La logica
Scienza del ragionamento corretto
A cura del Prof. Fabio Santagata
1
CENNO STORICO
384-322 a.c. Aristotele
 1815-1864
George Boole

2
Logica proposizionale
Lo scopo della logica, fin dai tempi di
Aristotele, è quello di descrivere il
ragionamento
 La logica proposizionale è un modello
matematico che ci consente di ragionare
sulla verità e sulla falsità di espressioni
logiche

3
Differenza tra linguaggio naturale
(LN) e linguaggio logico (LL)
Linguaggio Naturale
•
•
•
Ricco di connettivi, scopo
rendere la proposizione più
espressiva , problema
dubbia interpretazione
Si considerano solo
proposizioni che presentano
un nesso tra le componenti
A volte due negazioni
negano: «Non c’è
nessuno!»…"Non c'è alcuno"
suona proprio male,
oltretutto!
Linguaggio Logico
•
Numero di connettivi
limitati
•
Nesso non necessario (es:
Paolo è svenuto e corre)
•
Due negazioni affermano
sempre
4
Definizione di Proposizione
Linguaggio naturale
Una frase contenente
un verbo
Es: State zitti!
Esci stasera?
Domani pioverà
Alessia è simpatica
4 è un numero pari

Linguaggio logico

Si chiama proposizione
(o enunciato) ogni
affermazione della
quale si possa dire,
oggettivamente e con
certezza, che è vera o
falsa
5
Esempi

Sono proposizioni:
◦ Roma è la capitale d’Italia
◦ Bari è una città dell’Inghilterra

Non sono proposizioni
◦ I dipinti di Picasso sono belli
◦ Forse oggi verrò a farti visita
6
Prova tu….individua le proposizioni
logiche







Il triangolo ha 4 lati
Questo libro è interessante
Vai al mare domenica?
Omero è autore dell’Iliade
Attento: il semaforo è rosso!
I Longobardi ebbero come re Alboino
Il triplo di 5 è 16
7
Proposizioni atomiche (semplici) e
proposizioni composte

Le proposizioni semplici possono essere
composte tra loro tramite connettivi logici
in modo da formare delle espressioni più
complesse, dette proposizioni
composte, il cui valore di verità può
essere univocamente determinato a
partire da quelli delle proposizioni che le
compongono
8
Tipi di proposizioni logiche

PROPOSIZIONI SEMPLICI
- Oggi c’è il sole
- vado a scuola in bici
•
PROPOSIZIONI COMPOSTE
- oggi c’è il sole e vado a scuola in bici
9
Connettivi logici

«e», «o», «non», «se…..allora», «se e solo
se» sono connettivi logici:
Se studi allora sarai promosso
 Roma è la capitale d’Italia e Bari è una
città italiana
 Una figura è un quadrilatero se e solo se
ha quattro lati

10
Connettivi logici
Connettivi logici
simboli
non
NOT
e
AND
(et)
Λ
o
or
(vel)
V
XOR
(aut)
o esclusivo
se …… allora
se e solo se
¯ opp.
IF THEN
IF AND ONLY IF
11
Variabili proposizionali
Per affrontare lo studio dei connettivi più in
generale, possiamo sostituire le proposizioni
con delle variabili proposizionali, che
corrispondono a qualunque proposizione
abbia un valore di verità. Esse acquistano,
di volta in volta, il valore di verità
dell’oggetto al quale esse sono associate.
 Allo stesso modo, invece di utilizzare
«Vero» e «Falso» come valori di verità,
utilizzeremo «1» e «0»

12
Variabili proposizionali
PROPOSIZIONI SEMPLICI
p: Oggi c’è il sole
q: vado a scuola in bici
• PROPOSIZIONI COMPOSTE
p Λ q:oggi c’è il sole e vado a scuola in bici

«p Λ q =1»significa che è vero che oggi c’è
il sole ed è vero che vado a scuola in bici
13
Connettivi logici
Congiunzione «Λ»(and/et)
p: 9 è un numero dispari
q :9 è multiplo di tre
r=pΛq: 9 è un numero dispari e 9 è
multiplo di 3
LA CONGIUNZIONE di due proposizioni è
vera se e solo se sono entrambe vere
R è vera perché è vero sia che 9 è
dispari e sia che 9 è un multiplo di 3
14
Connettivi logici
Congiunzione «Λ»(and/et)
p: Roma è la capitale d’Italia
q: Bari è una città dell’Inghilterra
r=pΛq: Roma è la capitale d’Italia e Bari è
una città dell’Inghilterra
R è palesemente falsa, in quanto una sola
delle due proposizioni semplice è vera
15
Tabelle di verità

