Disequazioni
Metodi di risoluzione
Prof. Vincenzo Calamia
Liceo Classico
Alcamo
Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni?
x=o
y=o
x>o
y>o
x<o
y<o
xo
yo
xo
yo
2
x=o
Equazione asse y
Tutti i punti del piano
con ascissa = 0
3
y=o
Equazione asse x
Tutti i punti del piano
con ordinata = 0
4
x>o
Semipiano con
ascisse positive
(esclusi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano
con ascissa > 0
5
xo
Semipiano con
ascisse positive o
nulle
(compresi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano
con ascissa  0
6
y>o
Semipiano con
ordinate positive
Tutti i punti del piano
con ordinata > 0
(esclusi i punti sull’asse x)
7
yo
Semipiano con
ordinate positive o
nulle
Tutti i punti del piano
con ordinata  0
(inclusi i punti sull’asse x)
8
xo
Semipiano con
ascisse negative
o nulle
compresi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano
con ascissa  0
9
y<o
Semipiano con
ordinate negative
Tutti i punti del piano
con ordinata < 0
(esclusi i punti sull’asse x)
10
yo
Semipiano con
ordinate negative o
nulle
Tutti i punti del piano
con ordinata  0
(compresi i punti sull’asse x)
11
x<o
Basta!!
Semipiano con
ascisse negative
(esclusi i punti sull’asse y)
Tutti i punti del piano
con ascissa < 0
12
yx
Semipiano al di sotto
della bisettrice del 1°
e 2° quadrante
(compresi i punti della bisettrice
y=x)
Tutti i punti del
piano con
ordinata 
all’ascissa
13
Soluzione di un equazione
2x + 4 = 0
x²-5x+6 = 0
Un numero (o un’espressione letterale) è soluzione di
un’equazione se, sostituito all’incognita x, trasforma
l’equazione in una uguaglianza vera.
Risolvere un’equazione corrisponde alla risoluzione di
un sistema:
y = 0
y = 2x+4
y = 0
y = x²-5x+6
14
x²-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0

Soluzione di un’equazione
Per la legge di
annullamento del prodotto
y = x²-5x+6
y=0
S=2;3
2x+4=0

y = 2x+4
y=0
y=0
S=-2
15
2x+4>0
Soluzione di una disequazione
2x > -4
4
x> 2
x > -2
S={xR|x > -2}
Notare il
cerchietto vuoto
che indica
l’esclusione del
punto estremo.

y = 2x+4
y>0
(-2; +
)
16
Soluzione di una disequazione
2x-5  0
Notare il
cerchietto pieno
che indica
l’inclusione del
punto estremo.
2x  5
5
x
2
S={xR|x  5/2}
S: [5/2; +
)

y = 2x-5
y0
17

5
2x-5  0 x  2
x-6 < 0 x < 6
Sistemi di disequazioni
La fascia evidenzia le
porzioni di rette che
La soluzione del sistema, se
corrispondono
contemporaneamente
ai è
valori
esiste,
l’insieme dei valori
di verità
indicati dalle
soluzione
della x che rende
disequazioni
del sistema
contemporaneamente vere le
due
disequazioni
S={xR | 5  x< 6}
2
oppure
[ 25 ;
6
)
18

5
2x-5  0 x  2
x-6 < 0 x < 6
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Sistemi di disequazioni
1 2 25 3 4 5 6 7 8
x>5/2 V
V
essere risolto in
F
V
Il sistema può
x<6
modo molto semplice
rappresentando sulla linea dei
L’area campita in giallo indica la parte comune delle soluzioni
numeri
reali
le due
delle due disequazioni
ovvero
l’insieme
deisoluzioni
valori della ex che
rende le due
disequazioni due
disuguaglianze
considerando
l’intersezione
F
V
contemporaneamente vere; la soluzione del sistema è:
S={xR |
5  x < 6}
2
oppure
[ 25 ;
6
19
)

