La logica
Obiettivi
l
Á
riconoscere proposizioni e individuarne il valore di verita
l
operare con le proposizioni e riconoscere equivalenze logiche
l
stabilire la correttezza di un ragionamento logico
l
operare con i predicati
l
usare in modo appropriato i quantificatori
MATEMATICA E REALTAÁ
In tutti i campi delle attivitaÁ umane
siamo costantemente portati a trarre
conclusioni e a fare scelte; il modo
con cui arriviamo a queste conclusioni eÁ peroÁ diverso a seconda delle situazioni. Spesso usiamo il buon senso, la nostra esperienza o ci facciamo
guidare dall'istinto, a volte ci facciamo condizionare dalle opinioni di altre persone, altre volte ancora cerchiamo di sviluppare un ragionamento.
In matematica si usa un ragionamento nel quale la correttezza delle conclusioni eÁ affidata esclusivamente al rigore delle argomentazioni; per esempio,
consideriamo questi due brevi discorsi:
l
l
Tutti i mammiferi allattano i piccoli.
I gatti sono mammiferi,
quindi i gatti allattano i piccoli.
I ragazzi che hanno lo scooter sono felici.
Io non ho lo scooter,
quindi non sono felice.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
1
Anche se i due ragionamenti sono del tutto simili nella forma, siamo portati
ad affermare che il primo "funziona", mentre il secondo no: non riusciresti
mai a convincere tuo padre a comprarti lo scooter dicendogli queste cose!
Si sente quindi la necessitaÁ di stabilire delle regole in base alle quali poter
decidere se un ragionamento eÁ corretto oppure no, indipendentemente dal
fatto che le parti che lo compongono siano vere o meno.
Se ci riferiamo al secondo esempio, tutte e tre le frasi possono ritenersi vere,
ma ugualmente non possiamo accettare che l'infelicitaÁ sia da attribuirsi obbligatoriamente al fatto di non avere lo scooter.
La scienza che si occupa di controllare la correttezza di un ragionamento eÁ
la Logica; in questo capitolo cominciamo a introdurre i primi concetti relativi a questo argomento.
Quando avrai completato il tuo studio potrai dare una giustificazione formale e non soltanto intuitiva della valutazione dei due ragionamenti che
abbiamo visto.
In ogni caso, trovi il ragionamento corretto al termine del capitolo.
1. LE PROPOSIZIONI
Un qualunque ragionamento eÁ, in ultima analisi, composto da frasi di senso
compiuto che, in logica, prendono il nome di proposizioni.
Chiamiamo proposizione una frase di senso compiuto della quale si puoÁ dire se eÁ vera o se eÁ falsa.
Quando una proposizione eÁ vera diremo che il suo valore di veritaÁ eÁ Vero
(V), quando eÁ falsa diremo che il suo valore di veritaÁ eÁ Falso (F).
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 25
Le proposizioni si chiamano
anche enunciati e si indicano con le lettere minuscole
dell'alfabeto
In base a questa definizione, sono proposizioni le seguenti frasi:
a: «Pasqua cade sempre di domenica.» valore di veritaÁ: V
b: «Le balene sono mammiferi.»
5
c: « eÁ un numero intero.»
4
d: «Torino si trova in Veneto.»
valore di veritaÁ: V
valore di veritaÁ: F
valore di veritaÁ: F
Non sono invece proposizioni in quanto non ha senso chiedersi se sono vere o
false:
«Portami un pacchetto di caramelle.»
«Viva il Milan!»
«Quanti anni hai?»
Sono da annoverare fra le proposizioni anche frasi del tipo:
«Esistono dei numeri che sono interi.»
«In classe c'eÁ qualcuno che non ha il libro di matematica.»
Anche se non si sta parlando di un numero o di uno studente particolare, tuttavia possiamo dire che la prima frase eÁ vera, che la seconda eÁ falsa solo se gli
studenti hanno tutti il libro di matematica ed eÁ vera negli altri casi; entrambe
sono percioÁ delle proposizioni.
Le proposizioni sono dunque quelle frasi che asseriscono un fatto, vero o falso
che sia.
2
LA LOGICA
I valori di veritaÁ V e F sono a
volte sostituiti dai simboli 1 e
0:
V!1
F!0
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Poiche lo scopo che ci prefiggiamo eÁ quello di costruire dei metodi che ci permettano di stabilire la correttezza o meno di un ragionamento, dobbiamo richiedere che le proposizioni soddisfino alcune caratteristiche:
Principio di non contraddizione: una proposizione non puoÁ essere contemporaneamente vera e falsa.
I PRINCIPI FONDAMENTALI
Principio del terzo escluso: una proposizione eÁ vera oppure falsa, non esistono altre possibilitaÁ.
In altre parole:
vorrei e non vorrei
frase che molto spesso si sente dire, non puoÁ essere accettata come proposizione perche contraddice il primo principio; in matematica non si puoÁ volere e non
volere una stessa cosa: o si vuole che un triangolo sia isoscele o non lo si vuole.
Se stai affannosamente cercando il libretto delle giustificazioni e non lo trovi,
non puoi dire al tuo insegnante:
«c'eÁ, ma non riesco a trovarlo»
perche questa affermazione contraddice il principio del terzo escluso, infatti o
il libretto c'eÁ (e allora lo devi trovare) oppure non c'eÁ (ed eÁ per questo che non
lo trovi).
"Essere o non essere" la celebre frase pronunciata da
Amleto all'inizio del suo monologo eÁ invece una proposizione.
Vai a pagina 35 per scoprire percheÂ.
GiaÁ da queste prime nozioni ci accorgiamo che il tipo di logica che ci accingiamo a studiare puoÁ controllare la correttezza solo di quei ragionamenti che
coinvolgono proposizioni, le quali, a loro volta, devono obbedire alle regole
fissate dai due principi di non contraddizione e del terzo escluso.
Ma un ragionamento, di solito, eÁ una cosa complessa, composta da molte proposizioni legate fra loro. Per esempio:
«Giovanni studia al Conservatorio percheÂama la musica e vuole diventare un
direttore d'orchestra»
eÁ indubbiamente una proposizione (conoscendo Giovanni possiamo sicuramente dire se questa frase eÁ vera o no), ma possiamo ritenere che essa sia formata da piuÁ proposizioni di carattere piuÁ semplice:
l
a: «Giovanni studia al Conservatorio»
l
b: «Giovanni ama la musica»
l
c: «Giovanni vuole diventare direttore d'orchestra»
e che, in ultima analisi, il valore di veritaÁ della proposizione iniziale dipenda
dai valori di veritaÁ di ciascuna delle proposizioni piuÁ semplici.
Dobbiamo quindi fissare delle regole che permettano di stabilire il valore di veritaÁ di una proposizione complessa ottenuta dalla combinazione di proposizioni
semplici. Chiariamo innanzi tutto cosa intendiamo per "proposizione semplice".
La caratteristica delle proposizioni a, b, c precedenti eÁ che sono formate da
una sola forma verbale, il predicato, alla quale sono eventualmente collegati
alcuni argomenti:
PROPOSIZIONE
PREDICATO
ARGOMENTI
a
studiare
Giovanni, Conservatorio
b
amare
Giovanni, musica
c
diventare
Giovanni, direttore d'orchestra
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Che cosa possiamo dire
dell'intera proposizione sapendo che Giovanni studia
al Conservatorio e ama la
musica (a e b vere), ma
non vuole diventare direttore d'orchestra (c falsa)?
LA LOGICA
3
Una proposizione si dice atomica se eÁ formata da un solo predicato.
PREPOSIZIONI ATOMICHE
E MOLECOLARI
Le proposizioni atomiche possono avere uno, due o piuÁ argomenti, ma possono anche non averne. Per esempio:
l
«La campana suona»
- predicato: suonare
- argomento: la campana
l
«Piove»
- predicato: piovere
- non ci sono argomenti
Le proposizioni che sono formate da piuÁ proposizioni atomiche si dicono
molecolari.
Le proposizioni molecolari sono il risultato di alcune operazioni fra proposizioni atomiche nelle quali i simboli di operazione sono alcune particelle della lingua parlata come "e", "o", "non" e cosõÁ via.
Nei prossimi paragrafi ci occuperemo di studiare come valutare il valore di veritaÁ delle proposizioni molecolari in base alle operazioni che legano fra loro le
proposizioni atomiche.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Individua le proposizioni:
a. I poligoni hanno almeno tre lati.
c. 12 eÁ un numero intero.
b. Domani probabilmente saroÁ interrogato in Matematica.
3
d.
> 1.
e. Vuoi una caramella?
4
2. Completa distinguendo le forme verbali e gli argomenti.
a. Francesco Totti eÁ un calciatore.
predicato: ...............................
argomenti: ...........................
b. 28 eÁ minore di 32.
predicato: ...............................
argomenti: ...........................
c. Angela dorme.
predicato: ...............................
argomenti: ...........................
d. Nevica.
predicato: ...............................
argomenti: ...........................
2. LE OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI
Gli operatori che si usano per comporre fra loro le proposizioni si chiamano
connettivi ed operano, a seconda del tipo, su una sola o su due proposizioni
alla volta; il risultato dell'operazione ha un valore di veritaÁ che dipende sia
dal connettivo usato, sia dal valore di veritaÁ delle proposizioni atomiche coinvolte.
Per rappresentare i possibili risultati, si usano delle tabelle che prendono il nome di tavole di veritaÁ; in esse, le prime colonne riportano le possibili combinazioni dei valori di veritaÁ delle proposizioni coinvolte mentre la colonna finale indica il valore di veritaÁ della proposizione molecolare. CosõÁ:
4
LA LOGICA
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 26
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
n se abbiamo una sola proposizione a, la tavola ha due sole righe perche a
puoÁ essere vera oppure falsa;
a
a
b
n se abbiamo due proposizioni a e b, ci sono 4 possibili combinazioni.
V
V
V
Vediamo allora quali sono le operazioni che si possono eseguire con le proposizioni.
F
V
F
F
V
F
F
La negazione
EÁ l'operazione logica che, data una proposizione a, restituisce la proposizione «non a».
La proposizione «non a» eÁ F quando a eÁ V ed eÁ V quando a eÁ F.
Il simbolo logico della negazione eÁ un trattino posto sopra la lettera che individua la proposizione:
a
Occorre fare attenzione alle modalitaÁ con cui si esprime una negazione; eÁ corretto anteporre il connettivo non alla forma verbale, oppure la frase non eÁvero
che all'intera proposizione; per esempio:
n la negazione di a: «il rombo ha i lati congruenti» si puoÁ esprimere indifferentemente nei seguenti due modi:
l
a: «il rombo non ha i lati congruenti»
l
a: «non eÁ vero che il rombo ha i lati congruenti».
Poiche a eÁ V, il valore di veritaÁ di a eÁ F.
Non eÁ invece opportuno cambiare l'enunciazione della proposizione se si
vogliono evitare errori. Per esempio la negazione di:
«Ogni Italiano si sa esprimere nel dialetto locale»
p
p
V
F
F
V
Per indicare la negazione si
puoÁ anche usare il simbolo
: anteposto alla proposizione:
:a
La doppia negazione di
una proposizione coincide
con la preposizione stessa:
aˆa
In altre parole, una doppia
negazione afferma.
Attenzione
agli errori
non eÁ
«Nessun Italiano si sa esprimere nel dialetto locale»
ma eÁ
«Non eÁ vero che ogni Italiano si sa esprimere nel dialetto locale».
La congiunzione
EÁ l'operazione logica che, date due proposizioni a e b, restituisce la proposizione «a e b».
Tale proposizione si ritiene vera solo se entrambe le proposizioni a e b sono
vere, falsa in tutti gli altri casi.
Il simbolo logico della congiunzione eÁ ^ e va posto fra le due proposizioni:
a^b
Per esempio:
l
l
se a: «Dante ha scritto la Divina Commedia» (V) e b: «Alessandro Manzoni
ha scritto I promessi sposi» (V), la proposizione c ˆ a ^ b : «Dante ha scritto
la Divina Commedia e Alessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» eÁ V
se a: «12 eÁ un numero pari» (V) e b: «8 eÁ un numero dispari» (F), la proposizione c ˆ a ^ b : «12 eÁ un numero pari e 8 eÁ un numero dispari» eÁ F.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
a
b
a ^ b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
La congiunzione si puoÁ anche esprimere usando i termini:
et
dalla lingua latina;
and
in linguaggio informatico.
LA LOGICA
5
La disgiunzione inclusiva
EÁ l'operazione logica che, date due proposizioni a e b, restituisce la proposizione «a o b».
Tale proposizione si ritiene falsa solo se entrambe le proposizioni a e b sono
false, vera in tutti gli altri casi.
Il simbolo logico della disgiunzione inclusiva eÁ _ e va posto fra le due proposizioni:
a_b
Per esempio:
se a: «8 eÁ pari» (V) e b: «12 eÁ multiplo di 5» (F), la proposizione c ˆ a _ b :
«8 eÁ pari o 12 eÁ multiplo di 5» eÁ V;
l
se a: «la lettera i eÁ una vocale» (V) e b: «la lettera c eÁ una consonante» (V), la
proposizione c ˆ a _ b : «la lettera i eÁ una vocale o la lettera c eÁ una consonante» eÁ V.
l
a
b
a _ b
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disgiunzione inclusiva si
puoÁ anche esprimere usando i termini:
vel
dalla lingua latina;
or
in linguaggio informatico.
La frase di Amleto citata a pagina 32 eÁ una proposizione:
«essere»
_
«non essere»
Inoltre, poiche se una delle due eÁ Vera, l'altra eÁ Falsa, si tratta di una proposizione sempre Vera.
La disgiunzione esclusiva
EÁ l'operazione logica che, date due proposizioni a e b, restituisce la proposizione «o a o b».
Tale proposizione si ritiene vera solo se le proposizioni a e b sono una falsa
e l'altra vera, si considera falsa se le due proposizioni sono entrambe vere o
entrambe false.
Il simbolo logico della disgiunzione inclusiva eÁ __ e va posto fra le due proposizioni:
a __ b
Questa forma di disgiunzione eÁ di frequente uso comune; si dice per esempio:
«o vieni o parto senza di te»
«o sei promosso o sei bocciato»
Un altro esempio:
a
b
a __ b
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disgiunzione esclusiva si
puoÁ anche esprimere usando i termini:
aut
dalla lingua latina;
xor
in linguaggio informatico.
se a: «3 eÁ dispari» (V) e b: «3 eÁ pari» (F), la proposizione c ˆ a __ b: «o 3 eÁ
dispari o 3 eÁ pari» eÁ V (la disgiunzione puoÁ anche essere enunciata cosõÁ:
«3 o eÁ dispari o eÁ pari»).
l
L'implicazione materiale
EÁ l'operazione logica che, date due proposizioni a e b, restituisce la proposizione «se a allora b».
Tale proposizione si ritiene falsa solo se la prima proposizione eÁ vera e la
seconda eÁ falsa, vera in tutti gli altri casi.
Il simbolo logico dell'implicazione materiale eÁ ! e va posto fra le due proposizioni:
a!b
6
LA LOGICA
a
b
a!b
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Nell'implicazione a ! b, la proposizione a si dice premessa, la proposizione b
si dice conseguenza.
