎠
39
x + 10 2 x − 1 x − 3 x + 6
−
>
−
x − 2 2 − x x − 2 3x − 6
40
( x + 1)2 x ( 2 x − 1) ( x − 2)( x + 2) 2( x 2 + 3)
−
<
−
x −1
x −1
x −1
x −1
⎡ 11
⎤
⎢⎣ − < x < 1⎥⎦
3
41
( x − 1)2 ( x − 2)( x + 2)
x2 + 3
x ( x − 1)
−
+
>
2x + 4
4x + 8
12 x + 24 3x + 6
⎡
21 ⎤
⎢⎣ −2 < x < ⎥⎦
8
x−4
≤0
x2 −1
Studio del segno di N: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
Studio del segno di D: x2 − 1 > 0 ⇒ x < −1 ∨ x > 1.
342
[x < 2]
⎡
⎤
1
⎢⎣ x < ∨ x ≥ 1⎥⎦
2
[x > 3]
⎡
⎤
3
⎢⎣ x < ∨ x > 3⎥⎦
7
⎡
11 ⎤
⎢⎣ x < 2 ∨ x > ⎥⎦
2
[3 ≤ x < 5]
[ −4 ≤ x < −2]
⎡
1
4⎤
⎢⎣ x < ∨ x ≥ ⎥⎦
4
3
⎡
⎤
1
⎢⎣ x < − ∨ x > 0 ⎥⎦
3
[x < −6 ∨ x > 2]
unpo’ diaiuto
CAPITOLO
9
Schematizzazione dei segni:
–1
1
4
ESERCIZI
Segno di N
Disequazioni
frazionarie
Segno di D
Segno della frazione
–
+
–
+
S = {∀ x ∈R | x < −1 ∨ 1 < x ≤ 4} = (−∞, −1) ∪ (1, 4]
4 − x2
≥0
x 2 − 3x + 2
Studio del segno di N: 4 − x2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.
Studio del segno di D: x2 − 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ∨ x > 2.
Schematizzazione dei segni:
–2
1
2
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
–
+
–
–
S = {∀ x ∈R | −2 ≤ x < 1} = [−2, 1).
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è
riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado)
42
44
46
48
1
x
2
>0
[x ≠ 0]
43
[x > 0]
45
≤0
[x = 0]
47
>0
[x < −1 ∨ x > 1]
49
[∅]
51
6 x 2 + 12
>0
x
x2
x2 +1
x2
x2 −1
50
x2 − 2x + 1
52
4 x 2 + 12 x + 9
53
54
x2
<0
x −1
2
4x2 − 1
x − 3x + 2
2
>0
≤0
4 x 2 − 5x + 1
5x 2 − 7 x + 2
>0
1
x +1
2
>0
x
x −4
2
[R]
<0
[x < −2 ∨ 0 < x < 2]
x2 − 9
≥0
3x
x2 −1
x2
[−3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3]
≥0
x2 − 4x + 4
x2
[x ≤ −1 ∨ x ≥ 1]
>0
[x ≠ 2 ∧ x ≠ 0]
⎡
⎤
3
3
⎢⎣ x < − ∨ − < x < −1 ∨ x > 1⎥⎦
2
2
⎡ 1
⎤
1
⎢⎣ − ≤ x ≤ ∨ 1 < x < 2 ⎥⎦
2
2
⎡
⎤
1
2
⎢⎣ x < ∨ x > ∧ x ≠ 1⎥⎦
4
5
343
CAPITOLO
9
ESERCIZI
Disequazioni
frazionarie
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
