Equazioni
e
disequazioni
fratte
Equazioni e disequazioni fratte (nelle quali,cioè, l'incognita compare almeno una volta al denominatore) si risolvono in modo sostanzialmente diverso, anche se l'inizio del procedimento è lo stesso: sono equazioni/disequazioni nelle quali una somma di frazioni algebriche (contenenti polinomi) è posta uguale a zero oppure
maggiore/minore di zero.
(NB Almeno un polinomio deve essere presente al denominatore; se tutti i denominatori sono numerici, l'equazione/disequazione è INTERA)
In sintesi il procedimento, poi gli esempi:
1. EQUAZIONI FRATTE
(a) scrivere le condizioni di esistenza (denominatori diversi da zero)
(NB: non è necessario, in questa fase, risolvere le condizioni)
(b) scomporre i denominatori
(c) spostare tutte le frazioni a sinistra e porre la somma uguale a zero
(d) determinare il MCD dei denominatori e calcolare la somma delle frazioni
(e) imporre il NUMERATORE uguale a zero e risolvere l'equazione
(f) verificare se le soluzioni ottenute rispettano le condizioni di esistenza ed eventualmente togliere
quelle che non le rispettano
(g) scrivere l'insieme delle soluzioni (NB: nella forma
S : { x 1 ; x 2 ;...}
)
2. DISEQUAZIONI FRATTE
(a) scrivere le condizioni di esistenza (denominatori diversi da zero) e, se possibile, risolverle
(b) scomporre i denominatori
(c) spostare tutte le frazioni a sinistra e porre la somma maggiore/minore di zero
(d) determinare il MCD dei denominatori e calcolare la somma delle frazioni
ATTENZIONE !!! da qui il procedimento cambia rispetto al caso precedente e diventa più complesso....
(e) fattorizzare il NUMERATORE
(f) studiare e rappresentare lungo l'asse
x
il segno di ciascun fattore della frazione
(g) in un altro asse rappresentare il segno del prodotto/divisione dei segni, cioè il segno complessivo
della frazione algebrica (in sostanza basta contare quanti segni negativi: se sono pari, il segno risultante è positivo, se sono dispari il segno è negativo); suggerisco di usare il colore per il segno
positivo, e la linea semplice per quello negativo; vanno comunque scritti nei vari intervalli anche
i segni stessi, meglio se dentro un piccolo cerchio
(h) nell'ultimo asse x , che rappresenta l'asse della soluzione, si segnano colorati gli intervalli nei
quali il segno corrisponde con la richiesta del testo della disequazione; si lascia la linea dove non
corrisponde; in sostanza se la richiesta è ≥0 il colore della soluzione “copia” il colore del segno, mentre se la richiesta è
≤0 , il colore della soluzione è “il negativo” del colore del segno
(i) infine si controllano i punti di separazione tra gli intervalli; un “pallino” pieno se il punto è richiesto dalla disequazione, “pallino” vuoto se il punto è escluso
Medesimo esempio, con equazione e disequazione fratta:
5
15 − x2
3− x

=
2
3  x 6 2 x
2
5
15 − x 2
3− x

≥
2
3  x 6 2x
2
;
1. EQUAZIONE
Scriviamo le condizioni di esistenza e poi fattorizziamo i denominatori:
(NB: potremmo anche invertire l'ordine: prima fattorizzare e poi scrivere le condizioni di esistenza)
3x≠0
5
15 − x 2
3− x

=
2
3  x 23  x
2
62 x≠0
Tutto a sinistra (attenzione ai segni) e poi denominatore unico:
5
15 − x 2
3− x

−
−2 = 0
3  x 23  x
2
5⋅2  15 − x 2 − 3 − x3x  − 2⋅2 3x
=0
23 x 
Eseguiamo i calcoli (attenzione ai segni):
2
2
10 15 − x − 9 − x  − 12 − 4 x
=0
23x 
4− 4 x
=0
2 3 x
Poiché la frazione è NULLA SE E SOLO SE IL NUMERATORE è NULLO :
4−4x = 0
da cui
x =1
Controlliamo che la soluzione non sia in contraddizione con le condizioni di esistenza.
Il controllo si fa per SOSTITUZIONE della x dentro le condizioni stesse.
Questo è il motivo per il quale non è necessario perdere tempo nel risolverle.
Sostituendo
x = 1 scopriamo che le condizioni sono verificate entrambe (in pratica è la stessa)
Il valore è accettabile e quindi
L'INSIEME DELLE SOLUZIONI è :
S : { 1}
IMPORTANTE: per soluzioni si intendono NUMERI ;
x = 1 non rappresenta la soluzione, ma
una equazione elementare, ottenuta da quella iniziale, che ci dice immediatamente quale numero va sostituito alla incognita x perché l'uguaglianza sia verificata.
Per questo motivo è sbagliata la scrittura:
S : { x = 1}
Essa, infatti, rappresenta un insieme di equazioni, contenente una sola equazione, elementare.
2. DISEQUAZIONE
Scriviamo le condizioni di esistenza ma questa volta le risolviamo:
(NB: anche qui potremmo invertire l'ordine: prima fattorizzare e poi scrivere le condizioni di esistenza)
3 x ≠ 0
x ≠ −3
62 x≠0
Con gli stessi passaggi di prima otteniamo:
4− 4 x
≥0
23 x
Raccogliendo a fattor comune al numeratore e semplificando per due si ha:
21 − x 
≥0
3 x
ADESSO SAREBBE UN ERRORE GRAVISSIMO ELIMINARE IL DENOMINATORE
Il motivo è semplice: poiché contiene l'incognita, il suo valore può essere positivo o negativo e quindi, se
moltiplichiamo per il denominatore, la disequazione può cambiare verso, secondo il valore della x.
PER QUESTO MOTIVO, SI STUDIA IL SEGNO DELLA FRAZIONE
STUDIANDO SEPARATAMENTE
E MOLTIPLICANDO TRA LORO I SEGNI DI TUTTI I FATTORI
Trascuriamo il 2, che è sempre positivo, e studiamo il segno dei due binomi (studiamo quando sono positivi;
il negativo si deduce per differenza):
1− x0
x1
( indica quando il primo binomio è positivo)
3x0
x−3
( indica quando il secondo binomio è positivo)
x
x
x
x
−3
S : {[−3 ;1]}
0
1