Per esempio:
l
l
l
se a: «Le aquile sono uccelli» (V) e b: «I leoni sono mammiferi» (V), la proposizione c ˆ a ! b : «Se le aquile sono uccelli allora i leoni sono mammiferi» eÁ V
se a: «Io sono un uccello» (F) e b: «Io volo» (F), la proposizione c ˆ a ! b :
«Se sono un uccello allora volo» eÁ V.
Osserva che anche nel linguaggio corrente siamo portati a dire che questa
proposizione eÁ vera pur essendo false le sue componenti
se a: «Maria eÁ miope» (V) e b: «Maria vede bene da lontano» (F), la proposizione c ˆ a ! b : «Se Maria eÁ miope allora vede bene da lontano»
eÁ F.
La coimplicazione materiale
EÁ l'operazione logica che, date due proposizioni a e b, restituisce la proposizione «a se e solo se b».
Tale proposizione si ritiene vera se le due proposizioni hanno lo stesso valore di veritaÁ (quindi se sono entrambe vere oppure entrambe false), falsa negli altri casi.
Il simbolo logico della coimplicazione materiale eÁ $ e va posto fra le due
proposizioni:
a$b
a
b
a$b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
La coimplicazione eÁ sostanzialmente una implicazione doppia; essa risulta
quindi vera quando le due proposizioni a ! b e b ! a sono entrambe vere.
Per esempio:
l
l
se a: «15 eÁ un numero primo» (F) e b: «15 eÁ un numero dispari» (V), la
proposizione c ˆ a $ b : «15 eÁ un numero primo se e solo se eÁ dispari»
eÁ F
se a: «parto» e b: «prendo l'autobus», la proposizione c ˆ a $ b : «parto se
e solo se prendo l'autobus» eÁ V se parto usando come mezzo di trasporto
l'autobus oppure se non parto e non prendo nemmeno l'autobus; eÁ falsa negli altri casi, per esempio se parto ma uso l'auto.
Osservazione
Le operazioni logiche fondamentali sono solo le prime tre che abbiamo descritto: la negazione, la congiunzione e la disgiunzione inclusiva.
Le altre si possono tutte descrivere in funzione di queste.
Per esempio, vedremo nel prossimo paragrafo che l'operazione logica a ! b
equivale alla proposizione a _ b, quindi un'implicazione si puoÁ esprimere mediante la negazione e la disgiunzione inclusiva.
EÁ tuttavia consuetudine introdurre anche le operazioni di disgiunzione esclusiva e di implicazione sia perche semplificano la valutazione del valore di veritaÁ
di una proposizione complessa, sia perche si usano frequentemente in qualunque linguaggio; in particolare l'implicazione e la doppia implicazione verranno usate nelle dimostrazioni dei teoremi.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
7
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Completa la tabella:
OPERAZIONE
SIMBOLO LOGICO
RISULTATO
negazione
...........
vera se ....................
congiunzione
...........
vera se ....................
disgiunzione inclusiva
...........
falsa se ....................
disgiunzione esclusiva
...........
vera se ....................
implicazione
...........
falsa se ....................
coimplicazione
...........
falsa se ....................
2. Delle due proposizioni a e b si sa che a eÁ V e b eÁ F; indica il risultato delle seguenti operazioni logiche:
a.
b.
c.
d.
e.
a_b
a^b
b!a
a!b
a$b
3. ESPRESSIONI LOGICHE ED EQUIVALENZE
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 31
3.1 Le espressioni logiche
Un qualunque ragionamento, anche il piuÁ semplice, eÁ composto, in generale,
da piuÁ di due proposizioni; si possono allora costruire delle vere e proprie
espressioni logiche delle quali si puoÁ calcolare il valore di veritaÁ. Per esempio:
«Se durante l'anno studio e mi comporto bene, mio padre mi lasceraÁ andare in
vacanza con i miei amici, ma se non studio e non vengo promosso, credo proprio che in vacanza con i miei amici non ci androÁ».
In questo ragionamento possiamo individuare alcune proposizioni atomiche:
a: «Durante l'anno studio»
b: «Durante l'anno mi comporto bene»
c: «Vado in vacanza con i miei amici»
d: «Vengo promosso»
Sinteticamente, usando i connettivi che rappresentano le operazioni che abbiamo studiato, possiamo riscrivere il ragionamento in questo modo:
‰…a ^ b† ! c Š ^ ‰…a ^ d † ! c Š
La valutazione del valore di veritaÁ di questo ragionamento dipende dai valori di
veritaÁ delle proposizioni atomiche che lo compongono; supponiamo che sia:
a V
b F
c F
d V
allora
a^b
eÁ F
‰ …a ^ b † ! c Š
eÁ V
8
LA LOGICA
Se conosciamo il valore di
veritaÁ di ogni proposizione
di un'espressione logica,
per stabilire se essa eÁ vera
oppure falsa basta applicare le regole delle operazioni
logiche.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
a^d
eÁ F
‰ …a ^ d † ! c Š
eÁ V
‰…a ^ b † ! c Š ^ ‰…a ^ d † ! c Š
eÁ V
In genere, peroÁ, si vuole sapere come varia il valore di veritaÁ di un'espressione
al variare dei valori di veritaÁ delle singole proposizioni che la formano. Occorre allora costruire una tavola di veritaÁ che contempli tutte le possibilitaÁ.
Se con due proposizioni abbiamo 4 possibilitaÁ, quante ce ne saranno con tre,
quattro, dieci proposizioni? Inoltre, come possiamo essere sicuri di scriverle
tutte?
Figura 1
La risposta ad entrambe le domande si puoÁ ottenere costruendo un diagramma ad albero che incrementa il numero di proposizioni ad ogni ramificazione. In sostanza, a partire dalla proposizione a, dalla quale si dipartono i due rami che rappresentano le due possibilitaÁ V o
F, si giunge alla proposizione b che puoÁ essere anch'essa V o F; da b si passa a c e cosõÁ via fino ad esaurire le
proposizioni. In figura 1 puoi vedere l'albero che si ottiene con tre proposizioni; basta adesso leggere i valori
di veritaÁ lungo ciascun percorso per avere tutti i casi
possibili.
Osserviamo poi che, poiche ad ogni nuova ramificazione il numero dei casi
raddoppia, il numero complessivo di possibilitaÁ eÁ una potenza del 2:
l
con una proposizione:
21 ˆ 2 casi;
l
con due proposizioni:
22 ˆ 4 casi;
con tre proposizioni:
e cosõÁ via.
l
Con n proposizioni i casi
possibili sono 2n
23 ˆ 8 casi;
Per essere sicuri di scrivere tutte le possibilitaÁ, completiamo le colonne della
tavola di veritaÁ in questo modo (osserva la tabella a lato nella quale eÁ rappresentato il caso di tre proposizioni):
l
l
l
colonna della prima proposizione:
metaÁ casi di V e metaÁ casi di F
a
b
c
colonna delle seconda proposizione:
1
1
casi di V e casi di F alternati
4
4
V
V
V
V
V
F
colonna delle terza proposizione:
1
1
casi di V e casi di F alternati
8
8
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
e cosõÁ via fino a che nell'ultima colonna vi eÁ una alternanza di V e F.
In sostanza dimezziamo ogni volta il numero di casi di V e F rispetto al precedente.
Vediamo allora attraverso alcuni esempi come si valuta il valore di veritaÁ di
un'espressione logica.
ESEMPI
1. Studiamo l'espressione logica ……a _ b† ^ a† ! b.
Abbiamo a che fare con due proposizioni quindi abbiamo 4 casi possibili. Per la valutazione della proposizione procediamo come nelle espressioni numeriche determinando il risultato delle operazioni parQ Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
9
ziali; nelle colonne successive a quelle dove sono rappresentate le proposizioni atomiche valutiamo in
successione le seguenti operazioni
a_b
…a _ b † ^ a
a
… … a _ b † ^ a† ! b
e infine
Ecco la tavola:
a
b
a_b
a
…a _ b † ^ a
……a _ b † ^ a† ! b
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
2. Valutiamo l'espressione …a _ b† ^ a.
a
b
a_b
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
a_b
…a _ b† ^ a
3. Studiamo il valore di veritaÁ dell'espressione …a _ b† ^ …a _ b† ! c.
Con tre proposizioni abbiamo 8 possibilitaÁ; ecco la tavola che risulta:
a
b
c
a
b
a_b
a_b
…a _ b † ^ …a _ b †
…a _ b † ^ …a _ b † ! c
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
I precedenti esempi 1. e 2. riguardano espressioni logiche molto particolari perche nel primo caso abbiamo ottenuto che l'espressione eÁ sempre vera e nel secondo che eÁ sempre falsa. In logica espressioni di questo tipo prendono nomi
particolari.
Si dice tautologia un'espressione logica che eÁ vera qualunque sia il valore di
veritaÁ degli enunciati che la compongono.
TAUTOLOGIE
E CONTRADDIZIONI
Si dice contraddizione un'espressione logica che eÁ falsa qualunque sia il valore di veritaÁ degli enunciati che la compongono.
Le tautologie e le contraddizioni sono importanti perche definiscono proposi-
10
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
zioni complesse che sono assolutamente vere o assolutamente false, indipendentemente dal valore di veritaÁ delle proposizioni atomiche che le compongono. Non eÁ quindi importante da quali proposizioni sono formate; esse stabiliscono delle veritaÁ o delle falsitaÁ assolute.
L'espressione logica ……a _ b† ^ a† ! b dell'esempio 1 eÁ quindi una tautologia,
l'espressione …a _ b † ^ a dell'esempio 2. eÁ una contraddizione.
Altri esempi di tautologie sono i principi fondamentali che abbiamo introdotto
nel primo paragrafo e che, facendo uso dei connettivi, possiamo scrivere cosõÁ:
n principio di non contraddizione: una proposizione a non puoÁ essere contemporaneamente vera e falsa: a ^ a
n principio del terzo escluso: una proposizione eÁ vera oppure falsa:
a_a
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Completa la tavola di veritaÁ dell'espressione logica …a ^ b† ! …a _ b† e verifica che si tratta di una tautologia.
a
b
a^b
a_b
…a ^ b † ! …a _ b †
V
V
...
...
...
V
F
...
...
...
F
V
...
...
...
F
F
...
...
...
3.2 Le equivalenze logiche
A volte capita che due espressioni logiche formalmente diverse, ma formate
dalle stesse proposizioni, abbiano la stessa tavola di veritaÁ, come per esempio:
a!b
a_b
e
le cui tavole di veritaÁ sono
a
b
a!b
a
b
a
a_b
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
Questo significa che, dal punto di vista logico, esse esprimono lo stesso concetto, sono cioeÁ equivalenti; scriviamo allora che
n a!b ˆa_b
dove il simbolo di uguaglianza significa equivalenza logica.
Se analizziamo anche le altre equivalenze logiche riportate a lato della pagina, ci accorgiamo che implicazione, coimplicazione e disgiunzione esclusiva
si possono realizzare anche mediante i connettivi e, o, non; queste operazioni
allora, come giaÁ anticipato nell'osservazione del precedente paragrafo, non
sono fondamentali e sintetizzano semplicemente una opportuna combinazioQ Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Altre equivalenze logiche
sono:
n a $ b ˆ …a _ b † ^ …a _ b †
n a __ b ˆ …a _ b † ^ …a _ b †
LA LOGICA
11
ne delle operazioni di negazione, congiunzione e disgiunzione inclusiva.
Consideriamo adesso le due proposizioni
a!b
PROPOSIZIONE
b!a
e
delle quali la seconda proposizione prende il nome di contronominale della
prima. Le rispettive tavole di veritaÁ sono le seguenti:
a
b
a!b
a
b
a
b
b!a
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
CONTRONOMINALE
Avendo ottenuto gli stessi valori di veritaÁ possiamo concludere che:
la proposizione a ! b e la sua contronominale b ! a sono logicamente
equivalenti.
Per esempio dire:
l
l
se Giovanni eÁ cattolico
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
a
equivale a dire:
eÁ cristiano
|‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚}
b
allora
!
se Giovanni non eÁ cristiano
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
allora
non eÁ cattolico
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
b
!
a
se un numero eÁ dispari
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
a
equivale a dire:
non eÁ divisibile per 6
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
b
allora
!
se un numero eÁ divisibile per 6
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
bˆb
allora
!
non eÁ dispari
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
a
Enunciamo adesso alcune equivalenze che rappresentano le proprietaÁ delle
operazioni logiche; la loro dimostrazione mediante la costruzione delle rispettive tavole di veritaÁ puoÁ essere un utile esercizio di applicazione.
n aˆa
PROPRIETAÁ DELLE
OPERAZIONI LOGICHE
legge della doppia negazione
n a^aˆa
e
a_aˆa
proprietaÁ di idempotenza della congiunzione e della disgiunzione
n a ^ …a _ b † ˆ a
e
a _ …a ^ b † ˆ a
proprietaÁ di assorbimento
n a^b ˆb^a
e
a_b ˆb_a
proprietaÁ commutativa della congiunzione e della disgiunzione
n …a ^ b † ^ c ˆ a ^ …b ^ c †
e
…a _ b † _ c ˆ a _ …b _ c †
proprietaÁ associativa della congiunzione e della disgiunzione
n a ^ …b _ c † ˆ …a ^ b † _ …a ^ c †
proprietaÁ distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione
n a _ …b ^ c † ˆ …a _ b † ^ …a _ c †
proprietaÁ distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione
n a^b ˆa_b
prima legge di De Morgan
n a_b ˆa^b
seconda legge di De Morgan
12
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
ESEMPI
1. Stabiliamo, applicando le proprietaÁ delle operazioni logiche, se le seguenti sono equivalenze logiche:
a. …a _ b † _ …a ^ c † ˆ …a ^ b† ^ …a _ c †
Applichiamo le leggi di De Morgan alla prima parte:
essendo:
…a _ b † ˆ a ^ b ˆ a ^ b
si ha che:
…a _ b † ^ …a ^ c † ˆ …a ^ b † ^ …a _ c †
e
…a _ b † _ …a ^ c † ˆ …a _ b † ^ …a ^ c †
…a ^ c † ˆ a _ c ˆ a _ c
Avendo ottenuto la seconda parte, si tratta di una equivalenza logica.
b. a $ b ˆ …a _ b† ^ …a _ b†
Ricordiamo che
a!b ˆa_b
e che
a $ b ˆ …a ! b† ^ …b ! a†.
Possiamo allora riscrivere il primo membro dell'uguaglianza in questo modo:
a $ b ˆ …a ! b † ^ …b ! a† ˆ …a _ b† ^ …b _ a† ˆ …a _ b† ^ …a _ b †
Quella data eÁ quindi un'equivalenza logica.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Due proposizioni formate dalle stesse proposizioni sono logicamente equivalenti se:
a.
b.
c.
d.
usano gli stessi connettivi
sono entrambe sempre vere
assumono lo stesso valore di veritaÁ in corrispondenza di uguali valori di veritaÁ delle proposizioni
le loro tavole di veritaÁ hanno lo stesso numero di casi V e F.