344
2x 2 + 11x − 6
2
3x − 2 x − 1
5x 2 + 3x − 2
2
3x + 48 x + 180
14 x 2 − 9 x + 1
2
−6 x + 5x − 1
≤0
⎡1
1⎤
⎢⎣ ≤ x < ⎥⎦
7
3
<0
⎡ 5
4⎤
⎢⎣ − < x < − ⎥⎦
3
11
≥0
⎡
⎤
5
⎢⎣ x ≤ −5 ∨ −1 < x < − ∨ x ≥ 0 ⎥⎦
7
2
9 x + 12 x − 5
20 x 2 + 100 x
7 x 2 + 12 x + 5
x 2 + 11x − 12
16 x 2 − 40 x + 25
≤0
36 x 2 + 180 x + 225
2
9 x − 12 x + 4
2
x + 2x + 1
2
3x + 5x − 2
x2 − x − 2
>0
2
27 x + 24 x + 4
2
x − x −6
2 x 2 − 3x − 2
6x − x − 2
<0
15x 2 − 41x + 14
2
10 x + 21x − 10
2
12 x + 17 x − 5
2
16 x + 10 x − 21
6 x 2 − 17 x + 5
4 x 2 + 4 x − 35
≥0
≤0
8 x 2 − 15x + 7
[−4 ≤ x < −1]
⎡
⎤
2
⎢⎣ x < − ∨ x > 1⎥⎦
3
⎡6
⎤
⎢⎣ < x < 3⎥⎦
5
⎡
2
1⎤
⎢x < ∨ x > 2 ∧ x ≠ − ⎥
⎣
3
2⎦
>0
8 x 2 − 14 x + 3
⎡
2
5⎤
⎢⎣ x ≠ ∧ x ≠ − ⎥⎦
3
2
⎡1
5⎤
⎢⎣ < x ≤ ⎥⎦
3
2
≤0
9x2 − 7 x − 2
5x 2 + 4 x − 12
[−12 ≤ x ≤ 1]
⎡
3⎤
⎢⎣ x < −1 ∨ x > ⎥⎦
2
≤0
3x 2 + 6 x − 24
2
>0
>0
2 x 2 − x − 10
⎡
2⎤
⎢⎣ −10 < x < −6 ∨ −1 ≤ x ≤ ⎥⎦
5
≥0
33x 2 + x − 4
2x2 − x − 3
⎡
⎤
1 1
⎢⎣ −6 < x < − ∨ < x < 1⎥⎦
3 2
<0
>0
<0
⎡
5
⎢⎣ x < − ∨ x ≥
2
7⎤
⎥
3⎦
⎡ 5
3
1⎤
⎢⎣ − < x ≤ ∧ x ≠ ⎥⎦
3
2
4
⎡
⎤
3
⎢⎣ x < − ∨ x > 1⎥⎦
2
⎡ 7
1⎤
⎢⎣ − < x < ⎥⎦
2
3
CAPITOLO
72
x − 1 2( x − 1)
−
>0
3x 3x 2 + 3x
73
x − 2 2x − 3
−
>0
x −1 x +1
74
2x
x +1
<
2
2x − 1 4x − 4x + 1
75
x
x
x2
>
+
x + 5 x − 5 x 2 − 25
[−10 < x < −5 ∨ 0 < x < 5]
76
x −3
x
x2
+
<
2 − x x + 2 x2 − 4
[x < −3 ∨ x > −2 ∧ x ≠ 2]
[−1 < x < 1]
2 x + 1 x (3 − 2 x )
≥
x − 2x + 1 x − 1
( x − 1)2
[x ≤ −3 ∨ x ≥ 5]
78
x+3
x
x +1
−
≤
−2
2
2x + 4 x + 4x + 4 x + 2
[∅]
79
x
x2
2x + 1
−
≤
2
x + 4 x + 8 x + 16 2 x + 8
80
3+ x
2
x +1
x
−
≤
+
2
4 + 2 x 3x + 6 5x + 10 x + 4 x + 4
2
2x − 1
x2 −1
>
9
ESERCIZI
Disequazioni
frazionarie
⎡
⎤
1
1
⎢⎣ x ≠ ∧ − < x < 1⎥⎦
2
4
77
81
x 2 − 16
[x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 1]
−
[x ≠ −4]
[∅]
3x + 5 x − 4 x − 3
−
+
x +1 x −1 x +1
[−1 < x < 1]
unpo’ diaiuto
16 − x 4
≥0
3x 3 + 5x 2 + 2 x
Studio del segno di N: 16 − x4 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.
