Modelli di
ragionamento
Relazioni tra i 4
tipi di
proposizione
Cf Aristotele
Proposizioni contraddittorie
• Relazione che intercorre tra due proposizioni
che differiscono per quantità e qualità.
• O è vera l’una o è vera l’altra.
• Quali sono?
Proposizioni contrarie
• Hanno la stessa quantità universale, ma diversa
qualità.
• Possono essere entrambe false, ma mai
entrambe vere.
• Quali sono?
Tavola di verità della
proposizioni contrarie
• Funtore di Sheffer (NAND)
• Negazione della congiunzione logica.
p
V
\
F
q
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
• Ci sono eccezioni alla relazione di contrarietà?
Proposizioni subcontrarie
• Hanno la stessa quantità particolare, ma
diversa qualità.
• Possono essere entrambe vere, ma non
entrambe false.
• Quali proposizioni sono?
• Quale connettivo c’è tra due proposizioni
subcontrarie?
• Ci sono delle eccezioni?
– Alcuni cattolici sono cristiani – Alcuni cattolici non
sono cristiani possono essere subcontrarie?
Proposizioni subalterne
• Proposizioni che hanno la stessa qualità, ma
diversa quantità.
• Quali sono?
• Relazione di implicazione: non si dà mai che
l’universale sia vera e la particolare falsa.
• Relazione unidirezionale.
Quadrato logico
Quadrato logico e funzioni
(x)(gxfx)
(x)~(gxfx)
~(x)(gx©fx)
(x)(gx©fx)
(x)~(gx©fx)
~(x)(gxfx)
Alcune osservazioni quando gx è una classe vuota.
Inferenze
Immediate e mediate
Inferenze
immediate
Ricavabili dal quadrato
logico
Dalla relazione di
contraddittorietà
A
V
V
aut
F
V
O
V
F
F
F
V
F
V
F
Dalla relazione di
contrarietà
A
V
\
F
E
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
Dalla relazione di
subcontrarietà
I
V
V
v
V
V
O
V
F
F
F
V
F
V
F
Dalla relazione di
implicazione
A
V
V

V
F
I
V
F
F
F
V
V
V
F
Ex falso sequitur quodlibet (teorema dello Pseudo-Scoto)
Sintesi delle inferenze
immediate
A
E
I
O
A
V
-
F
V
F
A
F
-
Ind.
Ind.
V
E
V
F
-
F
V
E
F
Ind.
-
V
Ind.
I
V
Ind.
F
-
Ind.
I
F
F
V
-
V
O
V
F
Ind.
Ind.
-
O
F
V
V
V
-
Altre inferenze
immediate
Non dipendono dal quadrato
logico, ma dalle caratteristiche
dei 4 tipi di proposizioni
Conversio simplex
• Cosa hanno in comune la proposizione di tipo E
e quella di tipo I?
• La distribuzione: nella E soggetto e predicato
sono entrambi distribuiti, nella I non è distribuito
né il soggetto né il predicato.
• È possibile pertanto scambiare soggetto e
predicato senza modificare il valore di verità
dell’enunciato.
• Da «Nessun S è P» ricaviamo «Nessun P è S», da
«Alcuni S sono P» ricaviamo «Alcuni P sono S».
Conversio per accidens
• Da una proposizione di tipo A possiamo ottenere
una proposizione non equivalente, ma altrettanto
valida, cambiando la quantità e scambiando
soggetto e predicato.
• Da «Tutti gli S sono P» ricaviamo «Alcuni P sono S».
• Su una proposizione di tipo A non possiamo
applicare la conversio simplex, ma possiamo
ricavare la sua subalterna: proposizione di tipo I.
• Sulla subalterna, di tipo I, possiamo applicare la
conversio simplex.
Obversione
• Ogni classe ha il suo complementare, ovvero
tutto ciò che non appartiene a quella classe.
• Mediante l’obversione otteniamo una
proposizione equivalente, cambiando la
qualità e sostituendo il predicato con il suo
complementare.
• L’obversione può essere applicata a tutti i tipi di
proposizione.
• Es: Da «Tutti i seminaristi sono amanti della
liturgia» otteniamo «Nessun seminarista non è
amante della liturgia».
Contrapposizione
• Si può applicare sulle proposizioni di tipo A e di
tipo O.
• Si sostituisce il soggetto con il complementare
del predicato e il predicato con il
complementare del soggetto.
• Da «Tutti gli S sono P» ricaviamo «Tutti i non P
sono non S».
• Da «Alcuni S non sono P» ricaviamo «Alcuni non
P non sono non S».
Organon
1. Categorie
2. De interpretatione
3. Analitici primi
4. Analitici secondi
5. Topici
6. Confutazioni sofistiche
Logica
aristotelica
Verità come corrispondenza
tra parola e realtà.
Categorie
• Cose dette senza connessione: i termini.
Fred
Flinstone
è
un antenato
con i capelli
lisci
Sostanza – Categorie – accidenti
• Sostrato: non si può usare per predicare
qualcosa di qualcos’altro.
Antenato può
essere detto di
Fred. È sostanza
seconda.
Categorie.
Che cos’è
Fred?
NB: solo gli enunciati possono essere veri o
falsi. I termini non sono né veri né falsi.
I capelli lisci
ci possono
essere o
meno.
L’identità di
Fred non
cambia.
Accidente
Categorie
Sostanze prime e accidenti sono
realtà individuali. Le categorie sono
predicati universali.
uno
scienziato
Guardato
dagli
studenti
In
laboratorio
osservando
adesso
Con un
microscopio
seduto
Gli altri scritti
De interpretatione
Analitici primi
Analitici secondi
Topici
Confutazioni
sofistiche
Relazione tra i tipi di
proposizioni
Teoria generale del
sillogismo
Sillogismo apodittico
Schemi di
argomentazioni
Fallacie
«È un discorso in cui,
date determinate cose,
ne risulta
necessariamente
qualcosa di diverso da
quelle date, proprio in
virtù di quelle date». Topici
Teoria del sillogismo
Struttura generale del
sillogismo
• Almeno tre proposizioni.
• Le prime due sono le premesse.
• La terza è la conclusione.
• Ogni proposizione è formate da due termini:
soggetto e predicato.
• Le due premesse devono avere un termine in
comune (termine medio) che NON deve comparire
nella conclusione.
• La correttezza del sillogismo non dipende dalla
verità delle premesse, ma dalla correttezza della
deduzione.
Esempio aristotelico
Se A è affermato di ogni Premessa maggiore
B
e B di ogni C
Premessa minore
Allora A è affermato di
ogni C
A sta per «perdere le foglie»
B sta per «avere le foglie
larghe»
C sta per «essere una vite»
Conclusione