2. Per ogni coppia di proposizioni, enuncia per esteso le espressioni a _ b e a ^ b utilizzando anche le leggi
di De Morgan.
a. a: «Lucia ha i capelli neri»
b: «Lucia ha gli occhi chiari»
b. a: «Luca eÁ un autista prudente»
b: «La patente di Luca ha ancora 20 punti»
c. a: «Carolina Kostner ha partecipato ai mondiali di pattinaggio del 2007»
b: «Nei mondiali di pattinaggio del 2007 Carolina Kostner si eÁ classificata sesta»
4. LA LOGICA DEI PREDICATI
Abbiamo visto che le proposizioni, in generale, sono costituite da forme verbali
legate a degli argomenti. Quando un argomento non eÁ noto, non eÁ piuÁ possibile parlare di proposizioni perche di queste frasi non si puoÁ dire se sono vere o
false, come per esempio nel caso della frase
x eÁ amico di Giulia
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 34
Figura 2
"Essere amici di Giulia" esprime in questo caso la proprietaÁ che identifica alcuni elementi di un insieme A di persone; A rimane in questo modo diviso in due
parti: quella i cui elementi sono amici di Giulia, quella i cui elementi non sono
amici di Giulia (figura 2). Se al posto di x si sostituisce un elemento che appartiene alla prima parte, per esempio Matteo, si ottiene una proposizione vera:
«Matteo eÁ amico di Giulia»
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
13
Se al posto di x si sostituisce un elemento che appartiene alla seconda parte,
per esempio Luca, si ottiene una proposizione falsa:
«Luca eÁ amico di Giulia»
La proprietaÁ che esprime una caratteristica relativa ad alcuni elementi di un
insieme si dice predicato.
PREDICATI E ENUNCIATI APERTI
Un predicato lega fra loro degli argomenti, alcuni dei quali possono non essere
noti; gli argomenti non noti vengono normalmente indicati con una lettera minuscola dell'alfabeto, di solito x, y o z, e di essi si dice che sono delle variabili.
Per esempio, nelle frasi:
x eÁ cugino di Luca
"essere cugini di Luca" eÁ il predicato
x eÁ la variabile
x ama y
"amare" eÁ il predicato
x e y sono le variabili
Le frasi che sono formate da un predicato e da alcuni argomenti incogniti si
dicono enunciati aperti.
Gli enunciati aperti si chiamano anche proposizioni
aperte.
Un enunciato aperto si indica con una lettera minuscola dell'alfabeto seguita dai
nomi delle variabili racchiuse in una coppia di parentesi tonde; per esempio:
n p …x † : «x eÁ maggiore di 8» eÁ un enunciato aperto con una sola variabile, e si
ha che:
p …10† : «10 eÁ maggiore di 8» (V)
p …2† : «2 eÁ maggiore di 8» (F)
p … 1† : « 1 eÁ maggiore di 8» (F)
n q…x, y † : «x eÁ la capitale di y» eÁ un enunciato aperto con due variabili, e si
ha che:
q…Parigi, Francia† : «Parigi eÁ la capitale della Francia» (V)
q…Roma, Germania† : «Roma eÁ la capitale della Germania» (F)
L'insieme dei valori che eÁ possibile attribuire alle variabili, indipendentemente dal fatto che rendano la proposizione vera o falsa, si chiama dominio
dell'enunciato aperto.
L'insieme dei valori del dominio che rendono l'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaÁ.
Nel seguito indicheremo genericamente il dominio di un enunciato aperto con
D e l'insieme di veritaÁ con la stessa lettera usata per indicare l'enunciato; per
esempio, relativamente ai precedenti due esempi possiamo dire che:
n il dominio di p …x † eÁ un qualunque insieme numerico N, Z , Q o qualche
loro sottoinsieme, l'insieme di veritaÁ eÁ l'insieme P dei numeri di quell'insieme che sono maggiori di 8;
DOMINIO
INSIEME DI VERITAÁ
Il dominio di un predicato
rappresenta l'insieme ambiente, mentre l'insieme di
veritaÁ eÁ un sottoinsieme dell'insieme ambiente.
n il dominio di q…x, y † eÁ l'insieme Q delle coppie …x, y † appartenenti al prodotto cartesiano A B dove A eÁ l'insieme delle cittaÁ, per esempio europee,
B eÁ l'insieme degli Stati europei.
14
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Con gli enunciati aperti eÁ possibile eseguire le stesse operazioni logiche che si
eseguono con le proposizioni e, proprio per la corrispondenza che esiste fra un
enunciato aperto e il suo dominio, esiste una perfetta corrispondenza fra le
operazioni con i predicati e le operazioni con gli insiemi.
In particolare, se D eÁ l'insieme dominio di due enunciati nella stessa variabile
p …x † e q…x †, P e Q sono i loro insiemi di veritaÁ, si verifica che:
n la negazione di p …x † eÁ l'enunciato aperto p …x †; il suo insieme di veritaÁ eÁ l'in-
LE OPERAZIONI CON
GLI ENUNCIATI APERTI
sieme P, complementare di P rispetto a D (figura 3a);
n la congiunzione eÁ l'enunciato aperto p …x † ^ q…x †; poiche si ottiene una proposizione vera solo per i valori di x che soddisfano contemporaneamente
entrambi i predicati, il suo insieme di veritaÁ eÁ P \ Q, cioeÁ l'intersezione degli insiemi di veritaÁ dei due enunciati (figura 3b);
n la disgiunzione inclusiva eÁ l'enunciato aperto p …x † _ q…x †; poiche si ottiene
una proposizione vera per i valori di x che soddisfano l'uno o l'altro dei due
predicati, il suo insieme di veritaÁ eÁ P [ Q, cioeÁ l'unione degli insiemi di veritaÁ dei due enunciati (figura 3c).
Figura 3
a.
b.
c.
ESEMPI
1. Sia p…x†: «x eÁ un numero pari». Il suo insieme ambiente eÁ l'insieme dei numeri naturali N, ma potrebbe
anche essere l'insieme A ˆ fx 2 N j x < 20g o un qualunque sottoinsieme di N.
Avremo in questo caso che, per esempio, p…2† eÁ vero, p…6† eÁ vero, p…5† eÁ falso, p…17† eÁ falso.
2. Sia p…x, y†: «x ‡ y ˆ 10». Se consideriamo x e y entrambi variabili in N, il dominio eÁ l'insieme N N.
In questo caso avremo che p…3, 5† eÁ falso, p…2, 8† eÁ vero, p…0, 10† eÁ vero, p…5, 8† eÁ falso.
Se pensiamo x e y variabili nell'insieme Q dei numeri razionali l'insieme ambiente saraÁ l'insieme Q Q.
13 27
3 23
2
,
eÁ vero, p
,
eÁ vero, p 7,
eÁ falso.
In questo caso avremo che p
4 4
2 2
9
3. In un insieme di persone del quale fa parte anche Luigi, sia p …x †: «x eÁ amico di Luigi» e q…x †: «x ha la
stessa etaÁ di Luigi»; allora:
l
p …x † ha come insieme di veritaÁ quello formato dalle persone che non sono amiche di Luigi
l
p …x † ^ q…x † ha come insieme di veritaÁ quello formato dai coetanei di Luigi che sono anche suoi amici
l
p …x † ^ q…x † ha come insieme di veritaÁ quello formato dagli amici di Luigi che non hanno la sua etaÁ
l
p …x † _ q…x † ha come insieme di veritaÁ quello formato dalle persone che sono coetanee di Luigi o non
gli sono amiche.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
15
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Completa la tabella inserendo i dati mancanti:
ENUNCIATO APERTO
DOMINIO
INSIEME DI VERITA'
«x eÁ una vocale»
.........................
«x eÁ un multiplo di 3»
.........................
f::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g
f::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g
NN
f::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g
«x ‡ y ˆ 5»
Per quanto riguarda il terzo enunciato devi trovare le coppie di numeri naturali la cui somma eÁ 5, per
esempio …0,5†, …1,4† e cosõÁ via.
2. Dati i predicati p…x† e q…x† entrambi definiti in un insieme D, l'insieme di veritaÁ di p…x† ^ q…x† eÁ:
a. C D …P [ Q†
b. C D …P \ Q†
c. P [ Q
5. I QUANTIFICATORI
Considera le seguenti frasi:
d. P \ Q
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 38
a. «tutti gli uomini sono mortali»
b. «non tutti gli animali hanno le ali»
c. «qualche animale ha le ali»
d. «ogni numero negativo eÁ minore di ogni numero positivo»
e. «esiste almeno un numero positivo»
f. «non tutti i numeri naturali sono pari»
g. «qualche numero naturale eÁ pari».
Di ciascuna di esse possiamo dire se eÁ vera o se eÁ falsa anche senza sapere di
quale uomo si sta parlando, o di quale animale, o di quale numero particolare.
PiuÁ precisamente, quando diciamo «tutti gli uomini sono mortali», esprimiamo
il fatto che ogni elemento x appartenente all'insieme degli uomini ha la proprietaÁ di essere mortale. Quando diciamo «qualche animale ha le ali», esprimiamo il fatto che esiste almeno un elemento x appartenente all'insieme degli
animali che ha la proprietaÁ di avere le ali.
Le due valutazioni sono nettamente diverse: la prima esprime il fatto che una
proprietaÁ eÁ vera per tutti gli elementi x di un insieme U, nessuno escluso; la
seconda ci dice che la proprietaÁ eÁ vera solo per qualche elemento dell'insieme
U, quindi uno solo, due, tre, anche infiniti, ma non eÁ necessario che essa sia
vera per tutti gli elementi dell'insieme.
Ad esempio, ci sono infiniti numeri naturali che rendono vera la proposizione
g., ma non tutti i numeri la verificano.
In matematica si possono esprimere queste due situazioni introducendo dei
simboli detti quantificatori.
n Il quantificatore universale, indicato con il simbolo
8
(si legge «per ogni», «tutti»),
esprime il fatto che una proprietaÁ eÁ vera per tutti gli elementi x di un insieme U.
16
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
n Il quantificatore esistenziale, indicato con il simbolo
9
(si legge «esiste», «c'eÁ qualche», «alcuni»),
esprime il fatto che una proprietaÁ eÁ vera per almeno un elemento x di un
insieme U; garantisce dunque l'esistenza di un tale x.
Proviamo a riscrivere le proposizioni che hai letto all'inizio del paragrafo usando i quantificatori.
Una forma equivalente ai
casi b. e f. eÁ la seguente
che trasforma il simbolo
a. 8 x 2 fuominig, x eÁ mortale
b. non 8 x 2 fanimalig, x ha le ali
c. 9 x 2 fanimalig, x ha le ali
d. 8 x 2 Q
non 8 nel simbolo 9 :
b. 9x 2 fanimalig, x non ha
le ali
^ 8 y 2 Q ‡, x < y
e. 9 x 2 Q, x eÁ positivo
f. non 8 x 2 N, x eÁ pari
f. 9x 2 N, x non eÁ pari.
g. 9 x 2 N, x eÁ pari.
Il simbolo 6 9 esprime la negazione di 9; significa «non esiste», «non c'eÁ alcuno».
Diremo per esempio che:
6 9 x 2 Q, tale che x 2 ˆ 2: «non esiste un x razionale il cui quadrato eÁ 2»
6 9 x 2 fuominig, tale che x eÁ immortale: «non esiste un uomo che sia immortale»
6 9 x 2 N, tale che x ‡ 7 ˆ 2: «non c'eÁ alcun numero naturale x che addizionato a 7 dia come risultato 2».
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. La scrittura in forma simbolica della proposizione «c'eÁ almeno un numero intero che sommato a 15 daÁ 8»
eÁ:
a. 8x 2 Z , x ‡ 8 ˆ 15
b. 9x 2 Z , x ‡ 15 ˆ 8
c. 9x 2 N, x ‡ 15 ˆ 8
d. x 2 N, x ‡ 15 ˆ 8.
2. La scrittura in forma simbolica della proposizione «non tutti i numeri razionali sono positivi» eÁ:
a. non 9x 2 Q, x > 0
b. 8x 2 Q, x 0
c. non 8x 2 Q, x > 0
d. 9x 2 Q, x 0.
6. IL RAGIONAMENTO LOGICO E LA DEDUZIONE
Siamo finalmente nella condizione di poter affrontare il discorso sulla conduzione corretta di un ragionamento, anche se non eÁ certamente possibile essere
esaustivi sull'argomento che comporta conoscenze molto piuÁ ampie di quelle
che abbiamo.
Il problema che vogliamo affrontare eÁ dunque il seguente:
Gli esercizi di questo
paragrafo sono a pag. 39
se sappiamo che alcune proposizioni sono vere e queste costituiscono la premessa di un ragionamento, quali sono le conseguenze logiche che si possono
trarre?
La risposta a questa domanda eÁ data da alcune regole di deduzione.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
17
Figura 4
6.1 La regola di particolarizzazione
Tutti i pesci vivono nell'acqua
premessa vera
quindi Lillo, che eÁ il mio pesce rosso, vive nell'acqua.
conseguenza vera
Questo ragionamento si basa sulla seguente considerazione (figura 4):
se per tutti gli x di un insieme A vale la proprietaÁ p, allora per un particolare
elemento t di A vale p:
8x 2 A, p …x † eÁ V
^ t 2A
ˆ)
p …t † eÁ V.
Il simbolo ˆ) indica la deduzione logica.
Nel caso dell'esempio, A eÁ l'insieme dei pesci, p eÁ la proprietaÁ enunciata dal
predicato "vivere nell'acqua", t eÁ il pesce rosso Lillo.
Notiamo che A eÁ un sottoinsieme dell'insieme di veritaÁ definito da p.
Riferendoci all'esempio, ci sono altri elementi che vivono nell'acqua oltre ai
pesci.
Non fare confusione fra i
simboli:
! eÁ un connettivo che
rappresenta l'implicazione materiale
ˆ) rappresenta la deduzione logica e si applica ad un ragionamento
6.2 Il modus ponens
Se Leo eÁ un gatto allora eÁ un felino.
Ma Leo eÁ un gatto.
Allora eÁ un felino.
Questo ragionamento eÁ formato da due sole proposizioni: a: «Leo eÁ un gatto»
b: «Leo eÁ un felino» e ci dice che:
Il modus ponens si puoÁ rappresentare anche con il seguente schema:
a ! b premessa
a premessa
se eÁ vera l'implicazione a ! b ed eÁ vera la premessa a, allora eÁ vera anche
la conseguenza b.
ÐÐÐÐÐ
b deduzione
La correttezza di questa deduzione eÁ confermata dalla tavola di veritaÁ dell'implicazione che puoi vedere a lato.
Il solo caso in cui a ! b eÁ V e anche a eÁ V eÁ quello che corrisponde alla prima
riga della tabella dalla quale si deduce che anche b deve essere vero.
Si eÁ soliti rappresentare questo tipo di ragionamento con la scrittura
…a ! b † ^ a
ˆ)
b
nella quale si evidenzia che le due proposizioni a ! b e a sono le premesse,
mentre b eÁ la deduzione logica.
a
b
a!b
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Il modus ponens e i teoremi
Un teorema eÁ una proposizione che esprime proprietaÁ generali di oggetti, per
esempio figure geometriche o numeri, quando queste presentano determinate
caratteristiche.
I teoremi si possono sempre scrivere sotto forma di implicazione materiale, dove le proposizioni che costituiscono la premessa si chiamano ipotesi e le proposizioni che rappresentano la conseguenza si chiamano tesi.