Studio del segno di D: 3x3 + 5x2 + 2x > 0 ⇒ x(3x2 + 5x + 2) > 0 ⇒ … ⇒
2
⇒ −1 < x < − ∨ x > 0
3
Schematizzazione dei segni:
–2
–
–1
2
3
0
2
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
S = {∀ x ∈R | x ≤ −2 ∨ −1 < x < −
–
+
–
+
2
∨ 0 < x ≤ 2} = ( − ∞, −2] ∪
3
–
⎛
2⎞
⎜⎝ −1, − 3 ⎟⎠ ∪ (0, 2]
345
CAPITOLO
9
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado
superiore)
ESERCIZI
Disequazioni
frazionarie
82
84
86
88
90
92
94
95
96
97
98
99
100
101
102
346
1
3
x +1
x
x3 − 1
x2
x3 + 8
x6
x2 − 4
x2 −1
x3 + 8
x3 + 1
6
x +1
>0
[x > −1]
83
>0
[x < 0 ∨ x > 1]
85
>0
[x > −2 ∧ x ≠ 0]
87
≥ 0 [x = 0 ∨ x < −2 ∨ x > 2]
89
≥0
[−2 < x ≤ −1 ∨ x ≥ 1]
91
≥0
[x ≥ −1]
93
625x 4 − 16
3
8 x − 125
x −1
x2
x3 − 8
9 − x2
x7
x2
x3 − 8
x4 +1
x3 − 1
x 4 − 5x 2 + 4
x
<0
x2
≥0
x3 − 1
x
3
16 + x 7
[x < 2 ∧ x ≠ 0]
≤0
[x < 1]
3
<0
⎡
⎤
1 1
⎢⎣ x < − ∨ < x < 3⎥⎦
2 2
[−15 ≤ x ≤ 0 ∨ x > 1]
1 − x3
[x > −1 ∧ x ≠ 1]
x2
2− x
+
x −1 x2 + x +1
x3
2
<0
[x < 0 ∧ x ≠ −2]
+
+
[−3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 3]
[−1 < x < 0 ∨ x > 1]
≤ 15 − x 4 −
≤
≤0
[−1 < x < 0]
x
x
2
<
+
2
x
x
+
1
−
1
x −1
x − 2x + 1
2
[x > 2]
[x < −1 ∨ x > 1 ∧ x ≠ ± 2]
4 − 3x 2
+ x3 < 4 − 2x 2
x
x3 − 1
>0
3x − 81
>0
x4 + x
1
[x < 1]
⎡
2 2
5⎤
⎢⎣ x ≤ − ∨ ≤ x < ⎥⎦
5 5
2
x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4
x6 − 2x3 + 1
<0
16 x 4 − 1
≤0
x4 − 4x2
3x 5 − 3x
1
5
2
x − 1 ( x − 1) ( x + x + 1)
[x ≤ −1 ∨ 1 < x ≤ 2]
>
x2
x
x − 2x + 1 x − 1
2
−
[x < 0]
CAPITOLO
9
ESERCIZI RIEPILOGATIVI
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni
2
2
2
2
1
( x − 1) ( x + 1)( x − 1)( x − x + 1) x − 2 x + 1 x − 1
−
≥
+
x
2x
3x 2
6x2
2
2 x − 1 x (3 − 2 x )
1
≤
+
2
2
x − 2x + 1 x − 1
x −1
( x − 1)
3
( x + 2)2 ( x − 2)( x + 2)
8 + x3
−
+
≥0
3x + 9
2x − 2
6 x 2 + 12 x − 18
4
( x − 1)2 (1 + x )( x − 1) 1 − x 3
−
<
3x + 6
2x + 4
6 x − 24
5
x 2 − 1 x 3 − 2 ( x − 1)2
x2 −1
−
<
+
x − 2 x2 −1
x −1
x 2 − 3x + 2
6
7
8
9
10
x
−
2
x4 − 4x2 + 4
x3 − 1
≤0
3x 6 + 7 x 2 + 4
x2 − 4
≥0
x 6 + 12 x 3 + 11
2
4x − 1
x8 + x 4 − 2
2
9 x − 16
<0
>0
x16 + 3x 8 + 2
x2 − 4x + 4
>0
ESERCIZI
⎡
⎤
1
⎢⎣ x ≠ 0 ∧ − ≤ x ≤ 1⎥⎦
2
Disequazioni
frazionarie
⎡⎣ − 2 ≤ x < −1 ∨ 1 < x ≤ 2 ⎤⎦
[1 < x ≤ 6 ∨ −3 < x ≤ −2]
⎡
11 ⎤
⎢⎣ x < −2 ∨ 1 < x < 2 ∨ x > ⎥⎦
2
[x ≠ 0 ∧ −1 < x < 1 ∨ x > 2]
⎡⎣ x = 2 ∨ x < 1⎤⎦
[x < −2 ∨ x > 2]
⎡ 3
1
1⎤
⎢⎣ − 11 < x < −1 ∨ − < x < ⎥⎦
2
2
⎡
4
⎢⎣ x < − ∨ −1 < x < 1 ∨ x >
3
4⎤
⎥
3⎦
[x ≠ 2]
347
CAPITOLO
9
RECUPERO
Disequazioni
frazionarie
Recupero
L’ESSENZIALE
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione.