Per verificare, al variare dei valori di verità
delle proposizioni semplici, come varia il
valore di verità delle proposizioni
composte, si usano la tabella di verità:
- le prime colonne hanno come intestazione
le proposizioni atomiche e come valori tutte le
possibili combinazioni dei valori di verità.
- l’ultima colonna ha come intestazione la
proposizione composta e contiene i valori di verità
che derivano dalle differenti combinazioni
16
Esempio con Tabelle di verità




Esempio:
p: il libro è giallo
q: il quaderno è rosso
r=pΛq: il libro è giallo e il quaderno è rosso
Il libro è giallo
Il quaderno è rosso
Il libro è giallo
e il quaderno è
rosso
Vero
Vero
Vero
Vero
Falso
Falso
Falso
Vero
Falso
Falso
Falso
Falso
17
…. e con variabili proposizionali
Esempio:
 p: il libro è giallo
 q: il quaderno è rosso
 r=pΛq: il libro è giallo e il quaderno è rosso

p
q
pΛq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
18
Connettivi logici
Negazione
p: La Sicilia è un’isola
p :La Sicilia non è un’isola
cambia il valore di verità della proposizione
p
p
V
F
F
V
19
Prova tu…
Date le seguenti proposizioni, utilizzando
la congiunzione e la negazione….
•
a: 11 è un numero pari
b: il quadrato ha 4 lati
….traduci in simboli: «11 non è un
numero pari e il quadrato ha quattro
lati»
20
Disgiunzione
a: Mangio il dolce o la frutta
• b: Paolo va a scuola o a piedi o in bici
•
Qual è la differenza nei dei due
precedenti esempi nell’uso del
connettivo o? Riflettiamo….
•
Se mangio solo il dolce, la proposizione
a è vera, anche se mangio solo la frutta
la proposizione è vera, ma anche se
mangio entrambi la proposizione è
vera….invece….Paolo non può andare
contemporaneamente a scuola sia a
piedi che in bici!
21
Connettivi logici
Disgiunzione inclusiva (OR/vel)
Disgiunzione esclusiva (XOR/aut)
In italiano «o» è un connettivo ambiguo:
infatti vi sono frasi come «Questo
modello di maglietta è in commercio in
tinta blu o in tinta rossa» ovviamente se
compro una maglietta di quel modello o è
di colore blu o è di colore rosso!
22
Connettivi logici
Disgiunzione inclusiva (OR/vel)
Disgiunzione esclusiva (XOR/aut)
Invece la frase: «portami delle pere o delle
mele» è soddisfatta in 3 casi: sia quando
vengono portate delle mele, sia quando
vengono portate delle pere ed anche
quando vengono portate entrambe.
La parola «o» può avere quindi due
distinti significati!
23
Connettivi logici
Disgiunzione inclusiva (OR/vel)
Disgiunzione esclusiva (XOR/aut)
Or inclusivo (“OR” , il latino “vel”):
una proposizione non esclude l’altra
Or esclusivo (“XOR” da “exclusive
OR”, in latino “aut”)
24
Tabella di verità:
Disgiunzioni.
p
q
p V q
p
q
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
25
Prova tu…. riscrivi in linguaggio
simbolico utilizzando i connettivi più
appropriati