Sono per esempio teoremi alcune proprietaÁ che conosci dalla scuola di base:
- se un triangolo eÁ isoscele (ipotesi), allora ha due angoli congruenti (tesi);
18
LA LOGICA
In un teorema, quando un'ipotesi I implica una tesi T , si
dice che:
l
l
I eÁ condizione sufficiente
per T
T eÁ condizione necessaria
per I
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
- se la somma delle cifre di un numero eÁ un multiplo di 3 (ipotesi), allora quel
numero eÁ divisibile per 3 (tesi).
Il sapere che le precedenti due proposizioni sono vere e il sapere che un oggetto particolare rende vera l'ipotesi, permette di affermare che quell'oggetto
rende vera anche la tesi.
Relativamente ai due teoremi precedenti si puoÁ quindi dire per esempio che:
- se in una figura geometrica c'eÁ un particolare triangolo che eÁ isoscele, allora
si puoÁ affermare che quel triangolo ha due angoli congruenti
- il numero 37215, la cui somma delle cifre vale 18, eÁ divisibile per 3.
6.3 Il modus tollens
Se un numero eÁ divisibile per 10, allora eÁ pari
c'eÁ un numero che non eÁ pari
quindi quel numero non eÁ divisibile per 10.
Questo ragionamento eÁ formato da due proposizioni: a: «il numero dato eÁ divisibile per 10», b: «il numero eÁ pari» e ci dice che:
se eÁ vera l'implicazione a ! b ed eÁ vera la proposizione b (cioeÁ b eÁ F), allora
eÁ vera anche la proposizione a (cioeÁ a eÁ F).
La correttezza di questa deduzione eÁ confermata dalla tavola di veritaÁ dell'implicazione che vedi a lato.
Il solo caso in cui a ! b eÁ V e b eÁ F eÁ quello che corrisponde all'ultima riga
della tabella dalla quale si deduce che anche a deve essere falsa.
Si eÁ soliti rappresentare questo tipo di ragionamento con il seguente schema
…a ! b † ^ b
ˆ)
a
nel quale si evidenzia che le due proposizioni a ! b e b sono le premesse,
mentre a eÁ la deduzione logica.
Il modus tollens si puoÁ rappresentare anche con il seguente schema:
a ! b premessa
b premessa
ÐÐÐÐÐ
a deduzione
a
b
a!b
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Il modus tollens e i teoremi
Questo schema di ragionamento eÁ quello che ci permette di dire che se un oggetto non verifica la tesi di un teorema, non puoÁ avere le caratteristiche specificate dall'ipotesi. Riferendoci ancora ai teoremi precedenti:
- se un triangolo non ha due angoli uguali, allora non puoÁ essere isoscele;
- se un numero non eÁ divisibile per 3, allora la somma delle sue cifre non puoÁ
essere un multiplo di 3.
6.4 La deduzione per assurdo
Un ulteriore schema logico fondamentale eÁ il seguente:
se eÁ vera l'implicazione a ! b ed eÁ vera la proposizione b, allora eÁ vera anche la proposizione a.
In simboli:
…a ! b † ^ b
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
ˆ)
a
La deduzione per assurdo si
puoÁ rappresentare con il seguente schema:
a ! b premessa
b premessa
ÐÐÐÐÐ
a deduzione
LA LOGICA
19
La validitaÁ di questo schema puoÁ essere dedotta ancora una volta analizzando
la tavola di veritaÁ dell'implicazione riportata a lato.
Questo tipo di deduzione viene usata nella conduzione delle dimostrazioni di
molti teoremi e avrai occasione di applicarla soprattutto in geometria.
a
b
a!b
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
ESEMPI
1. Se un quadrilatero eÁ un parallelogramma, allora i lati opposti sono congruenti; ABCD eÁ un parallelogramma. Che cosa si puoÁ dedurre?
Se a: «un quadrilatero eÁ un parallelogramma» e b: «il quadrilatero ha i lati opposti congruenti» la premessa si puoÁ scrivere in questo modo: …a ! b† ^ a
Applicando la regola del modus ponens deduciamo che ABCD ha i lati opposti congruenti.
2. Se due rette si intersecano in un punto allora, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni
che non sono congruenti; due rette r e s, tagliate da una trasversale, formano angoli congruenti. Che cosa
si puoÁ dire di r e s?
Proposizione a: «due rette si intersecano in un punto»
Proposizione b: «le rette, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni congruenti»
Premessa: …a ! b † ^ b
Si tratta allora dello schema di deduzione per assurdo; la sola conseguenza che si puoÁ trarre eÁ a, quindi
che le due rette non si intersecano in un punto.
3. Se Maria ha sposato Carlo, allora eÁ ricca; ma Maria non eÁ ricca. Che cosa si puoÁ dedurre?
Se
a: «Maria ha sposato Carlo»
e
b: «Maria eÁ ricca»
lo schema di ragionamento eÁ quello del modus tollens:
…a ! b † ^ b
ˆ) a
Dobbiamo quindi concludere che Maria non ha sposato Carlo.
4. Se Anna ha una laurea in lingue orientali, allora sa parlare in cinese; ma Anna non eÁ laureata in lingue
orientali. Si puoÁ dedurre che Anna non sa parlare in cinese?
Purtroppo questo ragionamento non rientra in nessuno degli schemi che abbiamo studiato e non eÁ possibile fare alcuna deduzione. In effetti Anna potrebbe saper parlare cinese anche senza essere laureata in
lingue orientali, magari perche eÁ cinese o perche ha vissuto in Cina per molti anni; non eÁ peroÁ da escludere che non sappia pronunciare nemmeno una parola di cinese.
APPROFONDIMENTI
IL SILLOGISMO
Si tratta di un tipo di ragionamento che risale al filosofo greco Aristotele (384-322 a.C), che eÁ considerato
il padre della logica classica e le cui conclusioni hanno influenzato per duemila anni lo sviluppo della
filosofia. Lo schema di ragionamento di un sillogismo consta di due affermazioni che si chiamano premesse, dalle quali si deduce una terza affermazione che eÁ la conclusione.
premessa maggiore
premessa minore
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ
conclusione
20
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Il piuÁ famoso sillogismo di Aristotele recita cosõÁ:
Gli uomini sono mortali.
premessa maggiore
Socrate eÁ un uomo,
premessa minore
dunque Socrate eÁ mortale
conclusione
Per verificare la correttezza di questo ragionamento basta applicare la regola
di particolarizzazione: «essere mortali» eÁ il predicato che enuncia la proprietaÁ
p, A eÁ l'insieme degli uomini i cui elementi x soddisfano p, Socrate eÁ l'elemento t che appartiene ad A.
Le premesse e la conclusione di un sillogismo possono essere enunciate in forme diverse; se indichiamo
con p una certa proprietaÁ e con P il suo insieme di veritaÁ, i casi che si possono presentare sono i seguenti.
n Forma universale affermativa
E' del tipo: tutti gli x di un insieme A soddisfano p.
Dal punto di vista insiemistico, questo significa che A P (figura 5a).
n Forma universale negativa
E' del tipo: nessun x di un insieme A soddisfa p.
Dal punto di vista insiemistico, questo significa che A \ P ˆ 1 e che quindi x appartiene al complementare di A rispetto al dominio di p (figura 5b).
n Forma particolare affermativa
E' del tipo: esiste un x di un insieme A che soddisfa p.
Dal punto di vista insiemistico, questo significa che A \ P 6ˆ 1 e che x 2 A \ P (figura 5c).
n Forma particolare negativa
E' del tipo: esiste un x di un insieme A che non soddisfa p.
Dal punto di vista insiemistico, questo significa che A P 6ˆ 1 e che x 2 A
P (figura 5d).
Figura 5
a.
b.
c.
d.
Per verificare la validitaÁ di un sillogismo ci si puoÁ servire delle relazioni insiemistiche evidenziate. Per
esempio, consideriamo il seguente schema:
nessun x eÁ y
tutti gli x sono z
dunque qualche z non eÁ y.
Siano A l'insieme degli x, B l'insieme degli y, C l'insieme degli z. La premessa maggiore ci dice che A e B
sono disgiunti, la premessa minore ci dice che A eÁ un sottoinsieme di C, dobbiamo verificare che qualche
elemento di C non appartiene a B. La cosa eÁ evidente in quanto gli elementi di A sono anche elementi di
C e non appartengono a B (in figura 6 tre situazioni che si possono presentare).
Figura 6
a.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
b.
c.
LA LOGICA
21
Il ragionamento eÁ dunque valido e si puoÁ quindi, per esempio, affermare che:
nessun rombo eÁ inscrittibile in una circonferenza
tutti i rombi sono quadrilateri
dunque qualche quadrilatero non eÁ inscrittibile in una circonferenza.
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Se x eÁ un numero primo e non eÁ 2, allora x eÁ dispari; ma x non eÁ dispari.
In base agli schemi di ragionamento studiati si puoÁ dedurre che:
a. x eÁ un numero primo
b. x non eÁ un numero primo
c. x eÁ pari
d. non si possono fare deduzioni.
2. Sono dati un frillo e un frullo. Considera la premessa: se x eÁun frillo, allora possiede un frullo; x non eÁun
frillo. Che cosa si puoÁ dire di x?
a. che x ha un frullo b. che x non ha un frullo
c. che non si puoÁ sapere se x ha o non ha un frullo.
Nel volume Laboratorio e complementi trovi...
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il laboratorio di informatica con Derive ed Excel
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la scheda di approfondimento sugli sviluppi della logica e la logica fuzzy
I due ragionamenti portati come esempi all'inizio del capitolo rientrano
nello schema di un sillogismo:
Tutti i mammiferi allattano i piccoli
I gatti sono mammiferi
La risposta al
quesito iniziale
I gatti allattano i piccoli.
«Allattare i piccoli» eÁ il predicato che enuncia la proprietaÁ p; A eÁ l'insieme
i cui elementi x soddisfano la proprietaÁ p (insieme dei mammiferi); i gatti
costituiscono un sottoinsieme di A, quindi tutti i suoi elementi t appartengono ad A.
I ragazzi che hanno lo scooter sono felici
Io non ho lo scooter
quindi non sono felice.
«Essere felici» eÁ il predicato che enuncia la proprietaÁ p; nell'ambito dell'insieme R dei ragazzi ci sono quelli che sono felici e quindi soddisfano
p (insieme F) e quelli che non lo sono (il complementare di F rispetto a R);
i ragazzi che hanno lo scooter (insieme S), poiche sono felici, costituiscono un sottoinsieme di F. Si puoÁ ritenere che il ragionamento non sia corretto in quanto il ragazzo in questione, chiamiamolo Luca, puoÁ non appartenere a F e quindi essere infelice (zona verde nella figura), ma puoÁ anche
appartenere all'insieme F S (zona in giallo nella figura) e quindi essere
ugualmente felice.
22
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
I concetti e le regole
Le proposizioni
Una proposizione eÁ una frase di senso compiuto della quale si puoÁ stabilire se eÁ vera o se eÁ falsa.
Le proposizioni obbediscono a due principi fondamentali:
l
Principio di non contraddizione: una proposizione non puoÁ essere contemporaneamente vera e falsa.
l
Principio del terzo escluso: una proposizione eÁ vera oppure falsa, non esistono altre possibilitaÁ.
Le operazioni con le proposizioni
Con le proposizioni si possono eseguire delle operazioni logiche mediante i connettivi:
l
la negazione di un enunciato a eÁ l'enunciato a (o anche : a) che muta il valore di veritaÁ di a
l
la congiunzione fra due enunciati a e b eÁ l'enunciato a ^ b che si considera vero solo se sono veri sia a che b
l
l
l
l
la disgiunzione inclusiva fra due enunciati a e b eÁ l'enunciato a _ b che si considera falso solo se sono falsi sia a
che b
la disgiunzione esclusiva fra due enunciati a e b eÁ l'enunciato a __ b che si considera vero solo se a e b hanno valori
di veritaÁ diversi
l'implicazione materiale fra due enunciati a e b eÁ l'enunciato a ! b che si considera falso solo se a eÁ vero e b eÁ
falso
la coimplicazione materiale fra due enunciati a e b eÁ l'enunciato a $ b che si considera vero solo se a e b hanno lo
stesso valore di veritaÁ.
Le espressioni logiche e l'equivalenza
Con i connettivi si possono costruire espressioni logiche fra enunciati (che sono gli operandi dell'espressione) il cui
valore di veritaÁ si determina analizzando le possibili combinazioni di Vero e Falso degli operandi.
Quando un'espressione logica eÁ sempre vera al variare del valore di veritaÁ dei suoi operandi si parla di tautologia;
quando eÁ sempre falsa si dice che eÁ una contraddizione.
Due espressioni logiche con gli stessi operandi che hanno la stessa tavola di veritaÁ si dicono logicamente equivalenti;
in particolare sono logicamente equivalenti:
l
l'implicazione a ! b e la sua contronominale b ! a
l
le espressioni a ^ b e a _ b
(prima legge di De Morgan)
l
le espressioni a _ b e a ^ b
(seconda legge di De Morgan)
I predicati e gli enunciati aperti
Un predicato eÁ la proprietaÁ che esprime una caratteristica relativa ad alcuni elementi di un insieme.
Quando un predicato lega fra loro degli argomenti alcuni dei quali sono delle variabili, si parla di enunciato aperto o
proposizione aperta.
L'insieme dei valori che possono assumere le variabili costituisce il dominio della proposizione aperta; il sottoinsieme
del dominio che rende l'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaÁ.
Anche con gli enunciati aperti si possono eseguire le stesse operazioni che si eseguono con le proposizioni; in particolare, indicati con la stessa lettera (maiuscola) del proprio enunciato gli insiemi di veritaÁ e con D il dominio, si ha che:
l
l'insieme di veritaÁ della negazione di un enunciato p …x † eÁ l'insieme P complementare di P rispetto a D
l
l'insieme di veritaÁ della congiunzione p…x † ^ q…x † di due enunciati eÁ l'insieme P \ Q
l
l'insieme di veritaÁ della disgiunzione inclusiva p…x † _ q…x † di due enunciati eÁ l'insieme P [ Q.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
23
I quantificatori
Un enunciato aperto esprime spesso una proprietaÁ che alcuni o tutti gli elementi di un insieme possiedono; per esprimere queste proprietaÁ si usano allora i quantificatori:
l
l
il quantificatore universale, indicato dal simbolo 8 seguito dal nome della o delle variabili coinvolte, esprime che
una proprietaÁ p eÁ vera per tutti i valori che le variabili possono assumere
il quantificatore esistenziale, indicato dal simbolo 9 seguito dal nome della o delle variabili coinvolte, esprime che
una proprietaÁ p eÁ vera per almeno uno dei valori che la variabile puoÁ assumere.
Per indicare che una proprietaÁ p non eÁ verificata da nessuno dei valori della variabile si usa la negazione di questo
quantificatore: 6 9x.
Il ragionamento logico
Esistono alcune regole che consentono di trarre deduzioni vere da premesse vere:
l
la regola di particolarizzazione che si puoÁ sintetizzare nel seguente schema:
8x 2 A, p…x † eÁ V ^ t 2 A
l
il modus ponens che si puoÁ sintetizzare nel seguente schema:
l
il modus tollens che si puoÁ sintetizzare nel seguente schema:
l
24
…a ! b † ^ a
ˆ)
p …t † eÁ V
ˆ) b
…a ! b † ^ b ˆ) a
la deduzione per assurdo che si puoÁ sintetizzare nel seguente schema: a ! b ^ b ˆ) a.
