La logica è la disciplina filosofica che studia
le forme del ragionamento corretto.
Comprendi il ragionamento
Le proposizioni
Definizione: Una proposizione è un’affermazione
che è o sicuramente vera o sicuramente falsa.
Ad esempio sono proposizioni:
• I continenti sono 5 (vera)
• 7=3 (Falsa)
• Il sole è un pianeta (Falsa)
• La mortadella viene fatta dal maiale (Vera)
Convenzione.
Generalmente le proposizioni si indicano con la
lettera
minuscola
p, e se
già in uso
con la q,
poi
con la r
e così via …
La congiunzione
Come nella lingua italiana (e in tutte le lingue) le
proposizioni si legano fra di loro formando frasi
più complesse. Così avviene anche nella logica
matematica. Consideriamo il seguente:
Esempio.
“Sono nato a Firenze e lavoro a scuola”
Questa frase è formata da due proposizioni:
p = Sono nato a Firenze; q = lavoro a scuola
La congiunzione
La congiunzione “e” in logica si indica con il
simbolo  .
Pertanto la frase precedente si traduce in
pq
Una frase con la congiunzione  è vera
soltanto se sono vere entrambe le proposizioni
che la compongono
La congiunzione
Quindi la frase precedente:
Sono nato a Firenze e lavoro a scuola
Risulta vera soltanto se sono vere tutte e due le
proposizioni: “sono nato a Firenze” e “lavoro a
scuola”.
Le tavole di verità
Dal momento che a noi interessa se la frase è
vera o falsa a seconda se sono vere o false le
proposizioni che la compongono, usiamo
le cosiddette Tavole di Verità,
all’interno delle quali mettiamo tutte le
combinazioni possibili Vero/Falso delle singole
Proposizioni.
Le tavole di verità
Innanzitutto che vuol dire tutte le possibili
combinazioni Vero Falso delle proposizioni?
Nel caso precedente abbiamo 4 combinazioni
possibili:
• vere tutte e due
• false tutte e due
• la prima vera e la seconda falsa
• la prima falsa e la seconda vera
Le tavole di verità
Nelle tavole di verità si rappresentano così :
p q
F F
F V
V F
V V
pq
F
F
F
V
Le combinazioni
Sappiamo che se abbiamo una proposizione
sola, abbiamo 2 sole combinazioni: o che sia
vera o che sia falsa. Il caso di 2 proposizioni
l’abbiamo visto prima: le combinazioni sono 4.
Sarebbe facile verificare che nel caso di 3
proposizioni, le combinazioni sono 8 e così via.
Vale il seguente
Teorema: se n è il numero delle proposizioni, le
n
possibili combinazioni Vero/Falso sono 2
Le combinazioni
Come fare per non dimenticarsene qualcuna? È sufficiente
seguire il seguente esempio nel caso le proposizioni siano 3 (p, q
ed r), e quindi le combinazioni possibili sono 8(  23 )
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r
F
V
F
V
F
V
F
V
prima colonna : un falso, un vero,
un falso un vero ecc.
seconda colonna : due falsi, due
veri, due falsi ecc.
terza colonna : quattro falsi,
quattro veri ecc.
La disgiunzione
Prendiamo ad esempio la frase:
“mangio la carne o mangio la verdura”
Questa frase è vera sia se mangio la carne, sia se
mangio la verdura, sia se mangio sia la carne che
la verdura.
La disgiunzione “o” in logica si indica col simbolo
Pertanto se poniamo: p = mangio la carne q = mangio
la verdura, la frase si traduce con

pq
Le tavole di verità
La tavola di verità della disgiunzione è quindi:
p q
F F
F V
V F
V V
pq
F
V
V
V
La negazione
Se considero la proposizione:
p = “la bottiglia è di vetro”
La sua negazione si indica con p e risulta
p = “la bottiglia non è di vetro”
Ovviamente se è vera p è falsa p mentre se
è falsa p è vera p
Le tavole di verità
La tavola di verità della negazione è quindi:
p
F
V
p
V
F
Implicazione logica
Si consideri la seguente frase:
“Se la fiorentina vincerà lo scudetto, brinderò con lo
champagne”.
