Logica delle proposizioni
 Nel linguaggio naturale ovvero il linguaggio che
usiamo quotidianamente per comunicare,
indichiamo con il termine di proposizione
una frase che esprime un pensiero compiuto.
 In matematica, invece, chiamiamo:
DEF : PREPOSIZIONE una frase o un enunciato che
può essere :
VERO
1
FALSO
0
ma non contemporaneamente
vero e falso.
ESEMPI:
Sono proposizioni :
10 è un numero dispari
il 25 Dicembre è Natale
Roma è capitale d’Italia
La prima è FALSA,
Mentre le altre due sono VERE.
Non sono proposizioni
 Come ti chiami ?
 Milano è una bella città
 Che bel sole!
Poiché non è possibile stabilirne la verità; la
prima è una domanda, la seconda esprime un giudizio
soggettivo , la terza un’esclamazione.
Quando diciamo che una proposizione è
VERA oppure FALSA
Attribuiamo ad essa un
VALORE DI VERITA’.
In matematica i concetti noti sono detti
PRIMITIVI, per cui i concetti di
“ vero” e “ falso “ sono tali.
TRE PRINCIPI DELLA
LOGICA
 Principio di identità : ogni proposizione ha lo stesso
valore di identità di se stessa
 Principio di non contraddizione : una proposizione
non può essere contemporaneamente VERA e FALSA
 Principio del terzo escluso : una proposizione può
essere solo VERA o FALSA
OPERAZIONI LOGICHE
 Le proposizioni si possono collegare tra loro in
modo da formare nuove proposizioni
pertanto possiamo eseguire
le operazioni logiche tra di esse.
LA NEGAZIONE
E’ la proposizione che è vera se l’enunciato di partenza è falso e falsa
nell’altro caso.
Si indica
p
 Corrisponde al connettivo «non».
 Nel linguaggio informatico è anche indicato NOT o
INVERTER.
 La tavola di verità corrispondente è:
p
V
F
Esempio:
p: «6 è pari»
non p: «6 non è pari »
p
F
V
V
F
LA CONGIUNZIONE
Dati due enunciati, la congiunzione è quella terza
proposizione che è vera solo se le due di partenza sono
vere.
Si indica
pq
e corrisponde al connettivo «e» anche detto AND.
La tavola di verità è la seguente.
p
V
V
F
F
Esempio:
p: “Roma è in Italia”
q: “Il forno raffredda”
pq: “Roma è in Italia e il forno raffredda”
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
F
V
F
F
LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA
E’ quell’operazione che permette di trovare una terza
proposizione che è vera se almeno uno degli enunciati di
partenza è vero.
pÚq
Viene indicata:
si legge “p vel q”
o altrimenti:
p OR q
p
q pÚq
Corrisponde al connettivo linguistico «o».
V V
V
Esempio:
p: «Pordenone è in Friuli»
V
q: «Il ghiaccio è caldo»
F
p Ú q: «Pordenone è in Friuli o il ghiaccio è caldo » V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA
 La disgiunzione esclusiva è l’operazione binaria che fa
corrispondere a due proposizioni p e q la proposizione composta
p
q che è vera quando è vera una sola delle proposizioni
componenti.
 La disgiunzione esclusiva corrisponde al connettivo “o…o…”(in
latino a “aut”) o, nel linguaggio informatico, a “XOR”.
 La tavola di verità correspondente è:
p
q p q
V V
F
V F
V
F V
V
F
F
F
Esempio:
p:”Napoli è in Campania”
q:”Venezia è in Liguria”
p q:”o Napoli è in Campania o Venezia è in Liguria”
V
F
V
L’IMPLICAZIONE MATERIALE
 L’implicazione materiale o condizionale è l’operazione
binaria che fa corrisponere a due proposizioni p e q la
proposizione composta pq che è sempre vera tranne
quando p è vera e q è falsa.
 L’implicazione materiale corrisponde al connettivo
“se…allora”.
p
q pq
 La tavola di verità corrispondente è:
V V
V
V
F
F
Esempio:
p: “Milano è in Lombardia”
q: “Madrid è in Italia”
pq: “Se Milano è in Lombardia allora Madrid è in Italia”
F
V
F
F
V
V
V
F
F
LA DOPPIA IMPLICAZIONE
 La
doppia implicazione materiale o bicondizionale è
l’operazione binaria che fa corrispondere a due proposizioni p e
q la proposizone composta pq che è vera quando p e q sono
entrambe vere o entrambe false.
 La doppia implicazione materiale corisponde al connettivo “...se
e solo se…” o, nel linguaggio informatico, a “NOT XOR”.
 La tavola di verità corrispondente è:
p
V
V
F
F
q pq
V
V
F
F
V
F
F
V
Esempio:
p:”Genova è in Liguria”
q:”Il monte Bianco è in Sicilia”
pq:”Genova è in Liguria se e solo se il monte Bianco è in Sicilia”
V
F
F
TAUTOLOGIE
 Si definisce tautologia una proposizione composta
che risulta sempre vera, indipendentemente dai
valori di verità delle proposizioni componenti.
Ecco alcuni esempi di tautologie:
Principio del Terzo Escluso
or
p
p pÚ p
pÚ p
V
F
F
V
V
V
Esempio: è sempre
vero che cammino o
non
cammino
Principio di non contraddizione
p p
p
V
F
p
F
V
p p p p
F
V
F
V
Esempio: non può essere vero che piove e (contemporaneamente) non piove.
CONTRADDIZIONI
 Si definisce contraddizione una proposizione composta
sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità
delle proposizioni componenti.
 La proposizione p p è una contraddizione perché è
sempre falsa, come si può vedere nella corrispondente
tabella di verità.
p
V
F
p
F
V
p p
F
F
Esempio:
è sempre falso che piove e (contemporaneamente) non piove
GRAZIE PER LA
VOSTRA ATTENZIONE