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
La logica
LE PROPOSIZIONI
la teoria eÁ a pag. 2
RICORDA
l
l
Á dire se e
Á vera (V) o se e
Á
Si chiama proposizione o enunciato una frase di senso compiuto della quale si puo
falsa (F).
Le proposizioni devono soddisfare i seguenti principi:
Á essere contemporaneamente vera e falsa.
Principio di non contraddizione: una proposizione non puo
Á vera oppure falsa, non esistono altre possibilita
Á.
Principio del terzo escluso: una proposizione e
Comprensione della teoria
1 «VerroÁ a casa tua domani» e «Egli mi disse: "verroÁ a casa tua domani"» sono entrambe proposizioni? PercheÂ?
2 Durante un interrogatorio, il testimone oculare di un efferato delitto rivela al commissario Indagoni:
«Ho visto e non ho visto.»
Il commissario si gira verso l'attendente e commenta:
«Metti a verbale che il testimone non eÁ attendibile.»
Come si giustifica la reazione di Indagoni?
Applicazione
3 Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni:
a. « 1 eÁ minore di 1 ».
3
2
b. «Quando sarai interrogato?».
c. «Dante ha scritto I Promessi Sposi».
d. «Il gatto eÁ un mammifero».
e. «Le galline sono animali da cortile».
f. «Svegliatemi presto domani».
g. «Ragioniamo con calma».
h. «Gli extraterrestri esistono».
i. «Gli angeli sono di sesso maschile».
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
SI NO
4 Individua il predicato e gli argomenti delle seguenti proposizioni e determina poi il loro valore di veritaÁ.
a. «I cani abbaiano».
b. «Caino eÁ il fratello di Abele».
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
V
F
V
F
25
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
«90 eÁ un numero primo».
«3 eÁ un numero dispari».
«Il gatto mangia il topo».
«a, b, ..., z sono lettere dell'alfabeto italiano».
«Un insieme non vuoto ha almeno un elemento».
«3 eÁ maggiore di 8».
«4 ‡ 8 6ˆ 3 ‡ 5».
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
5 Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni e di esse individua il predicato e gli argomenti:
a. «7 eÁ un numero intero»
b. «Gli italiani pagano le tasse».
c. «142 > 56».
d. «Chiara e Andrea si sposano domani».
e. «Il coro ha cantato molto bene».
f. «Sandokan eÁ un personaggio de I Promessi Sposi».
6 Dopo aver stabilito quali delle seguenti frasi sono proposizioni, individua il predicato e gli argomenti e
determinane il valore di veritaÁ.
a. «Nel compito di matematica ho preso 6».
b. «Il libro che mi hai dato eÁ bellissimo».
c. «Mia sorella si chiama Lucia».
d. «I libri di matematica sono interessanti».
e. «13 8 ˆ 100».
f. «3 eÁ positivo».
g. «Spegni la televisione quando esci».
7 Individua fra le proposizioni che seguono quelle atomiche e quelle molecolari. Di queste ultime, stabilisci da quali proposizioni atomiche sono composte.
a. «Piove e fa freddo».
b. «Se 3 > 2, anche 6 > 4».
c. «Il treno parte».
d. «Sono arrivato tardi e non ho potuto entrare».
e. «7 > 10 e 8 > 4 ma 5 < 9».
f. «3 ‡ 2 ˆ 5 ma 3 ‡ 7 6ˆ 5».
g. «L'inverno eÁ piuÁ freddo dell'estate».
h. «Agata Christie eÁ una scrittrice di libri gialli».
i. «Questa sera alla televisione c'eÁ un film di fantascienza».
l. «Gli uccelli eÁ un famoso film di Hitchcock che ha vinto molti premi».
m. «Se nell'emisfero nord eÁ inverno, in quello sud eÁ estate».
LE OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI
la teoria eÁ a pag. 4
RICORDA
Le operazioni logiche fondamentali che si possono eseguire sulle proposizioni sono:
l
l
l
Á ; si indica con
la negazione che opera su una sola proposizione a e ne cambia il valore di verita
a
Á V solo se entrambe le proposizioni sono V; si
la congiunzione che opera su due proposizioni a e b ed e
indica con a ^ b
Á V solo se almeno una delle proposizioni
la disgiunzione inclusiva che opera su due proposizioni a e b ed e
Á V; si indica con a _ b
e
Le altre operazioni introdotte rappresentano un modo abbreviato di comporre le precedenti e sono:
l
l
l
Á V solo se una delle proposizioni e
Á Ve
la disgiunzione esclusiva che opera su due proposizioni a e b ed e
Á F; si indica con a __ b
l'altra e
Á F solo se la prima proposizione e
Á V e la seconda e
Á
l'implicazione che opera su due proposizioni a e b ed e
F; si indica con a ! b
Á V se le due proposizioni hanno lo stesso valore
la coimplicazione che opera su due proposizioni a e b ed e
Á ; si indica con a $ b
di verita
26
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Comprensione della teoria
8 Stabilisci quali fra le seguenti proposizioni sono corrette.
a. Una tavola di veritaÁ visualizza i risultati di un'operazione logica.
b. Una tavola di veritaÁ eÁ una tabella nella quale sono riportati i valori veri di una proposizione.
c. Il valore di veritaÁ di una proposizione molecolare si determina analizzando i valori di veritaÁ delle proposizioni atomiche che la compongono.
d. Se una proposizione eÁ vera, in qualche caso particolare puoÁ anche essere falsa.
9 Si puoÁ dire che la negazione della proposizione «il gatto di Anna eÁ nero» eÁ «il gatto di Anna eÁ bianco»?
Motiva la tua risposta.
10 La
a.
b.
c.
d.
negazione della proposizione «In Lombardia la nebbia eÁ sempre fitta» eÁ:
«In Lombardia la nebbia eÁ quasi sempre leggera»
«In Lombardia non c'eÁ mai nebbia fitta»
«In Lombardia la nebbia non eÁ sempre fitta»
«In Lombardia qualche volta non c'eÁ nebbia».
11 Componendo con un connettivo due proposizioni a e b si ottiene una terza proposizione c. Barra le caselle giuste scegliendo fra quelle elencate l'operazione logica che soddisfa le richieste.
_ ^ __ !
a. rende c vera solo se a e b sono entrambe vere
_ ^ __ !
b. rende c falsa solo se a e b sono entrambe false
_ ^ __ !
c. rende c falsa solo se a eÁ vera e b eÁ falsa
_ ^ __ !
d. rende c vera solo se a e b hanno valori di veritaÁ diversi
_ ^ __ !
e. rende c vera se almeno una delle proposizioni a e b eÁ vera.
12 Nella disgiunzione esclusiva a __ b, si sa che b eÁ vera; allora a __ b eÁ vera:
a. solo se a eÁ vera
b. solo se a eÁ falsa
c. qualunque sia il valore di veritaÁ di a
d. mai
13 Nell'implicazione a ! b, si sa che b eÁ vera; allora a ! b eÁ vera:
a. solo se a eÁ vera
b. solo se a eÁ falsa
c. qualunque sia il valore di veritaÁ di a
d. mai
14 Nella coimplicazione a $ b, si sa che b eÁ falsa; allora a $ b eÁ vera:
a. solo se a eÁ vera
b. solo se a eÁ falsa
c. qualunque sia il valore di veritaÁ di a
d. mai
15 Si sa che a ! b eÁ una proposizione vera e che b eÁ falsa; della proposizione b ! a si puoÁ dire che:
a. eÁ vera
b. eÁ falsa
c. non si puoÁ sapere se eÁ vera o falsa
Applicazione
La negazione
16
ESERCIZIO GUIDA
Scriviamo la negazione delle seguenti proposizioni.
a: «Il romanzo che sto leggendo ha 243 pagine»
b: «Il canarino eÁ nella gabbia»
c: «10 ‡ 5 eÁ maggiore di 3»
d: «
1 Á
e minore di 1»
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
27
Ricordiamo che la negazione di una proposizione si esegue negando la forma verbale o anteponendo
la locuzione "non eÁ vero che" alla proposizione; quindi:
la negazione della proposizione a eÁ
a: «Il romanzo che sto leggendo non ha 243 pagine»
la negazione della proposizione b eÁ
b: «Il canarino non eÁ nella gabbia»
la negazione della proposizione c eÁ
c: «10 ‡ 5 non eÁ maggiore di 3»
la negazione della proposizione d eÁ
d: «
1
non eÁ minore di 1».
2
17 Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni e indica il loro valore di veritaÁ.
a: «7 eÁ un numero primo»
b: «Un rettangolo ha quattro angoli retti»
c: «2 ‡ 3 ˆ 7»
d: «la Terra eÁ un pianeta del sistema solare»
18 Quali significati puoÁ avere la proposizione: «non eÁ vero che non ho studiato nessuna pagina del capitolo
di storia»?
a. Che ho studiato alcune pagine del capitolo.
b. Che ho studiato tutte le pagine del capitolo.
c. Che non ho studiato nessuna pagina del capitolo.
19 Considera la seguente proposizione p: «Maria e Franco verranno entrambi alla tua festa domani». Costruisci p. Supponi che p sia vera; quale dei seguenti casi puoÁ essere vero?
a. «Maria verraÁ da sola alla festa».
b. «Franco verraÁ da solo alla festa».
c. «Ne Maria ne Franco verranno alla festa».
d. «Maria e Franco verranno insieme alla festa».
La congiunzione e la disgiunzione
20
ESERCIZIO GUIDA
Consideriamo le seguenti proposizioni:
a: «Luca ha comprato un iPod nano»
b: «Marco possiede un cellulare di ultima generazione»
Costruiamo le proposizioni a _ b, a __ b e a ^ b e stabiliamo in quali casi esse sono vere.
n
a _ b : «Luca ha comprato un iPod nano oppure Marco possiede un cellulare di ultima generazione»
La tavola di veritaÁ della disgiunzione inclusiva ci dice che affinche a _ b sia V almeno una delle
due proposizioni deve essere V; quindi potrebbe essere che:
Luca abbia un iPod e Marco abbia un cellulare
Luca abbia un iPod e Marco non abbia un cellulare
Luca non abbia un iPod e Marco abbia un cellulare.
Non puoÁ capitare che Luca non abbia un iPod e Marco non abbia un cellulare.
n
a __ b «o Luca ha comprato un iPod nano oppure Marco possiede un cellulare di ultima generazione»
La tavola di veritaÁ della disgiunzione esclusiva ci dice che affinche a __ b sia V una sola delle due
proposizioni deve essere V; quindi potrebbe essere che:
28
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Luca abbia un iPod e Marco non abbia un cellulare
Luca non abbia un iPod e Marco abbia un cellulare.
Non puoÁ capitare che Luca non abbia un iPod e Marco non abbia un cellulare o che entrambi
abbiano l'oggetto dichiarato.
n
a ^ b : «Luca ha comprato un iPod nano e Marco possiede un cellulare di ultima generazione»
La tavola di veritaÁ della congiunzione ci dice che affinche a ^ b sia V entrambe le proposizioni
devono essere V; il solo caso che puoÁ capitare eÁ quindi che:
Luca abbia un iPod e Marco abbia un cellulare.
21 Considera le proposizioni a: «Anna ha 15 anni» e b: «Flavia e Anna sono amiche». In quali casi a ^ b eÁ
vero? In quali eÁ falso?
22 Date le proposizioni a: «3 eÁ un numero dispari» e b: «3 eÁ un numero primo» com'eÁ a ^ b ? E a ^ b ?
23 Considera le proposizioni a e b dei due esercizi precedenti, costruisci le proposizioni a _ b e determina il
loro valore di veritaÁ.
24 Considera le proposizioni a: «Francesca eÁ abbronzata» e b: «Maria ha i capelli lunghi», e supponi che
siano entrambe vere. Scrivi in simboli le seguenti proposizioni e determinane il valore di veritaÁ:
a. «Francesca eÁ abbronzata e Maria non ha i capelli lunghi».
b. «Francesca eÁ abbronzata e Maria ha i capelli lunghi».
c. «Francesca non eÁ abbronzata e Maria ha i capelli lunghi».
d. «Francesca non eÁ abbronzata e Maria non ha i capelli lunghi».
25 Date le proposizioni a: «18 eÁ multiplo di 2», b: «18 eÁ multiplo di 3» e c: «18 eÁ multiplo di 8» esprimi a
parole le seguenti proposizioni e determinane il valore di veritaÁ:
a. a ^ b
b. b _ c
c. a ^ c
d. b _ c.
26 Date le seguenti proposizioni atomiche a: «Marta va al cinema», b: «Giovanni va a scuola», c: «Carlo va
al mare», e supponendo che a sia V, b sia F e c sia V, esprimi a parole le seguenti proposizioni molecolari e determina il loro valore di veritaÁ:
a. a
b. a ^ b
c. b _ c
d. b ^ c
e. a ^ b
f. a ^ c
g. b _ c
27 Siano a: «sto navigando in Internet» (V), b: «sto scrivendo un sms con un cellulare» (F), c: «sto dormendo» (F). Esprimi a parole le seguenti proposizioni e determinane il valore di veritaÁ:
a. a __ b
b. b ^ c
c. a ^ b
d. …a _ b† ^ c.
28 Considera p: «Vado in auto» e q: «Vado in treno». Quando p __ q eÁ falsa? Quando eÁ vera?
29 Considera p: «Studio» e q: «Guardo la televisione». Supponi che p __ q sia vera. Che cosa si puoÁ dire di p
e q?
30 Date le proposizioni:
a: «Mario ha gli occhi verdi»
(V)
b: «Mario ha i capelli rossi»
(V)
scrivi in forma simbolica le seguenti proposizioni e determinane il valore di veritaÁ:
a. «Mario ha gli occhi verdi e i capelli rossi».
b. «Mario non ha gli occhi verdi ma ha i capelli rossi».
c. «Non eÁ vero che Mario ha gli occhi verdi e i capelli rossi».
d. «O Mario ha gli occhi verdi o non eÁ vero che ha i capelli rossi».
e. «Mario ha gli occhi verdi ma non ha i capelli rossi».
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
29
L'implicazione e la coimplicazione
31
ESERCIZIO GUIDA
Consideriamo la seguente proposizione:
«Se scrivi una lettera ad Angela, salutamela tanto»
Individuiamo le proposizioni atomiche che la compongono e riscriviamola in forma simbolica.
Poiche ci sono due forme verbali, due sono anche le proposizioni atomiche:
L'operazione logica utilizza la particella se, si tratta quindi di una implicazione che, in forma simbolica, possiamo scrivere: a ! b.