Questa frase è falsa solo se la fiorentina vincerà lo
scudetto ed io non brinderò, mentre negli altri casi è
vera.
Posto p = “la fiorentina vincerà lo scudetto” e
q = “brinderò con lo champagne”, l’espressione si indica
con
pq
Implicazione logica
La tavola di verità dell’implicazione logica è
quindi:
p q
F F
F V
V F
V V
pq
V
V
F
V
Equivalenza logica
Si consideri la seguente frase:
“brinderò con lo champagne se e solo se la fiorentina
vincerà lo scudetto”.
Prima potevo brindare anche se la fiorentina non
avesse vinto lo scudetto, mentre adesso è specificato
che lo farò se e solo se ciò accadrà.
Quindi, per essere vera la precedente frase, o succedono
tutti e due gli eventi, oppure nessuno dei due.
Posto p = “brinderò con lo champagne” e
q = “la fiorentina vincerà lo scudetto”, l’espressione si indica
con
pq
Equivalenza logica
La tavola di verità dell’equivalenza logica è
quindi:
p q
F F
F V
V F
V V
pq
V
F
F
V
Osservazione importante
Se vale che
Allora vale:
E viceversa!
pq e
pq
q p
Problemi
L’equivalenza e l’implicazione logica trovano
applicazione in vari contesti. Vediamolo attraverso i
seguenti problemi.
Problema. In una classe di 8 femmine e 10 maschi, le 8
femmine indossano una maglietta rossa, mentre dei
maschi, 8 indossano una maglietta rossa e 2 una blu.
Posto p = “essere una femmina” e q = “indossare una
maglietta rossa” stabilire se esiste una implicazione o
un’equivalenza logica fra p e q
Problemi
Si osserva che se è vera p (essere una femmina) è vera
anche q (indossare una maglietta rossa). Quindi:
pq
Mentre se è vera q (indossare una maglietta rossa) non è
detto che sia vera p (essere una femmina). Quindi q
non implica p, e quindi non sono equivalenti.
Per esercizio rifare il problema con p = “essere un maschio”
e q = “indossare una maglietta blu”
Problema
Sia p = “essere un numero naturale divisibile per 3” e
q = “essere un numero naturale divisibile per 5”. Che
implicazioni ci sono fra p e q?
Si osserva che se un numero è divisibile per 3 non è
detto che sia divisibile per 5 (ad esempio 9). Quindi p
non implica q
Ma anche se un numero è divisibile per 5 non è
detto che sia divisibile per 3 (ad esempio 10). Quindi nemmeno q
implica p.
Quindi non vi è alcuna implicazione fra p e q
Problema
Robbie fa i compiti usando tre penne di colore diverso:
matematica in rosso, italiano un pò in blu e un pò in
nero e inglese tutto in blu. Posto p = “Robbie sta
facendo matematica” e q = “Robbie sta usando la
penna rossa”, stabilire le implicazioni fra p e q.
Si osserva facilmente che:
pq
Esercizi implicazioni logiche
Stabilire se esistono implicazioni o equivalenze fra p e q nei
seguenti casi
1) p = “numero divisibile per 8” e q = “numero divisibile per 2”
2) In una fabbrica ci sono 8 operai esperti e 5 apprendisti. Fra gli
operai esperti, 5 guadagnano 1700 euro e 3 1550 euro, mentre
gli apprendisti guadagnano tutti 800 euro.