Un numero è pari o dispari
Il cane corre o abbaia
Questa sera leggo o dormo
Mangio il dolce o la frutta
Mangio o il dolce o la frutta
26
Lewiss Carrol e il gioco delle torte
Uno dei crucci più grandi di Lewis Carroll era quello di
raccontare nel modo più semplice possibile la logica ai
suoi giovani lettori. L'interesse verso i paradossi della
logica era sempre ampio e sfociò nella pubblicazione del
tomo Logica Simbolica e nella proposizione de Il gioco
della logica, una sorta di gioco da tavolo su uno schema
quadrato sviluppato a partire dal sistema proposto nel
1761 dal grande Leonhard Euler. Nelle intenzioni di
Carroll, il gioco doveva essere fruibile dai bambini della
scuola materna, ma nei fatti risultò molto più complesso e
all'epoca (e forse anche oggi) poco utile per la diffusione
della logica tra i giovani. L'idea era quella di utilizzare,
attraverso alcune regole di base, uno schema nel quale
realizzare la tavola della verità di una data affermazione.
27
Lewiss Carrol e il gioco delle torte
«il gioco delle torte logiche» è un gioco estremamente più
semplice dove il tavolo di gioco è dato da un quadrato diviso in
quattro settori (la sola dispensa più piccola del
gioco di Carroll), vi è un solo tipo di gettone e si considera
come insieme universo solo quello delle torte. Inoltre
esprimiamo solo proposizioni atomiche o composte da due o tre
proposizioni atomiche.
Il gioco prevede due giocatori che si alternano in due ruoli: il
primo propone una proposizione rappresentabile nella tavola di
gioco, il secondo deve rappresentarla nella tavola. Frasi
rappresentabili sono, ad esempio, “le torte fresche sono salate”
(basta porre un gettone nel settore superiore a destra) e “le
torte stagionate sono salate o dolci” (basta porre un gettone
nella parte inferiore sulla linea che divide il settore destro da
quello sinistro). I materiali previsti per questo gioco sono: le
tavole, i gettoni e dei manualetti d'istruzione.
28
Lewiss Carrol e il gioco delle torte








Rappresenta le proposizioni:
Le torte fresche sono salate
Le torte stagionate sono salate o dolci
Le torte sono dolci e fresche
Le torte sono stagionate o dolci
Le torte sono stagionate e non dolci
Le torte non sono né dolci e né salate
Le torte o sono stagionate e dolci oppure non sono non dolci e
sono non fresche (che caratteristiche hanno le proposizioni
contenute?)
29
Concetto di enunciato aperto ad
una variabile: i predicati


Si dice «enunciato aperto p ad una variabile x» o
«predicato» un’espressione logica in cui occorre
una variabile x, il cui valore appartiene ad un
insieme U detto universo. Si indica con p(x)
Ad esempio: il predicato p(x) = «x è un multiplo
di 4» è una proposizione che potrà assumere
valori di vero o falso a seconda del valore che
assume x. L’universo U è rappresentato dai
numeri naturali U=N
30
Concetto di enunciato aperto ad
una variabile: i predicati
ESEMPIO:
 p(x): x è in Italia
 U = {Napoli, Roma, Londra, Parigi}