32 Date le seguenti proposizioni a: «9 eÁ multiplo di 3» e b: «12 eÁ un numero pari» esprimi a parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritaÁ:
a. a ! b
b. a ! b
c. a ! b
d. a ! b
e. a $ b
33 Siano a: «Titti eÁ un canarino giallo», b: «Silvestro eÁ un gatto nero», c: «Silvestro vuole mangiare Titti»,
esprimi a parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritaÁ supponendo che le tre proposizioni date siano vere:
a. a ! c
b. …a ^ b† ! c
c. a ! b
d. c $ b
e. …a ^ b † ! c
34 Date le proposizioni tutte vere a: «gioco», b: «mi diverto», c: «studio», d: «imparo», esprimi a parole le
seguenti proposizioni e determinane il valore di veritaÁ:
a. a ^ d
b. c ! d
c. c ! a
d. a __ c
e. …c ^ b † ! d
35
ESERCIZIO GUIDA
Anna afferma: "Se 1 ‡ 1 ˆ 2 allora io sono una strega". Anna eÁ o non eÁ una strega?
Siano a: «1 ‡ 1 ˆ 2» e b: «io sono una strega»
La proposizione a eÁ V e se Anna fa questa affermazione eÁ convinta che sia vera; allora b, in base alla
tavola di veritaÁ dell'implicazione deve essere vera. Quindi Anna eÁ una strega.
a
b
a!b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
36 Un politico afferma: "Se tutti fossero onesti e pagassero le tasse, si potrebbero ridurre le aliquote". Supposto che sia falso che tutti i cittadini sono onesti e pagano le tasse, che cosa si puoÁ dire della frase del
politico?
37 Paperino dice allo zio Paperone: "Se mi presti il tuo cent portafortuna, anch'io diventeroÁ ricco". Conoscendo lo zio Paperone, Paperino non avraÁ mai la moneta portafortuna. E' possibile che Paperino diventi ricco?
38 Pippo dice al suo cane Pluto: "Smetti di abbaiare o ti faccio scendere dalla macchina". Se Pluto non smette di abbaiare che cosa faraÁ Pippo?
30
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
39 Quando Angelo era piccolo diceva sempre «Se da grande diventeroÁ molto alto, faroÁ il corazziere». Oggi
Angelo fa l'avvocato. Che cosa si puoÁ dire della sua statura?
ESPRESSIONI LOGICHE ED EQUIVALENZE
la teoria eÁ a pag. 8
RICORDA
l
l
l
l
Á per questo
Componendo piuÁ proposizioni si ottiene qualcosa di simile alle espressioni con i numeri ed e
Á di un'espressione logica si deve costruire
che si parla di espressioni logiche; per valutare il valore di verita
Á analizzando tutti i casi possibili.
la sua tavola di verita
Á delle proposizioni che la comLe espressioni logiche che sono sempre vere qualunque sia il valore di verita
Á quindi una verita
Á assoluta.
pongono si dicono tautologie; una tautologia e
Á delle proposizioni che la comLe espressioni logiche che sono sempre false qualunque sia il valore di verita
Á quindi una falsita
Á assoluta.
pongono si dicono contraddizioni; una contraddizione e
Due espressioni logiche formalmente diverse tra loro che operano sulle stesse proposizioni e che hanno la
Á rappresentano dal punto di vista logico la stessa cosa e di esse si dice che sono
stessa tavola di verita
equivalenti. Fra le regole di equivalenza ricordiamo:
- a __ b ˆ …a _ b † ^ …a _ b †
a !b ˆa_b
a $ b ˆ …a _ b † ^ …a _ b †
- le due leggi di De Morgan:
a^b ˆa_b
a_b ˆa^b
Comprensione della teoria
40 Di un'espressione logica si sa che coinvolge 4 proposizioni e che la prima di esse eÁ vera. I casi da rappresentare nella tavola di veritaÁ sono:
a. 16
b. 4
c. 8
d. non eÁ possibile determinarlo
41 Di un'espressione logica che coinvolge 3 proposizioni si sa che una eÁ vera e un'altra eÁ falsa mentre non
si sa nulla della terza. Quanti sono i casi che si devono predisporre nella tavola di veritaÁ?
a. 1
b. 2
c. 8
d. non eÁ possibile determinarlo
42 In base alle proprietaÁ delle operazioni logiche l'espressione a _ b eÁ logicamente equivalente a:
a. a ^ b
b. a ^ b
c. a _ b
43 In base alle proprietaÁ delle operazioni logiche l'espressione a ^ b eÁ logicamente equivalente a:
a. a _ b
b. a ^ b
c. a _ b
44 Scegli fra le seguenti proposizioni quelle che sono logicamente equivalenti a a ! b :
a. a ! b
b. b ! a
c. b ! a
d. a _ b
Applicazione
45
ESERCIZIO GUIDA
Date le proposizioni a: «7 eÁ un numero primo», b: «7 eÁ dispari», c: «7 < 7» e d: «7 eÁ maggiore di
qualsiasi numero negativo», scrivi per esteso le seguenti proposizioni composte e determinane il valore di veritaÁ.
a. …a ^ d † ! c
b. b _ a ^ c
c. …a ^ b† ! …c __ d †
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
31
a. La proposizione si enuncia in questo modo: «se 7 eÁ un numero primo ed eÁ dispari, allora 7 non eÁ
minore di 7». Per valutare il suo valore di veritaÁ, costruiamo una tabella con una sola riga nella
quale riportare il valore di veritaÁ di ogni proposizione e quello dell'espressione richiesta:
a
V
c
F
d
V
a^d
V
c
V
…a ^ d † ! c
V
L'espressione considerata eÁ quindi vera.
Prosegui allo stesso modo per gli altri casi.
46 Date le proposizioni:
a: «8 eÁ multiplo di 2»
c: «12 eÁ pari»
e: «12 > 8»
b: «12 eÁ multiplo di 8»
d: «8 eÁ dispari»
f: «12 < 2»
scrivi per esteso le seguenti proposizioni composte e determinane il valore di veritaÁ:
a. a ! d
b. a ^ … b _ d †
c. …e ^ c† ! f
f. …a ^ b† ! e
d. c ! b
e. d ! a
Dati gli enunciati a e b, costruisci la tavola di veritaÁ delle seguenti espressioni logiche.
47
ESERCIZIO GUIDA
…a ! b† ^ …a ^ b †
a
b
…a ! b†
b
…a ^ b †
…a ! b† ^ …a ^ b †
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
48 …a _ b† ^ …a ^ b †
49 …a ! b † _ …a ! b †
50 …a _ b† ! a
51 …a _ b† ^ …a _ b †
52 …a ^ b† ! …a _ b †
53 …a ^ b† $ …a _ b †
54 …a __ b † $ …a ^ b†
55 a $ b _ b
Dati gli enunciati a, b, c, costruisci la tavola di veritaÁdelle seguenti espressioni logiche.
56 …a _ b † ! …c ^ b†
57 …a ! b† _ …c ! b †
58 …a ^ b† _ …b ! c† ^ a
59 …a ^ b† ! …a _ c †
60 …a ! b† $ …a $ c †
61 b ! ‰…a $ b† ^ c Š
h
i
63 a _ …b ^ c † ! a
62 a ! …b ^ c† _ … b _ a†
Determina il valore di veritaÁdei seguenti enunciati supponendo noto il valore di veritaÁdi alcuni di essi,
come indicato in ogni esercizio.
64 …a _ b† ! …c ^ b †
32
LA LOGICA
sapendo che
a
eÁ V
c
eÁ F
‰VŠ
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
65 …b ! c _ a ! d † ^ a
sapendo che
b
eÁ F
d
eÁ F
‰quello di aŠ
66 ‰a ^ …b _ c †Š ! …b ^ d †
sapendo che
b
eÁ V
c
eÁ V
‰F se a eFed e FŠ
67 …a _ b _ c † ^ …b ! a†
sapendo che
a
eÁ F
b
eÁ V
‰FŠ
Date le proposizioni a: «nevica», b: «piove» e c: «esco», scrivi per esteso le seguenti espressioni logiche,
costruisci le rispettive tavole di veritaÁe stabilisci in quali casi esse sono vere.
68 …a _ b† ! c
69 …a _ b† ^ c
70 a ! …b ^ c †
71 …a _ c † ! b
Dati gli enunciati a, b, c costruisci la tavola di veritaÁdelle seguenti espressioni logiche e stabilisci quali
fra essi sono delle tautologie e quali delle contraddizioni.
72 a. …a ^ a† ! a
b. …a ^ b† $ …a _ b †
73 a. …a $ b † $ …b ! a†
74 a. …a $ b † ^ …b ! a† ^ b
b. …a ! b† _ …b ! a†
[ne T, ne C; T]
b. …a _ b† ! …a ^ b†
[C; ne T, ne C]
75 a. ‰…a ! b † ^ aŠ ! b
76 a. …a ! b † ^ b ! a
b. …a ^ b† ^ …a ^ b†
[T; C]
b. ‰…a _ b † ^ aŠ $ ‰…a ^ b† _ aŠ
[T; T]
[T; C]
Verifica che gli enunciati degli esercizi che seguono sono logicamente equivalenti costruendo la loro
tavola di veritaÁ.
77 …a ! b† ^ a;
…a _ b † ^ a
78 a _ …a ^ b †;
a_b
79 a ^ b;
…a _ b†
80 a _ b;
…a ^ b†
Applicando le proprietaÁdelle operazioni logiche, in particolare le leggi di De Morgan, verifica l'equivalenza delle seguenti coppie di espressioni.
81
ESERCIZIO GUIDA
…a ^ b † ^ c
…a _ b † _ c
Consideriamo la seconda espressione logica e applichiamo le leggi di De Morgan:
…a _ b † _ c ˆ …a _ b † ^ c
Riapplichiamo la stessa legge alla prima negazione:
…a _ b † ^ c ˆ …a ^ b † ^ c
Poiche abbiamo ottenuto la prima espressione, possiamo concludere che le proposizioni date sono
logicamente equivalenti.
82 …a _ b† _ …a ^ b †;
…a ^ b † ^ …a _ b †
83 …a _ b† ^ …a ! b†;
…a ^ b† _ …a ! b†
84 …a _ b† ^ …a _ c †;
…a ^ b † _ …a ^ c†
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
33
Costruisci le contronominali delle seguenti proposizioni.
85
ESERCIZIO GUIDA
Se conoscessi la musica potrei scrivere delle canzoni.
Ricordiamo che, data l'implicazione
a!b
la sua contronominale eÁ b ! a.
Le due proposizioni a e b sono rispettivamente:
a: «conosco la musica»
b: «posso scrivere canzoni»
quindi la contronominale eÁ: se non posso scrivere canzoni, allora non conosco la musica.
86 Se Maria le scrivesse una lettera, Marta sarebbe felice.
87 Se i numeri fossero tutti positivi, le temperature non scenderebbero sotto lo zero.
88 Se l'aereo ritarda perderemo la coincidenza.
89 Se il regalo non ti piace allora lo cambiamo.
90 Se Luigi non andasse a scuola non potrebbe prendere il diploma.
91 Se sapessi sciare comprerei gli sci.
92 Se avessi una sorella o un fratello, non sarei figlio unico.
LA LOGICA DEI PREDICATI
la teoria eÁ a pag. 13
RICORDA
l
l
Á costituito da un predicato che ha come argomenti una o piuÁ variabili. Il suo insieme
Un enunciato aperto e
Á e
Á l'insieme dei valori che lo fanno diventare una proposizione vera.
di verita
Tenendo presenti le regole di composizione dei predicati con i connettivi, si possono determinare facilÁ di enunciati aperti composti:
mente gli insiemi di verita
Á P, complementare dell'insieme P
- p …x † ha come insieme di verita
Á P \Q
- p …x † ^ q …x † ha come insieme di verita
Á P [ Q.
- p …x † _ q …x † ha come insieme di verita
Comprensione della teoria
93 Individua fra le seguenti le proposizioni aperte:
a. «a, e, i, o, u sono vocali».
b. «2x ‡ y ˆ 6».
c. «x eÁ un numero intero».
d. «3 > x».
e. «y eÁ un'auto di marca straniera».
f. «x eÁ primo con y».
g. «7 ‡ 3 ˆ 10».
h. «36 eÁ multiplo di 3».
i. «x ‡ 1 ˆ 5».
l. «x eÁ il complementare dell'angolo y».
94 Di un enunciato aperto p …x † si sa che ha come dominio A e come insieme di veritaÁ B. L'insieme di veritaÁ
di p …x † eÁ:
a. C A B
b. B
A
c. A
95 Due enunciati aperti p …x † e q…x † hanno come insiemi di veritaÁ A e B. L'insieme di veritaÁ di:
a. p …x † _ q…x † eÁ:
34
LA LOGICA
¬ A\B
­ A[B
® A
B
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
b. p …x † ^ q…x † eÁ:
¬ A\B
­ A[B
® B
c. p …x † _ q…x † eÁ:
¬ A\B
­ A[B
® A[B
A
Applicazione
96 Completa la tabella come eÁ indicato nell'esempio.
x eÁ minore di 10
Predicato
Argomenti
N. Variabili
Dominio
essere minore
x, 10
1
N (o Z, Q)
a eÁ maggiore di b
Maria eÁ alta come y
x eÁ amico di y
a
3
La frazione eÁ equivalente alla frazione
b
4
m eÁ la media tra a e b
x eÁ fratello di y
a‡b‡c ˆ8
x y ˆ 10
x eÁ multiplo di 5
x eÁ un divisore di y
Nelle proposizioni aperte degli esercizi che seguono, calcola il valore di veritaÁdi quanto richiesto.
97 p…x†: «x eÁ divisore di 20»,
98 p…x†: «2 < x < 5»,
99 p…x†: «x eÁ minore di 10»,
100 p…x, y†: «x
y ˆ 3»,
101 p…x, y†: «x ‡ y 2 ˆ 10»,
calcola p…3†, p…7†, p…10†, p…5†, p…20†.
3
8
11
calcola p…1†, p
,p
,p
.
2
3
2
calcola p…6†, p…10†, p…43†.
calcola p…1, 1†, p…5, 2†, p…2, 5†, p… 7,
calcola p…3,
10†.
2†, p…6, 2†, p…9, 1†, p…3, 3†, p… 15, 5†, p…1,
3†.
102 p…a, b, c†: «a ‡ b c > 10», calcola p…0, 2, 3†, p…1, 5, 2†, p…3, 3, 3†, p…8, 0, 65†.
103 p…x, y, z†: «x ‡ y ˆ 2z»,
calcola p…1, 2, 3†, p…7,
p… 2, 8, 5†.
3, 2†, p…1, 5, 3†, p…2,
104 p…x, y, z†: «2x
calcola p…3,
1,
y z»,
1, 2†, p…0,
1†, p 0, 1,
4, 1†, p…8,
1
, p…1,
2
5, 3†,
1, 1†, p…6, 0, 8†.
Determina, rappresentandolo nel modo che ritieni piuÁopportuno, l'insieme di veritaÁdelle seguenti proposizioni aperte considerando come dominio l'insieme D segnato a fianco.
105 p…a†: «Fissata una retta r in un piano , a eÁ parallela a r»,
in D ˆ frette di un piano }.
106 p…x†: «x eÁ un numero primo»,
in D ˆ fx 2 N j x 100g.
107 p…x†: «x eÁ un multiplo di 3»,
in D ˆ fx 2 N j 10 x 20g.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
‰P ˆ f12, 15, 18gŠ
LA LOGICA
35
108 p…x, y†: «x eÁ minore di y»,
in D ˆ f…x, y† 2 N N j x 3 ^ y 4g.