p = “essere apprendista” q = “guadagnare 800 euro”
3) Stessa fabbrica di prima. p = “guadagnare 1700 euro”, q =
“essere operaio esperto”
4) p = “essere multiplo di 8” q = “essere multiplo di 6”
Le espressioni logiche (o frasi)
Con la congiunzione, la disgiunzione, la
negazione, l’implicazione e l’equivalenza logica,
possiamo costruire delle espressioni
logiche (frasi). Alle quali vogliamo associare la
relativa tavola di verità, come nel seguente
esempio:
Scrivere la tavola di verità della seguente
espressione logica
( p  q)  p
( p  q)  p
Costruiamo la tavola di verità
p
q
pq
p
( p  q)  p
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
Esempio
Scrivere la tavola di verità della frase:
( p  q)  ( p  q)
p q
F F
F V
pq
V
V
V F F
V V V
q
pq
( p  q)  ( p  q)
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Esercizi tavole di verità
Scrivere la tavola di verità delle seguenti
espressioni logiche:
1) ( p  q )  q
2) ( p  q )  p
3) q  ( p  q )
4) ( p  q )  r
5) ( p  q )  p
Definizioni
Un’espressione logica che è sempre vera si dice
Tautologia
Un’espressione logica che è sempre falsa si dice
contraddizione
Due espressioni logiche che hanno la stessa
tavola di verità si dicono equiveridiche
Esempio
Stabilire se la seguente espressione logica è una tautologia o
una contraddizione o nessuna delle due:
( p  q)  q  p
p q
q
pq
p
( p  q)  q  p
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
Esempio
Stabilire se la seguente espressione logica è una tautologia o
una contraddizione o nessuna delle due:
( p  q)  q
p q
q
FF
FV
VF
VV
V
F
V
F
p  q ( p  q)  q
F
F
F
F
F
V
F
F
Esempio
Stabilire se le seguenti espressioni logiche sono equiveridiche:
( p  q)  (q 
p q
pq
FF
FV
VF
VV
V
V
F
V
?
p)  p  q
q  p ( p  q)  (q  p) p  q
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
Esercizi (tautologie/contraddizioni)
Verificare se le seguenti espressioni algebriche sono
tautologie, contraddizioni o nessuna delle due
1) p  p
2) p  p
3) ( p  q )  q
4) ( p  q )  q
5) ( p  q )  ( p  q )
6) ( p  q )  q
7) ( p  p )  ( q  q )
Esercizi euiveridiche
Verificare se le seguenti formule sono equiveridiche
1)
2)
3)
4)
5)
6)
?
pqq p
? ( p  p)  ( p  q)
p  ( p  q) 
pq?
 pq
?
p  q  ( p  q)  p
?
q  ( p  q)  q
?
p  ( p  q)  ( p  p)  ( p  q)
L’orologio
• Dividete il quadrante di un orologio da parete
in tre parti. In ciascuna parte la somma dei
numeri contenuti deve essere uguale.
• Sapreste come tracciare le linee?
La fontana
Abbiamo 2 taniche: una da 5 litri e l’altra da 3
litri, e una fontana. Dobbiamo ottenere
esattamente 4 litri di acqua: come facciamo?
Quanti triangolini blu al posto di ?
La settimana
• Mario incontra due amici Luigi ed Ugo e gli chiede il
giorno della settimana. I due amici hanno però una
pessima abitudine, Luigi mente sempre il lunedì,
martedì e mercoledì mentre gli altri giorni dice sempre
la verità; Ugo invece mente sempre il giovedì, il
venerdì e il sabato e gli altri giorni della settimana dice
sempre la verità.
Alla richiesta di Mario di sapere che giorno è oggi, Luigi
dice: ieri era uno dei giorni in cui dico bugie e Ugo
ribatte anche per me ieri era uno di quei giorni in cui
dico sempre bugie.
Sapreste aiutare Mario a stabilire che giorno è oggi?
La bottiglia
• Mario per la sua festa di compleanno
organizza un party all’aperto. A inizio festa la
bottiglia di champagne pesa 1 kg e 225
grammi, a metà festa la bottiglia è mezza
piena e pesa 784 g, a fine festa la bottiglia è
completamente vuota. Sapreste calcolare il
peso della bottiglia a fine festa?