◦
◦
◦
◦
Se
Se
Se
Se
x= Napoli
x= Roma
x=Londra
x=Parigi
p(x) è vera
p(x) è vera
p(x) è falsa
p(x) è falsa
31
Connettivi logici
Implicazione
p: x è un multiplo di 4
q: x è divisibile per 2
U: insieme dei numeri naturali (N)
p q: se x è un multiplo di 4 allora x è
divisibile per 2
p
q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
32
Prova tu ….
Il professore promette a Paolo
“ se studi tutte le materie allora sarai
promosso”
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
1) il prof ha detto il vero
2) il prof non ha detto il vero
3) Non è in contrasto con la
promessa, Paolo è stato
promosso pur non avendo
studiato tutte le materie
4) Il prof ha detto il vero, Paolo
non ha studiato e non è quindi
stato promosso
33
Connettivi logici
Doppia implicazione
p: la Sicilia è un’isola
q : la Sicilia è circondata dal mare
p q: la Sicilia è un’isola se e solo se è
circondata dal mare
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
34
Connettivi logici
Doppia implicazione
Vero o falso?
«1+1 = 3 se e solo se Alessandro Manzoni
ha scritto la Divina Commedia»
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
35
Connettivi logici
Doppia implicazione
Vero o falso?
«1+1 = 3 se e solo se Alessandro Manzoni
ha scritto la Divina Commedia»
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
36
Connettivi logici
Doppia implicazione
Vero o falso?
«La figura è un rombo se e solo se ha
quattro lati»
«Un numero è divisibile per 10 se e solo se
termina per 0»
37
Tautologie e Contraddizioni
Tautologie
Contraddizioni
E’ una proposizione composta
che è sempre vera, per
qualunque valore delle
proposizioni componenti
E’ una proposizione composta
che è sempre falsa per
qualunque valore delle
proposizioni componenti
Es: Un numero naturale è pari Es: Dormo e sono sveglio
o dispari
La circonferenza è una linea
Una linea è una retta oppure
retta e curva
non lo è
2 è un numero pari o non lo è
A pallavolo si vince o si perde
38
Tautologie e Contraddizioni
Tautologie
Contraddizioni
p v p è sempre vera
“Questa scuola o è un
liceo o non è un liceo”
p Λ p è sempre falsa
“Questa scuola è un liceo
e non è un liceo”
Esempio con i predicati:
Esempio con i predicati:
I quadrilateri con un
I quadrilateri con un
angolo di x gradi
angolo di x gradi
hanno quattro lati!
hanno tre lati!
L’universo sono i
L’universo sono i
numeri da 0 a 360
numeri da 0 a 360
39
Applichiamo quanto studiato!
Aiutiamo il commissario Marmaduke
Il commissario Marmaduke rilesse ancora una volta la lettera che aveva
ricevuto dagli amici: “Caro amico Marmaduke, abbiamo assolutamente
bisogno del suo aiuto. Ci raggiunga presto in Transilvania al castello del
conte Dracula. Firmato: Lord Black e sir Peabody”. La carrozza si fermò
in vista del castello. La luna cominciava a nascondersi dietro una delle
torri, e anche controluce, la malformata fortezza appariva diabolica. I
cavalli erano nervosi e manifestarono il loro malcontento all'improvvisa
fermata. Fu all'ululare dei lupi che Marmaduke ricordò le storie che i
contadini gli avevano raccontato sul castello di Dracula. L'uomo a
cassetta lo fece scendere e prima di prendere commiato disse con fare
misterioso: “se deve proprio andare, Signore, ricordi bene quanto le
dico.
- O sir Peabody o Lord Black, ma non entrambi, sono vampiri.
- Se Dracula è vivo allora sir Peabody è un vampiro.
- Dracula è vivo o Lord Black è un vampiro.
- Se Lord Black è un vampiro allora Dracula è vivo.
Ricordi bene, Signore”.
40
Applichiamo quanto studiato!
Aiutiamo il commissario Marmaduke
Poi parti come se avesse avuto il diavolo dietro. In un attimo era
sparito. Marmaduke pensò che le parole avevano un preciso
significato. S'incamminò. Sembrava che nessuno si fosse preso cura
del castello per anni. Aprì la porta. C'erano pipistrelli in giro ! Era
troppo meravigliato per aver paura... per il momento. Nella tremula
luce di una candela, trattenne il fiato quando vide avanzare l'amico
ed udì una voce familiare. Per un attimo temette di aver di fronte a
sé il conte o sir Peabody; fu ben felice di riconoscere la voce di
Lord Black. Ripensando alle parole del cocchiere aveva fatto un
semplice calcolo e sapeva con certezza che: Dracula era vivo, sir
Peabody era un vampiro mentre Lord Black non lo era. Con gioia
riabbraccio l'amico e ... come finisce la storia ? Aveva ragione
Marmaduke a non aver paura di Lord Black ?
41
Applichiamo quanto studiato!
Aiutiamo il commissario Marmaduke
P = Peabody è un vampiro
B = Lord Black è un vampiro
D = Dracula è vivo
Sappiamo con certezza che le affermazioni del cocchiere sono tutte
vere. Dobbiamo quindi escludere tutte le combinazioni dove le
proposizioni composte hanno valore 0.
42
Applichiamo quanto studiato!
Aiutiamo il commissario Marmaduke
P = Peabody è un vampiro
B = Lord Black è un vampiro
D = Dracula è vivo
Le combinazioni possibili sono contornate di rosso.
Se B fosse vero(1), allora D sarebbe vero(4), ma se D è vero allora
anche P è vera(2). Ma è impossibile che siano entrambi vampiri (1)!
Dunque B è falso.
Se P fosse vera(1), allora B sarebbe falsa (1), ma se B è falsa allora
D deve necessariamente essere vera (3)
43
Peabody è un vampiro e Dracula è vivo!
Proviamo ancora? Sir Holmes e
l’assassino!
A Londra il famoso investigatore Sir Holmes è alle prese con un
crimine efferato: un uomo è stato ucciso nella sua camera da letto!
Holmes dopo un attento esame della salma e della stanza espone le
sue deduzioni al fedele Watson:
- L’assassino è Moriarty o Jack lo Squartatore ma non possono aver
commesso il delitto insieme
- se la finestra della camera è aperta allora vi è stato un furto
- se è stato effettuato un furto allora Moriarty è l’assassino
- se Jack è l’assassino allora la finestra della camera è aperta.
Soddisfa le seguenti richieste:
1. Traduci in linguaggio simbolico ogni singola deduzione di Holmes
2. Holmes ha già capito chi è il colpevole. Mostra di non essere da
meno!
44
Comporre proposizioni ben fatte
(FBF)