‰P ˆ f…0, 1†, …0, 2†, …0, 3†, …0, 4†, …1, 2†, …1, 3†, …1, 4†, …2, 3†, …2, 4†, …3, 4†gŠ
109
ESERCIZIO GUIDA
p…x, y†: «y ˆ 4
x»,
in D ˆ f…x, y† 2 Z Z j
5 x 3 ^ 0 y 6g
Costruisci una tabella in cui calcolare il valore assunto da y in corrispondenza dei valori assunti da x
che appartengono a D.
x
y
5
4
9
3
8
7
2
6
1
0
1
2
3
5
Dopo aver completato la tabella, osserva che la coppia … 5, 9† non appartiene a D, mentre ad esempio la … 2, 6† appartiene a D. L'insieme di veritaÁ di p…x, y† eÁ dunque...
‰P ˆ f… 2, 6†, … 1, 5†, …0, 4†, …1, 3†, …2, 2†, …3, 1†gŠ
110 p…x, y†: «x y ˆ 30»,
in D ˆ f…x, y† 2 Z Z j
‰P ˆ f… 10,
111 p…x, y†: «y ˆ x ‡ 2»,
10 x 10 ^ 5 y 15g
3†, …10, 3†, …6, 5†, … 6,
in D ˆ f…x, y† 2 Z Z j
5†, …2, 15†, …5, 6†, …3, 10†gŠ
5 x 8 ^ 0 y 10g
‰P ˆ f… 2,0†, … 1,1†, …0, 2†, …1, 3†, …2, 4†, …3, 5†, …4, 6†, …5, 7†, …6, 8†, …7, 9†, …8, 10†gŠ
112 p…x, y†: «y ˆ 2x
3»,
in D ˆ f…x, y† 2 N N j x 6 ^ y 15g
‰P ˆ f…2, 1†, …3, 3†, …4, 5†, …5, 7†, …6, 9†gŠ
113 p…x, y†: «y ‡ x ˆ 3»,
in D ˆ f…x, y† 2 Z Z j
(Suggerimento: riscrivi la proposizione nella forma y ˆ 3
114 p…x, y†: «y
3x ˆ 0»,
x)
in D ˆ f…x, y† 2 Z Z j
P ˆ … 2,
115 p…a, b†: «a ‡ b < 3»,
3x 1^
2 y 3g
‰P ˆ f0, 3†, …1, 2†gŠ
5x <3^y 6†, … 1,
7g
3†, …0, 0†, …1, 3†, …2, 6†
in D ˆ f…a, b† 2 N N j a 7 ^ b 2g
‰P ˆ f…0, 0†, …0, 1†, …0, 2†, …1, 0†, …1, 1†, …2, 0†gŠ
116 Nei seguenti diagrammi sono dati il dominio e l'insieme di veritaÁ P di un enunciato aperto p …x †; trova un
possibile p …x †.
b.
a.
117
c.
ESERCIZIO GUIDA
Date le proposizioni p…x†: «x eÁ multiplo di 3» e q…x†: «x eÁ pari» entrambe di dominio N determina
l'insieme di veritaÁ di p…x† ^ q…x† e di p…x† _ q…x†.
Indichiamo con P l'insieme di veritaÁ di p …x † e con Q quello di q…x † :
P ˆ f0, 3, 6, 9, 12, :::::::::::::g
36
LA LOGICA
Q ˆ f0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ::::::::::::::g
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Poiche i due insiemi hanno una intersezione non vuota, il diagramma di Eulero-Venn corrispondente
eÁ il seguente
Di conseguenza:
l
l'insieme di veritaÁ di p …x † ^ q…x † eÁ
P \ Q ˆ f0, 6, 12, 18, :::g
cioeÁ i multipli di 6
l
l'insieme di veritaÁ di p …x † _ q…x † eÁ
P [ Q ˆ fnumeri dispari che non sono multipli di 3g
118 Dati gli enunciati aperti p…x†: «x ˆ 5n» e q…x†: «x ˆ 3n», con n 2 N ed entrambi definiti nell'insieme
‰fx 2 A j x ˆ 15n, n 2 NgŠ
A ˆ fx 2 N j 10 x < 100g, determina l'insieme di veritaÁ di p…x† ^ q…x†.
119 Sia D l'insieme dei poligoni di un piano e siano a…x †: «x eÁ un rettangolo», b…x †: «x eÁ un rombo» aventi
per dominio D. Determina l'insieme di veritaÁ di:
a. a…x † ^ b…x †
b. a…x † ^ b …x †
c. a…x † ^ b…x †
120 Dato l'insieme D ˆ fx 2 N j x < 10g, considera gli enunciati aperti a…x, y †: «y ˆ 3x» e b …x, y †:
«y x ˆ 6» definiti in D D. Dopo aver determinato gli insiemi di veritaÁ di a…x, y † e b …x, y †, trova
quelli di:
a. a…x, y † _ b…x, y †
b. a…x, y † _ b…x, y †
c. a…x, y † _ b…x, y †
121 Indicati con P e Q gli insiemi di veritaÁ di due proposizioni aperte p…x† e q…x† determina, servendoti dei
diagrammi di Eulero-Venn, gli insiemi di veritaÁ di:
a. p…x† ^ q…x†
b. p…x† ^ q…x†
c. p…x† _ q…x†
Nei seguenti diagrammi di Eulero-Venn, le parti evidenziate con un tratteggio rappresentano l'insieme di veritaÁdi una proposizione aperta ottenuta da operazioni su altre proposizioni atomiche p …x † e q…x †. Individua:
- le possibili proposizioni p …x † e q…x †
- la proposizione composta che corrisponde all'insieme evidenziato.
122
123
124
125
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
37
I QUANTIFICATORI
la teoria eÁ a pag. 16
RICORDA
l
l
Á il quantificatore universale; e
Á normalmente seguito da una proprieta
Á e significa che tutti gli
Il simbolo 8 e
Á.
elementi di un certo insieme possiedono quella proprieta
Á il quantificatore esistenziale; e
Á normalmente seguito da una proprieta
Á e significa che c'e
Á alIl simbolo 9 e
Á.
meno un elemento di un certo insieme che possiede quella proprieta
Comprensione della teoria
126 Indicato con A l'insieme dei numeri interi maggiori di 3, la scrittura simbolica della proposizione «tutti i
numeri maggiori di 3 sono positivi» eÁ:
a. 9x 2 A, x > 0
b. x > 3 ! x > 0
c. 8x 2 A, x > 0
d. x 2 A, x > 0
127 Quali fra i seguenti enunciati sono veri:
a. 9 x 2 N, x 3 ˆ 5
b. 6 9 x 2 Z , x < 0
1
x<x
d. 8 x 2 ftriangoli isoscelig, x eÁ un triangolo rettangolo.
c. 8 x 2 Q,
2
Applicazione
Scrivi in linguaggio comune le seguenti proposizioni che usano i quantificatori.
128 9 x 2 {italiani}, x eÁ nato in Piemonte.
129 9 x 2 Q, 3x ˆ 1
p
130 6 9 x 2 N, x ˆ 5
131 Se A eÁ un insieme di persone:
non 8x 2 A, x eÁ amico di Mario.
132 8 x 2 {cittadini italiani che hanno piuÁ di 18 anni}, x ha diritto di voto.
133 6 9 x 2 Q, x 2 ˆ 7.
134 9 x 2 {punti di una retta orientata}, x corrisponde ad un numero intero.
135 6 9 x 2 {triangoli isosceli}, x non ha due angoli congruenti.
136 9 x 2 {parallelogrammi}, x ha le diagonali perpendicolari.
137 9 x 2 {parallelogrammi}, x ha le diagonali congruenti.
Riscrivi in forma simbolica i seguenti enunciati usando l'appropriato quantificatore.
138 Tutti i multipli di 8 sono multipli di 2.
139 Esistono numeri dispari che sono multipli di 5.
140 C'eÁ almeno un numero primo che eÁ pari.
141 Non tutti i numeri primi sono dispari.
142 C'eÁ almeno un numero naturale che sommato a 5 daÁ 13.
143 Non esistono gatti che abbaiano.
38
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
144 Fra i numeri naturali ce n'eÁ qualcuno che eÁ un quadrato perfetto.
145 Ogni numero elevato al quadrato eÁ positivo.
146 Non tutti i numeri elevati al cubo sono positivi, ma ci sono dei numeri che elevati al cubo lo sono.
147 Fra tutti i poligoni di un piano ce n'eÁ qualcuno che eÁ equilatero.
148 Per ogni poligono di area assegnata, esistono altri poligoni che hanno la stessa area.
149 Ogni numero naturale ha il suo successivo.
150 Dato un punto su una retta orientata ce n'eÁ sempre almeno uno che lo segue e almeno uno che lo precede.
151 Non esiste un numero naturale che sommato a 5 dia 2.
152 Non tutti i numeri interi sono positivi.
153 Ci sono dei numeri naturali che sono divisibili per 11.
154 Ogni numero naturale ha il suo successivo.
155 Tutti gli uomini sono maschi o femmine.
156 Ci sono numeri interi che non sono positivi.
157 Fra i numeri naturali ci sono dei quadrati perfetti.
158 Considera l'insieme N dei numeri naturali e determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni:
a. 8x 2 N, 9y 2 N : «x ˆ 2y».
V
F
b. 9x 2 N, 8y 2 N : «x ˆ 3y».
V
F
c. 8x 2 N e 8y 2 N : «x ˆ y».
V
F
d. 8x 2 N, 9y 2 N : «x < y».
V
F
e. 9x 2 N, 8y 2 N : «x ˆ y 2 ».
V
F
‰F, F, F, V, VŠ
IL RAGIONAMENTO LOGICO E LA DEDUZIONE
la teoria eÁ a pag. 17
RICORDA
l
Á verificare in base ad alcune regole di deduzione logica:
La correttezza di un ragionamento si puo
Á V ^ t 2A
Á V
± regola di particolarizzazione:
8x 2 A, p …x † e
ˆ)
p …t † e
± modus ponens:
…a ! b † ^ a
ˆ) b
± modus tollens:
…a ! b † ^ b
…a ! b † ^ b
ˆ) a
± schema per assurdo:
l
ˆ) a
Á il sillogismo che ha seguente struttura:
Un particolare schema di ragionamento e
premessa maggiore
premessa minore
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ
conclusione
La correttezza logica della conclusione di un sillogismo si basa sull'applicazione corretta delle regole di
Á anche essere verificata mediante relazioni di tipo insiemistico.
deduzione e puo
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
LA LOGICA
39
Comprensione della teoria
159 In base alle regole di deduzione, dalla veritaÁ dell'espressione logica …a ! b † ^ a si puoÁ dedurre la veritaÁ di:
a. b
b. b
c. a
d. a
160 In base alle regole di deduzione, dalla veritaÁ dell'espressione logica ……a _ b† ! c † ^ c si puoÁ dedurre la
veritaÁ di:
a. a
b. a
c. a _ b
d. a _ b
161 In base alle regole di deduzione, dalla veritaÁ dell'espressione logica …a ! b ^ c † ^ …b ^ c † si puoÁ dedurre
la veritaÁ di:
a. a
b. a
c. b ^ c
d. b ^ c
Applicazione
Completa i seguenti schemi di ragionamento specificando quali regole di deduzione applichi.
162
ESERCIZIO GUIDA
Se ho la febbre sto a letto; questa mattina mi sono svegliato con la febbre, quindi ...............................
Considerate le proposizioni:
a: «ho la febbre»
possiamo riscrivere in simboli il ragionamento:
b: «sto a letto»
…a ! b † ^ a
Si tratta di applicare la regola del modus ponens la cui deduzione logica eÁ b.
Il ragionamento si completa quindi scrivendo:
sto a letto.
163 Se canto sono felice; non sono felice quindi ......................
164 Se un numero non eÁ pari, non eÁ multiplo di 4; il numero n non eÁ pari, quindi ....................
165 Se non ho sete non bevo; bevo quindi ..........
166 Se esco con questo tempo prendo il raffreddore; adesso non ho il raffreddore quindi ....................
167 Se un numero eÁ multiplo di 6, allora eÁ multiplo di 2; il numero n non eÁ multiplo di 2, quindi ...................
168 Se un numero positivo ha due cifre, eÁ minore di 100; un numero positivo eÁ maggiore di 100, quindi .......
169 Quando l'estate eÁ molto calda, la vendemmia viene anticipata. Quest'anno la vendemmia non eÁ stata
anticipata, quindi .........................
170 Spiega perche i seguenti schemi di ragionamento non sono corretti e costruisci un esempio appropriato:
…a ! b† ^ b ˆ) a
…a ! b † ^ a ˆ) b
APPROFONDIMENTI
Il sillogismo
Dopo aver individuato le due premesse e la conseguenza, stabilisci, motivando la risposta, la validitaÁdei
seguenti sillogismi.
171 Alcuni animali sono roditori, tutti i roditori hanno i denti molto sviluppati, quindi alcuni animali hanno i
denti sviluppati.
[si]
172 Tutti gli uccelli hanno le ali, qualche insetto ha le ali; quindi qualche insetto eÁ un uccello.
[no]
173 Nessun uomo cammina a quattro zampe; c'eÁ qualche animale a quattro zampe che eÁ mammifero; allora
c'eÁ qualche animale che non eÁ un uomo.
[si]
40
LA LOGICA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
174 Tutti i pesci nuotano; qualche uomo nuota, quindi qualche uomo eÁ un pesce.
‰noŠ
175 Nessun uomo eÁ immortale; tutti gli italiani sono uomini, quindi nessun italiano eÁ immortale.
‰siŠ
176 Non si eÁ felici se non si guadagna abbastanza denaro per vivere; tutti i ricchi guadagnano abbastanza
denaro per vivere, quindi tutti i ricchi sono felici.
‰noŠ
177 Chi dorme non piglia pesci, dice il proverbio; io non dormo, quindi piglieroÁ tanti pesci.
‰noŠ
ESERCIZI DI SINTESI E APPROFONDIMENTO
178 Considera p: «Fra i tuoi amici ci sono almeno due persone che hanno piuÁ di 18 anni». Considera p e
supponi che essa sia vera. Quali dei seguenti casi possono essere veri?
a. Nessuno fra i tuoi amici ha piuÁ di 18 anni.
b. Fra i tuoi amici ce ne sono 4 che hanno piuÁ di 18 anni.
c. Uno solo fra i tuoi amici ha piuÁ di 18 anni.
d. Tutti i tuoi amici hanno piuÁ di 18 anni.
179 Quattro amici, Antonio, Francesco, Marco e Luca, decidono di fare una escursione in montagna formando una cordata secondo queste regole:
1. Marco deve stare subito dietro ad Antonio e non puoÁ essere l'ultimo.
2. Luca non puoÁ stare dietro a Marco.
Qual eÁ l'ordine della cordata?
[Luca, Antonio, Marco, Francesco]
180 In un gruppo di amici, alcuni giocano a tennis, altri giocano a calcio, alcuni sono abili velisti. Nella tabella che segue, in cui ogni persona eÁ contraddistinta da una lettera maiuscola dell'alfabeto, il simbolo *
in una casella sta a significare che la persona indicata nella colonna pratica quello sport.