P( x )
P( x )
< 0 (assume
>0 o
Q
( x)
Q( x )
tale forma dopo aver eseguito le eventuali operazioni in essa contenute e ridotto entrambi i membri allo stesso denominatore, tutto nel rispetto dei tre principi di equivalenza)
è necessario seguire la seguente procedura:
Per risolvere una disequazione frazionaria della forma
1. studiare separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore;
2. schematizzare entrambi i segni e precisamente:
• rappresentare sulla retta reale tutti i valori di x che annullano sia il numeratore,
sia il denominatore; se nella disequazione è presente anche il simbolo di uguaglianza, si traccia un cerchio pieno in corrispondenza del valore che annulla il
numeratore; in tutti gli altri casi, si traccia un cerchio vuoto;
• tracciare due linee parallele alla retta reale, una corrispondente al segno del numeratore e l’altra a quello del denominatore, che sarà un tratto continuo, negli intervalli in cui ciascun termine della frazione assume segno positivo, e non continuo,
negli intervalli in cui assume segno negativo;
3. applicare la regola del segno di un prodotto (procedendo con la moltiplicazione in
“verticale”, rispetto al lettore), individuando così l’insieme S delle soluzioni.
P( x )
> 0 è verificata dai valori reali corrispondenti agli intervalli in cui nella scheQ( x )
matizzazione del segno del prodotto è presente il segno “+”; altrimenti, da quelli corrispondenti agli intervalli in cui nella schematizzazione è presente il segno “−”.
RECUPERO
Se una disequazione assume la forma
348
P( x )
> 0 e nella schematizzazione dei segni è
Q( x )
presente solo il segno negativo o, viceversa, se la disequazione assume la forma
P( x )
< 0 e nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno positivo, evidenQ( x )
temente l’insieme delle soluzioni è vuoto: S = ∅. Se nella schematizzazione dei segni è
presente solo il segno indicato dal testo, nessun valore reale escluso, allora S = R.
SAPERE
COMPLETA
1
2
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se ………………………..
P( x )
< 0 significa ……………………………..
Risolvere la disequazione
Q( x )
CAPITOLO
3
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria, se nella schematizzazione del prodotto dei segni è presente solo il segno opposto di quello indicato dal testo,
nessun valore reale escluso, è uguale a ……………………………..
RECUPERO
Disequazioni
frazionarie
SCELTA MULTIPLA
4
Una disequazione numerica in una sola incognita si dice frazionaria se:
a) l’incognita compare in almeno uno dei denominatori presenti nella disequazione
b) l’incognita compare in tutti i denominatori presenti nella disequazione
c) l’incognita compare in almeno uno dei numeratori presenti nella disequazione
d) l’incognita non compare in nessun denominatore presente nella disequazione
5
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria non verificata da alcun
valore reale è:
a) (−∞, +∞)
b) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
c) (−∞, 1) ∪ (1, +∞)
d) ∅
L’insieme delle soluzioni di una disequazione frazionaria verificata da tutti i valori
reali escluso il numero 0 è:
a) (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
b) (−∞, 0] ∪ [0, +∞)
c) [−∞, 0] ∪ [0, +∞]
d) [−∞, 0) ∪ (0, +∞]
6
9
7
Il segno di
8
9
P( x )
coincide con il segno di Q(x).
Q( x )
V
F
Nella schematizzazione dei segni, un tratto non continuo corrisponde
al segno negativo.
V
F
Se nella schematizzazione dei segni è presente solo il segno indicato
dal testo allora S = ∅.
V
F
SAPER FARE
unpo’ diaiuto
x +5
≤0
x−4
Il segno del numeratore e il segno del denominatore devono essere studiati separatamente. Poiché il verso della disequazione contiene anche il simbolo di uguaglianza, il
numeratore si pone maggiore o uguale a 0 e il denominatore maggiore di 0 (data una
frazione: se si annulla il suo numeratore, si annulla anche la frazione; se si annulla il
suo denominatore, la frazione perde significato in R).
Studio del segno del numeratore N: x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ −5.
Studio del segno del denominatore D: x − 4 > 0 ⇒ x > 4.
RECUPERO
VERO/FALSO
349
CAPITOLO
9
Schematizzazione dei segni:
–5
RECUPERO
4
Segno di N
Disequazioni
frazionarie
Segno di D
Segno della frazione
+
–
+
Dalla schematizzazione dei segni, si deduce che l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza è: S = {∀x ∈R | −5 ≤ x < 4} = [−5, 4).