5
2x-5  0 x  2
x+1 < 0 x < -1
Sistemi di disequazioni
In questo caso le soluzioni delle due disequazioni
non hanno sovrapposizioni per cui la loro
intersezione è l’insieme vuoto.
Il sistema non ha soluzione: è impossibile
20
Disequazioni di grado superiore al primo
riconducibili a fattori di primo grado
Consideriamo la
seguente espressione:
E’ costituita da quattro fattori
di cui due di secondo grado.
F1
( x  2)  (1  x )
2
x  ( x  2)
F2
Il fattore F4 è un prodotto notevole
scomponibile in (1+x)(1-x) mentre il
fattore F3 non è scomponibile;
scomponendo F4 l’espressione diventa:
Il segno dell’espressione
dipende quindi dal prodotto
dei segni di cinque fattori
F4
2
F3
(x  2)  (1  x)  (1  x)
x  (x²  2)
F1  F4  F5
F2  F3
21
Consideriamo ora la
disequazione:
(x  2)  (1  x)  (1  x)
0
x  (x²  2)
Per risolverla, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore
risulta  0 (oppure>0 se nel testo non c’è l’uguale)
n
u
m
e
r
a
t
o
r
e
d
e
n
o
m
i
n
a
t
o
r
e
x2
N2
x  2  0
1  x  0
N3
1  x   0
x1
N1
D1
D2
x0
x
2

2  0
x  -1
x>0
x
Questi fattori
non vanno posti =0
perchè si trovano
a denominatore
22
Tracciamo un diagramma
evidenziando con linea continua
gli intervalli dell’insieme dei
numeri reali in cui ciascun
fattore è positivo e con linea
discontinua il resto.
In ciascun intervallo
determiniamo il
prodotto dei segni.
-1
0
(x  2)  (1  x)  (1  x)
0
x  (x²  2)
Gli estremi (capisaldi)
saranno indicati con un
cerchietto pieno se
inclusi, vuoto se esclusi.
1
2
x
N1 x  2
N2 x  -1
N3 x  1
D1
x>0
D2
x
-
+
-
+
-
23
Se la disequazione
richiede che l’espressione
sia  0, come in questo
caso, prendiamo gli
intervalli positivi inclusi i
capisaldi con pallino pieno.
-1
0
(x  2)  (1  x)  (1  x)
0
x  (x²  2)
La nostra soluzione è
quindi:
1
2
x
N1 x  2
N2 x  -1
N3 x  1
D1 x>0
D2
x
-
+
S=xR-1x<0 V 1x2
-
+
-
S: [-1;0)  [1;2]
24
La disequazione fratta che
Abbiamo risolto corrisponde
al seguente sistema:
(x-2)(1-x²)
y=
x(x²+2)
y 0
(x  2)  (1  x2 )
0
x  (x2  2)
Proviamo a rappresentare
graficamente la relazione y=f(x)
e determiniamo la soluzione
S=xR-1x<0 V 1x2
25
Se la disequazione
richiede che l’espressione
sia < 0, prendiamo gli
intervalli negativi esclusi
gli estremi.
-1
0
(x  2)  (1  x)  (1  x)
0
x  (x²  2)
In questo caso la
soluzione è:
1
2
x
N1 x  2
N2 x  -1
N3 x  1
D1
x>0
D2
x
-
+
-
+
-
S=xRx<-1 V 0<x<1 V x>2 S: (-;-1)  (0;1)  (2;+)
26
Disequazioni con moduli
Il modulo o valore assoluto di un numero
reale x è definito come…
|x| =
x se x0
-x se x<0
|9| = 9
|-9| = 9
27
Disequazioni con moduli
Il modulo o valore assoluto di una
espressione è uguale all’argomento se
l’argomento è  0, opposto dell’argomento
se l’argomento è < 0
|x-5| = x-5 se x-5 0
se x=9:
|4| = 4
se x=-4:
|-9|= -(-9)=9
28
Disequazioni con moduli
La soluzione di una disequazione contenente
moduli corrisponde alla soluzione di due
sistemi che contemplano i due casi:
Si considerano i due
sistemi seguenti:


x<5
x-5 < 0
 -(x-5) < 2  x > 3
x-5  0
x-5 < 2
x5
x<7
S1:
5 x <7
S2:
3< x <5
La soluzione è
l’unione delle due:
3<x<7
29
|x-5|<2 y=|x-5|-2
portiamo tutti i termini
<0 |x-5|-2<0.
al primo membro, la disequazione y
diventa
Se nella disequazione
La disequazione corrisponde al seguente sistema:
3<x<7
3
7
y=|x-5|-2
y <0
y=|x-5|-2
Rappresentiamo la disequazione
sul piano
La parte della linea che ricade al di sotto
cartesiano e cerchiamo di individuare i punti della linea
dell’asse x è compresa tra 3 e 7, estremi esclusi
che ricadono nel semipiano
y<0:
30
Disequazioni con moduli
consideriamo i due
sistemi:


x < 3/2
2x-3 < 0
-(2x-3)  5 -2x  2
2x-3  0
2x-3  5
x  3/2
x4
La soluzione è l’unione delle
due soluzioni parziali:
Sulla linea dei numeri: -
x4
x -1
(-;-1]  [4;+)
-1 0
| |
4
|
+
31
Disequazioni letterali
consideriamo la
disequazione letterale:
Per risolverla, non conoscendo il valore e il segno di a, occorre
considerare tutti i casi possibili. Non ci sono regole precise ma
si deve operare con il criterio più opportuno, caso per caso
a(x-3)  2
ax-3a  2
ax  3a+2
Prima di dividere per a, dobbiamo valutare cosa succede se
a=0, a<0 oppure a>0
32
Disequazioni letterali
ax  3a+2
se a=0
0x30+2
0+2
Per a=0, la disequazione risulta evidentemente impossibile.
Se invece di  il verso della disequazione fosse  oppure <
la disequazione sarebbe verificata per ogni x reale.
33
Disequazioni letterali
ax  3a+2
se a>0
se a<0
x  3a+2
a
x  3a+2
a
Se a<0 ricordiamo che dividendo per un numero
negativo la disequazione cambia verso.
34
Disequazioni letterali
a=-2
a=-3
a=3
a=2
a=-1
ax3a+2
La disequazione
corrisponde al seguente sistema:
3a+2
a<0: x 
a
a=1
3a+2
a>0: x 
a
a=0: impossibile
y=ax-3a-2
y 0
Proviamo a rappresentare sul piano
cartesiano la retta y=ax-3a-2 al
variare di a.
35
Disequazioni letterali
consideriamo la disequazione
letterale fratta:
0
Possiamo esplicitare la x al denominatore e risolverla come una
comune disequazione fratta
(x - a)  0
x(x+a)
se a=0
Consideriamo i tre casi a=0,
oppure a>0
x

0
x²
è verificata
a<0
x>0 R
36
a=0
x

0
x²
Equivale al sistema
x
y=
x²
y 0
la soluzione è
x>0 R
37
Consideriamo ora il caso in
cui a>0 oppure a<0:
(x - a)  0
x(x+a)
In entrambi i casi, cerchiamo in quale intervallo ciascun
fattore risulta  0
n
u
m
e
r
a
t
o
r
e
d
e
n
o
m
i
n
a
t
o
r
e
x-a 0
xa
D1
x>0
x>0
D2
x+a>0
x > -a
N1
Ricordiamo che i
fattori a
denominatore non
vanno posti =0
38
Se a>0 nella linea dei numeri
reali è a destra dello zero e
–a è a sinistra
(x - a)  0
x(x+a)
Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli
in cui il prodotto dei fattori è  0:
-a
a
0
x
N1 x  a
D1 x>0
D2
x>a
+
Se a>0 la soluzione è
S=xR-a<x<0 V xa
-
+
ovvero
S: (-a;0)  [a;+)
39
Se a<0 nella linea dei numeri
reali è a sinistra dello zero e
–a è a destra
(x - a)  0
x(x+a)
Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli
in cui il prodotto dei fattori è  0:
a
-a
0
x
N1 x  a
D1 x>0
D2
x>a
+
Se a<0 la soluzione è
S=xRax<0 V x>-a
-
+
ovvero
S: [a;0)  (-a;+)
40
Sintetizziamo le diverse soluzioni
(x - a)  0
x(x+a)
S=xR x>0
S: (0;+)
se a=0
se a>0
S=xR-a<x<0 V xa
S: (-a;0)[a;+)
se a<0
S=xRax<0 V x>-a
S: [a;0)(-a;+)
Abbiamo già visto la soluzione grafica per a=0;
vediamo ora la soluzione grafica al variare di a0
41
asintoto verticale
a = 2>0
_
(x - a)  0
x(x+a)
+
-2
S=xR-a<x<0 V xa
_
+
2
S: (-a;0)[a;+)
42
asintoto verticale
a = -3<0
-3
_
(x - a)  0
x(x+a)
3
+
_
+
S=xRax<0 V x>-a
S: [a;0)(-a;+)
43
Fine
Fin
Fi
F
Prof. Vincenzo Calamia
Liceo Classico
44
Alcamo