Un proposizione composta, per avere un
significato, deve essere composta
correttamente, cioè secondo alcune regole. In
questo caso si parla di FBF «formule ben
formate».
“->p Λ V p q VV -> Λ p”
non è una FBF!!!
45
Comporre proposizioni ben fatte
(FBF)
Le proposizioni:
1. possono essere delle lettere. Es: p,q,r, etc….
2. possono essere tautologie e contraddizioni: V o F
3. possono essere delle espressioni aperte: p(x), q(x)
4. possono essere oggetti indicati nei punti 1,2,3 e
congiunti dai connettivi logici. ES: (p V q)
5. possono essere oggetti indicati nei punti 1,2,3 e
negati: ES: p
6. possono essere oggetti descritti in tutti i
precedenti punti a cui applico le regole 5 e 6
ES: ((q Λ p)V p) Λ r(x) x∈ 𝑼
46
Equivalenza tra formule logiche



Due formule logiche sono equivalenti quando
hanno lo stesso valore di verità per la stessa
combinazione di valori di verità per le
proposizioni atomiche che le compongono.
Ad esempio le seguenti formule sono
equivalenti:
(q Λ p)
e
(q V p)
Proviamolo costruendo la tabella di
verità!
47
Leggi e proprietà

Per le espressioni logiche valgono alcune
proprietà:
1. Proprietà commutativa dell’and «Λ»
pΛq=qΛp
2. Proprietà commutativa dell’or «V»
pVq=qVp
3. Proprietà associativa dell’and «Λ»
 (p Λ q) Λ r = p Λ (q Λ r)
4. Proprietà associativa dell’or «V»
 (p V q) V r = p V (q V r)
5. Proprietà distributiva tra and «Λ» e or «V»
 p V (q Λ r) = (p V q) Λ (p V r) *
 p Λ (q V r) = (p Λ q) V (p Λ r)
48
Leggi e proprietà
6. Leggi di idempotenza
pVp=p
*
pΛp=p
*
7. Leggi di assorbimento
 p V (p Λ q) = p
*
 p Λ (p V q) = p
*
8. Doppia negazione
p =p
9. Leggi di De Morgan
 (p V q) = p Λ q
 (p Λ q) = p V q
10. Tautologia e contraddizione
pVp=V
pΛp=F
49
Esperienza di laboratorio: La logica
applicata al Web, i motori di ricerca.
Sapete cos’è un motore di ricerca? È un sito
attraverso il quale trovare altri siti,
semplicemente digitando delle «keyword» cioè
delle parole chiave attinenti all’oggetto della
vostra ricerca.
 Quali motori di ricerca conoscete? Sicuramente
google! Ma ne esistono tanti altri come altavista,
bing, yahoo!, virgilio etc…
 Riuscite sempre a trovare ciò che cercate?
 Avete mai pensato a come poter scrivere in modo
più preciso i termini di ricerca?
 Spesso la ricerca standard di google non basta!

50
Esperienza di laboratorio: La logica
applicata al Web, i motori di ricerca.

Considerate l’homepage di google.

Cliccate su ricerca avanzata
51
Esperienza di laboratorio: La logica
applicata al Web, i motori di ricerca.