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado)
1
1
>0
x
2
2
− >0
x
3
4
− <0
x
4
0>
1
x
5
1+ x
≥0
x
6
x−2
<0
x+6
7
3− x
<0
2+ x
8
10 x + 5
≤0
x −5
9
x−4
>0
−x
10
4x
≥0
16 x + 8
11
−2 x
<0
12 x − 6
12
2x
x
+1 <
x −3
x −3
13
2x
3x
−
> −5
x + 1 4x + 4
14
10 x
8x
6
−
−
<0
3x + 6 x + 2 2 x + 4
15
x
x
1
≥−
−
8x − 8
4x − 4 2x − 2
16
3x
2x
x −1
2x + 1
23x
−
−
−
≤−
4 x − 8 7 x − 14 8 x − 16 15x − 30
840(xx − 2)
unpo’ diaiuto
x −1
≥0
2x − 5
Studio del segno di N: x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 ∨ x ≥ 1.
5
Studio del segno di D: 2x − 5 > 0 ⇒ x > .
2
Schematizzazione dei segni:
RECUPERO
2
350
–1
5
2
1
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
–
+
–
+
⎛5
⎞
⎧
5⎫
L’insieme delle soluzioni è: S = ⎨∀x ∈ R −1 ≤ x ≤ 1 ∨ x > ⎬ = [−1, 1] ∪ ⎜ , + ∞⎟ .
2⎭
⎠
⎝2
⎩
CAPITOLO
x
9
2
<0
x 2 − 5x + 6
Studio del segno di N: x2 > 0 ⇒ ∀ x ∈R | x ≠ 0.
Studio del segno di D: x2 − 5x + 6 > 0 ⇒ x < 2 ∨ x > 3.
Schematizzazione dei segni:
0
RECUPERO
Disequazioni
frazionarie
2
3
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
+
–
+
S = {∀ x ∈R | 2 < x < 3} = (2, 3).
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo o secondo grado)
17
20
23
26
29
6
<0
x2
x2 −1
18
≤0
x2
2 x 2 + 3x + 1
21
<0
24
>0
x2 − 4x + 4
4 x 2 + 60 x + 225
27
x2 − 9
6x2 − 7 x + 2
9 x 2 + 12 x + 4
>0
30
x
>0
x2 −1
9x2 − 1
19
≤0
22
4x2 + 1
x 2 − 3x + 2
>0
x2 − 4x + 3
x 2 + 5x + 32
<0
x2 − 6x + 9
2 x 2 + 5x + 3
>0
7 x2 − 4x + 3
25
28
31
x2 − 4
<0
x
9x2 + 6x + 1
x2 − 4
6 x 2 − 5x + 1
>0
<0
x 2 − 4 x + 14
x 2 + 30 x + 225
≥0
9 x 2 − 4 x + 19
x 2 + 5x + 21
≤0
2 x 2 − 5x + 3
unpo’ diaiuto
≥0
6 x 3 + 5x 2 + x
Studio del segno di N: 81 − x4 ≥ 0 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3.
Studio del segno di D: 6x3 + 5x2 + x > 0.
1
1
x(6x2 + 5x + 1) > 0 ⇒ … ⇒ − < x < − ∨ x > 0
2
3
Schematizzazione dei segni:
–
–3
1
2
–
1
3
0
3
Segno di N
Segno di D
Segno della frazione
+
–
+
–
⎫
⎧
1
1
S = ⎨∀x ∈ R x ≤ −3 ∨ − < x < − ∨ 0 < x ≤ 3⎬ = ( − ∞, −3] ∪
2
3
⎭
⎩
+
–
⎛ 1 1⎞
⎜⎝ − 2 , − 3⎟⎠ ∪ (0, 3]
RECUPERO
81 − x 4
351
CAPITOLO
9
RECUPERO
Disequazioni
frazionarie
Risolvere in R o in un suo sottoinsieme le seguenti disequazioni frazionarie (la cui risoluzione è riconducibile alla risoluzione di disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado
superiore)
32
33
34
35
36
37
38
39
40
RECUPERO
41
352
x
27 x 3 − 8
x2
x3 − 8
x2
x3 + 1
x3
x3 + 8
x3 − 1
x4 +1
>0
<0
≥0
<0
>0
x 4 − 8x
x4 −1
≤0
x4 − 9x2
x3 − 6x 2 + 9x
x 4 − 3x 2 − 4
x 3 − 5x 2 + 6 x
<0
≥0
x 7 − 5x 5 + 4 x 3
x 8 + x 7 − 3x 6 − 6 x 5
≤0
4 x 6 − 13x 4 + 9 x 2
>0
x