A
Tennis
*
Calcio
Vela
B
*
*
C
D
*
*
F
G
H
*
*
*
*
*
*
*
*
E
*
*
I
L
M
N
*
*
*
*
*
*
*
Determina:
a. quante persone giocano a tennis e a calcio
b. quante persone giocano a calcio e non vanno a vela
c. quante persone non giocano a tennis o vanno a vela
d. quante persone non giocano a tennis o giocano a calcio e vanno a vela
e. quante persone non giocano a tennis e non vanno a vela e non giocano a calcio
f. quante persone o giocano a tennis o giocano a calcio
g. quante persone giocano a tennis o non vanno a vela.
181
O
‰4Š
‰5Š
‰11Š
‰4Š
‰1Š
‰7Š
‰11Š
ESERCIZIO GUIDA
Anna, Beatrice, Carla e Daniela sono state invitate ad una festa e ciascuna di esse decide se partecipare o meno in base alle seguenti considerazioni:
1. Carla partecipa alla festa se non partecipa Anna.
2. Beatrice partecipa alla festa se partecipa anche Anna.
3. Anna decide di andare sicuramente.
4. Daniela partecipa se e solo se partecipano anche Beatrice e Carla.
Quali fra le ragazze andranno alla festa?
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LA LOGICA
41
Indichiamo con l'iniziale corrispondente al nome della ragazza la proposizione che indica che essa
partecipa alla festa, con la stessa lettera soprassegnata la proposizione che indica che essa non partecipa alla festa. Ad esempio:
A: Anna partecipa alla festa
A: Anna non partecipa alla festa.
Con questa notazione, le condizioni precedenti possono essere cosõÁ formulate:
1. A ! C
2. A ! B
3. A
La 1. eÁ sempre vera perche A eÁ falsa; la 2. eÁ vera solo se anche B eÁ vera; rimane allora da stabilire in quali casi la 4. eÁ
vera con B vera. Ecco la tabella:
I casi in cui tutte le proposizioni sono verificate (valore di
veritaÁ V) sono due e corrispondono alle seguenti possibilitaÁ:
a. alla festa partecipano tutte e quattro le amiche
b. alla festa partecipano Anna e Beatrice.
4. D $ …B ^ C†
B
C
D
D $ …B ^ C†
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
182 Tre fratelli Matteo, Luigi e Filippo decidono che ciascuno daraÁ una somma in beneficenza se si verificano le seguenti condizioni:
1. Matteo daraÁ in beneficenza la somma se non la daraÁ Luigi.
2. Filippo non daraÁ in beneficenza la somma se e solo se Matteo non lo faraÁ.
3. Luigi daraÁ in beneficenza la somma se la daraÁ Matteo.
4. Matteo non daraÁ in beneficenza la somma se la daranno Luigi e Filippo.
Quali fratelli offriranno qualcosa in beneficenza?
[Luigi]
183 Quattro amici, Aldo, Francesco, Giuseppe e Marco, decidono che andranno in vacanza insieme se si
verificheranno le seguenti situazioni:
1. Aldo andraÁ in vacanza se saraÁ promosso.
2. Francesco andraÁ in vacanza se andraÁ anche Aldo.
3. Giuseppe andraÁ in vacanza anche se non saraÁ promosso ma solo se andraÁ anche Francesco.
4. Marco non andraÁ in vacanza se e solo se non andraÁ Giuseppe.
In quali condizioni andranno in vacanza tutti insieme i nostri amici?
In quali condizioni potranno andare in vacanza anche solo tre di loro? E chi fra loro andraÁ in vacanza
"
#
insieme?
se A e promosso vanno tutti e quattro;
F, G, M; G, M; nessuno va in vacanza
se A non e promosso 3 possibilita:
184 Alberto, Bruno, Claudio e Dario vengono invitati ad un pic-nic in campagna ma accettano l'invito a queste condizioni:
a. Claudio non vuole partecipare se non partecipa Alberto.
b. Bruno partecipa solamente se non eÁ il solo.
c. Alberto non partecipa se non partecipano anche Bruno e Claudio.
d. Se Claudio non partecipa, allora partecipa Alberto ma non Dario.
Il giorno della festa Claudio eÁ presente al pic-nic. Sapresti dire quali altri ragazzi del gruppo sono sicu‰Alberto, Bruno; c.Š
ramente presenti? Fra le indicazioni date, ce n'eÁ qualcuna superflua?
185 Marco e Andrea decidono di mettere alla prova il loro amico Umberto che si vanta di possedere una
capacitaÁ logica a prova di qualsiasi tranello. CosõÁ mettono sul tavolo una moneta da 2E e una da 1E
e dicono a Umberto:
"Ora tu chiuderai gli occhi e ognuno di noi prenderaÁ una moneta dichiarando quale ha preso. Sapendo
che almeno uno di noi due mente, devi indovinare chi possiede la moneta da 2E".
Dopo aver preso ciascuno una moneta, Marco dice: "Io ho la moneta da 2E" e Andrea dice: "Io ho la
moneta da 1E".
42
LA LOGICA
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Umberto non si fa ingannare e, dopo averci pensato un po', dichiara: "Avete mentito tutti e due, quindi
Marco ha la moneta da 1E e Andrea ha quella da 2E".
I due si guardano con aria sconfitta; anche questa volta Umberto eÁ stato piuÁ in gamba di loro.
Aiutandoti eventualmente con un'opportuna tavola di veritaÁ, illustra il ragionamento seguito da Umberto.
186 Marta e Roberta si avviano al guardaroba di un ristorante per ritirare i loro cappelli e cappotti. Nel guardaroba ci sono, fra le altre cose, due cappelli neri ed un cappello bianco. Ad un tratto l'erogazione di
corrente elettrica si interrompe ed il locale rimane immerso nel buio. Allora le due ragazze prendono
ciascuna un cappello a caso ed escono dal ristorante una dietro l'altra. Alla luce del lampione Marta,
che esce per seconda e vede Roberta, dice «Non so proprio che cappello ho preso!». «Allora io so di
che colore eÁ il mio» risponde Roberta. Qual eÁ il colore del cappello di Roberta ed in base a quale ragionamento lo ha potuto determinare?
‰neroŠ
187 Tre amici si affrontano in una gara ciclistica. Sappiamo che Mario non eÁ arrivato primo, Riccardo non eÁ
arrivato secondo, Massimo non eÁ arrivato terzo, chi ha il nome piuÁ corto non eÁ arrivato prima di chi ha il
nome piuÁ lungo. Qual eÁ l'ordine di arrivo?
‰Riccardo, Massimo, MarioŠ
188 Un viandante si trova ad un bivio senza indicazioni e non sa quale strada deve scegliere per andare in
una localitaÁ A. Al bivio ci sono due persone, una delle quali eÁ sicuramente bugiarda mentre l'altra dice
sempre il vero. Il viandante pone ad entrambi la stessa domanda: «Se chiedessi al tuo compare qual eÁ la
direzione per andare ad A, cosa mi risponderebbe?» ottenendo da entrambi la stessa risposta: «A destra».
Il viandante sceglie la direzione opposta alle indicazioni avute. Sai spiegare il ragionamento che ha compiuto per prendere questa decisione?
189
ESERCIZIO GUIDA
In un gruppo ci sono quattro coppie di fidanzati. Le ragazze si chiamano Angela, Monica, Elena e
Lucia. I ragazzi si chiamano Paolo, Flavio, Marco e Giovanni e di essi si sa che Paolo ha i baffi e
non porta la cravatta, Flavio e Marco hanno i baffi e portano la cravatta, Giovanni non ha i baffi
ma porta la cravatta. Delle quattro ragazze, due portano una camicia a fiori e le altre due portano
una maglietta bianca. Una delle ragazze con la maglietta bianca dice: «Monica e Angela hanno la
camicia a fiori», e l'altra dice: «Lucia eÁ fidanzata con Flavio ed io sono fidanzata con uno con la cravatta». Una delle ragazze con la camicia a fiori dice: «I fidanzati di Angela ed Elena hanno i baffi».
Sapresti individuare con queste informazioni quali sono le coppie del gruppo?
Per risolvere l'esercizio aiutati con la figura a fianco, collegando con un arco le coppie di fidanzati. Riassumiamo i dati:
Angela: camicia fiori
Paolo: si baffi, no cravatta
Monica: camicia fiori
Flavio: si baffi, si cravatta
Elena: ........................
Marco: si baffi, si cravatta
Lucia: ........................
Giovanni: no baffi, si cravatta
Allora le ragazze con la maglietta bianca sono ......................................................
A parlare per prima fra le ragazze eÁ .......................................................................
A parlare per seconda eÁ ..........................................................................................
Allora Elena puoÁ essere fidanzata con ............. oppure con ............. La terza ragazza dice peroÁ che il
fidanzato di Elena ha i baffi, quindi ........................................................................
Le coppie allora sono ..............................................................................................
[Lucia-Flavio, Elena-Marco, Monica-Giovanni, Angela-Paolo]
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LA LOGICA
43
190 Sei amici, che indicheremo con A, B, C, D, E, F, vanno in un ristorante e chiedono al cameriere di distribuire i posti a tavola secondo alcune esigenze che essi esprimono.
A: «Al mio fianco non devono esserci ne Carlo ne Gino che ha i baffi».
B: «Enzo ha gli occhiali».
C: «Al mio fianco non ci devono essere ne Carlo ne Alberto che ha la barba».
D ed E: «Noi non siamo ne Marco ne Enzo».
F: «Al mio fianco non ci devono essere ne Alberto ne Paolo che ha i baffi».
Il cameriere, nota subito che:
A ed E hanno la barba ma non i baffi e portano gli occhiali;
B e D non hanno ne barba ne baffi;
C ed F hanno i baffi ma non la barba.
In che modo il cameriere distribuiraÁ i commensali a tavola?
A Enzo, B Marco, C Paolo, D Carlo, E Alberto, F Gino
Distribuzione dei posti: Alberto, Enzo, Paolo, Marco, Gino, Carlo
191 In occasione del Natale cinque amiche, Anna, Beatrice, Claudia, Daria ed Emanuela si scambiano dei
regali. Ognuna di esse ne manda uno a due amiche e ne riceve uno da quelle a cui lei non ha regalato
nulla. Sappiamo che Anna manda un regalo a Beatrice e a Daria e ne riceve uno da Claudia; Beatrice
non riceve l'altro regalo ne da Daria ne da Emanuela; quest'ultima manda un regalo ad Anna e a nessuna
di quelle a cui li ha mandati Anna; Daria ne riceve uno dalla stessa persona a cui l'ha mandato Anna e
ne manda uno a Claudia. Da chi riceve i suoi regali Emanuela?
‰Beatrice e DariaŠ
192 Qualche amico di Silvia si eÁ iscritto ad un torneo di ping-pong. Antonio, che non eÁ amico di Silvia, fa
parte di un gruppo che si eÁ iscritto ad una gara di nuoto. Fra gli amici di Antonio che partecipano a questa gara, Tino gareggia anche nel torneo di ping-pong. Allora Tino eÁ amico di Silvia. Aiutandoti con gli
insiemi, stabilisci se il ragionamento eÁ corretto.
‰noŠ
193 In Agosto oppure quando c'eÁ un bel sole caldo, le cittaÁ di mare si riempiono di turisti. Quando non c'eÁ il
sole e non eÁ il mese di Agosto, le cittaÁ di mare sono scarsamente affollate. Se oggi eÁ una bella giornata di
sole, cosa puoi dire sul valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni?
V F
a. «Oggi eÁ un giorno di Agosto».
V F
b. «La cittaÁ eÁ piena di turisti».
V F
Á
c. «Ci sono pochi turisti anche se e Agosto».
Soluzioni esercizi di comprensione
2 contraddice il primo principio
8 a., c.
9 no
10 c.
11 a. ^, b. _, c. !, d. _,
_ e. _
12 b.
13 c.
14 b.
15 a.
40 c.
41 b.
42 b.
43 c.
44 b., d.
93 b., c., d., e., f., i., l.
94 a.
95 a.
127 a.
159 b.
­, b. ¬, c. ­
126 c.
160 d.
161 b.
Nel volume Laboratorio e complementi trovi...
l
esercizi tratti dalle gare di matematica
l
Á
i problemi di Matematica e realta
44
LA LOGICA
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Testfinale
1 Date le proposizioni a : «Giulia eÁ iscritta alla facoltaÁ di legge» (V); b : «Giulia studia molto» (F), costruisci nel
linguaggio comune le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritaÁ:
a. a ^ b
b. a _ b
c. a ! b
d. b ! a.
0,25 punti per
ogni esercizio
2 Individua le proposizioni atomiche che compongono le seguenti proposizioni molecolari; dopo averle indicate
con opportune lettere, scrivi tali proposizioni in forma simbolica e determina il loro valore di veritaÁ:
a. 3 ‡ 7 ˆ 10 e 9 4 ˆ 6
b. 5 eÁ positivo se e solo se 5 eÁ maggiore di 0
c. se 3 eÁ maggiore di 2 e 5 eÁ maggiore di 4, allora 3 eÁ maggiore di 5
d. se f precede b in ordine alfabetico e b precede a, allora f precede a.
0,25 punti per
ogni esercizio
3 Verifica che:
a. l'espressione ‰…a ^ b † _ …a $b†Š ! a _ b eÁ una tautologia
b. l'espressione a ! b ^ a ^ b eÁ una contraddizione.
4 L'insieme di veritaÁ dell'enunciato aperto p…x †: «x ˆ 2n ‡ 5, n 2 N» eÁ:
a. l'insieme dei numeri pari
b. l'insieme dei numeri dispari
c. l'insieme dei numeri dispari maggiori di 3
d. l'insieme dei numeri dispari maggiori di 5.
1 punto per
ogni esercizio
1 punto
5 Siano p…x† e q…x† due enunciati aperti entrambi definiti in un insieme U, rappresenta con un diagramma di
Eulero-Venn gli insiemi di veritaÁ di:
a. p…x† _ q…x†;
b. p…x† ^ q…x†
1 punto per
ogni esercizio
6 Indicando con P l'insieme dei numeri primi e con A l'insieme dei numeri pari, stabilisci quale fra le seguenti
scritture eÁ equivalente alla proposizione: «Nessun numero primo che non sia 2 eÁ pari»:
a. non 8x 2 P f2g : x 2 A
b. 6 9 x 2 P f2g : x 2 A
c. 6 9 x 2 P : x 2 A
d. 9x 2 P : x 2 A.
1 punto
7 Ambrogio, Luigi, Nicola e Paolo sono quattro amici che si ritrovano tutti i venerdõÁ sera per una partita a carte.
Qualche volta, fra una partita e l'altra, bevono una birra. La situazione di solito eÁ questa:
¬ Ambrogio beve la sua birra se e solo se la beve anche Luigi.
­ Se Luigi beve la sua birra, Nicola non la beve mai; ma se Luigi non la beve, allora Nicola beve la sua birra.
® Paolo beve la sua birra se e solo se la beve anche Nicola.
Chi fra i quattro amici beve la birra?
2 punti
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LA LOGICA
45
Soluzioni
1 a. V; b. F; c. F; d. F; e. V
2 a. F; b. V; c. F; d. V
4 c.
5 a.
b.
6 b.
7 Ambrogio e Luigi oppure Paolo e Nicola
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
Punteggio
Valutazione
in decimi
46
LA LOGICA
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