Vedrete questa pagina:

Cosa significano quelle istruzioni?
◦ Trova risultati….che contengano tutte le seguenti parole:
 Scrivere parole in quel form equivale alla proposizione logica:
Parola1 Λ parola2 Λ parola3 (parola1 and parola2 and parola3)
che come sapete è vera se e solo se sono vere tutte le
proposizioni contenute cioè tutte le parole. Google vi mostrerà
SOLO i risultati che contengono TUTTE le parole che avete
scritto!
52
Esperienza di laboratorio: La logica
applicata al Web, i motori di ricerca.

Vedrete questa pagina:

Cosa significano quelle istruzioni?
◦ Trova risultati….che contengano una qualunque delle seguenti
parole:
 Scrivere parole in quel form equivale alla proposizione logica:
Parola1 V parola2 V parola3 (parola1 or parola2 or parola3) ,
che come sapete è vera se e solo se è vera almeno una delle
proposizioni contenute. Google vi mostrerà TUTTI i risultati
che contengono almeno una parola che avete scritto!
53
Esperienza di laboratorio: La logica
applicata al Web, i motori di ricerca.

Vedrete questa pagina:

Cosa significano quelle istruzioni?
◦ Trova risultati….che NON contengano le seguenti parole:
 Scrivere parole in quel form equivale alla proposizione logica:
Parola1 Λ parola2 Λ parola3 (not parola1 and not parola2 and not
parola3) , che, come sapete, è vera se e solo se sono false tutte
le proposizioni contenute. Google vi mostrerà TUTTI i risultati
che NON contengono nessuna delle parole che avete scritto!
54
Esperienza di laboratorio: La logica
applicata al Web, i motori di ricerca.

Potete anche combinare i campi di ricerca per creare ricerca
più complesse. Ad esempio:
…vi farà trovare siti che parlano di «telefoni cellulari», della
«apple» O della «samsung», che NON sono né «motorola» e
né «lg». Difatti i primi due risultati sono i siti ufficiali di Apple
e Samsung mobile!
SAPETE TRADURRE QUESTA RICERCA IN
ESPRESSIONE LOGICA?
55
56
Il ragionamento corretto
“se cè la nebbia, allora la partita è sospesa. La partita è
sospesa , quindi c’è la nebbia” ??????????
p: c’è la nebbia
q : la partita è sospesa
Premessa: p q, q
Conseguenza: p
Un ragionamento è corretto
se da premesse
p
q
p
q
vere seguono
V
V
V
conseguenze
V
F
F
vere
F
V
V
F
F
V
57
Prova tu ….
Considera i seguenti ragionamenti, costruisci il loro schema
simbolico e, attraverso le tavole di verità, stabilisci se sono
corretti
Se guardo la tv, allora mi viene sonno. Mi
viene sonno, quindi guardo la tv.
• Se ripasso la lezione, allora sono
tranquillo. Non ripasso la lezione, quindi
non sono tranquillo.
•
58
Forme di ragionamento valide:
Modus Ponens (G. Boole)
Se è vera un’implicazione ed è vero il suo antecedente,
risulta vero anche il suo conseguente
p: Alice è colpevole
q : Bruno è colpevole
Se Alice è colpevole, lo è anche Bruno. Alice è colpevole,
quindi Bruno è colpevole.
Premessa: p q, p
Conseguenza: q
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
59
Forme di ragionamento valide:
Modus Tollens (G. Boole)
Se è vera un’implicazione ed è falso il suo conseguente,
risulta falso anche il suo antecedente
p: Domani c’è il sole
q : vado al mare
Se domani c’è il sole allora vado al mare. Non vado al mare,
quindi non c’è il sole.
Premessa: p q, q
Conseguenza: p
Prova a verificarlo con una tavola di verità……
60
Il teorema
Si chiama teorema un procedimento logico che
dalle premesse porta alle conseguenze
Dimostrazione
Ipotesi
L’insieme
delle
premesse
Tesi
Procedimento di
deduzione logica
L’insieme delle
conseguenze
Enunciato
La proposizione costituita dall’ipotesi e
dalla tesi
61
Fonti bibliografiche
W. Maraschini – Multiformat –Paravia
Abati/Binda/Quartieri- Matematica con metodo –
Palumbo Editore
Bergamini/Trifone/Barozzi - Algebra e geometria
analitica – Zanichelli
Internet – siti vari
62