Introduzione alla
Presentazione a cura
della Prof. ssa
ANNUNZIATA DI BIASE
Settembre 2014
• Con PROPOSIZIONE intendiamo una qualsiasi
espressione linguistica per la quale ha senso chiedersi
se sia VERA o FALSA.
• Una proposizione può assumere solo uno dei due
valori
VERO (V) e FALSO (F).
Ad esempio:
•“Stefano è italiano”
•“Roma è in Asia”
•“Esiste un lago salato”
•“15 è un numero primo”
•“Tutti gli uomini sono mortali”
sono proposizioni.
• Le proposizioni vengono indicate con le lettere
maiuscole A, B, C, ..., P, ...
•Valgono poi i 3 principi fondamentali:
Principio di identità: ogni proposizione è uguale a sè
stessa.
Principio di non contraddizione: una proposizione
non può essere contemporaneamente vera o falsa.
Principio del terzo escluso: se una proposizione è
vera, la sua negazione è falsa e viceversa.
Quali dei seguenti enunciati sono proposizioni?
•Milano è la capitale d’Italia
SI
•Milano è la capitale d’Italia?
NO
•Nelle scuole è vietato fumare
SI
•Non fumare a scuola!
NO
•C’è vita fuori dal sistema solare
SI
•Magari l’uomo fosse in grado di volare!
NO
•Probabilmente Dio esiste
NO
•Si può fumare a scuola?
NO
Nel linguaggio comune, le frasi possono essere
negate o collegate fra loro per formare espressioni
più complesse mediante termini come non, e, o,
se,....
Anche le proposizioni possono essere negate o
collegate tra di loro e questo collegamento è
effettuato attraverso i CONNETTIVI.
• La NEGAZIONE è il connettivo che inverte il valore
di verità di una proposizione.
• Per indicare una negazione si usa il simbolo ¬ che si
legge NON.
Quindi:
•se la proposizione A è vera, la proposzione ¬A
è falsa,
•se la proposizione A è falsa, la proposzione ¬A
è vera.
Esempio:
Se
A= “Pluto è il cane di Topolino”
allora
¬A= “Pluto non è il cane di Topolino”
Esempio:
Se
A= “Napoleone è cinese”
allora
¬A= “Napoleone non è cinese”
vera
falsa
falsa
vera
Costruiamo la TAVOLA DI VERITA’ per il connettivo
logico della negazione:
A
V
¬A
F
F
V
La negazione si applica ad una proposizione e
restituisce il valore falso se la propozione è vera
mentre restituisce il valore vero se la propozione è
falsa.
Ma quanto vale la negazione della negazione di
una proposizione A, “¬(¬A)”?
Proviamo a costruirne la tavola di verità:
A
V
¬A ¬(¬A)
F
V
F
V
F
Questa proprietà per cui A e ¬(¬A) solo logicamente
equivalenti (legge della doppia negazione) si esprime
dicendo che “due negazioni affermano”.
Due negazioni affermano:
Dire
“Non è vero che Marco non ha sbagliato”
equivale a dire:
“Marco ha sbagliato”.
• La CONGIUNZIONE è un connettivo che si
applica a due proposizioni, A e B. La proposizione
risultante è vera se entrambe le proposizioni A e B
sono vere ed è falsa in tutti gli altri casi;
• si indica con il simbolo ;
• la proposizione A  B si legge “A e B”;
• A e B si dicono congiunte.
Costruiamo la tavola di verità per la congiunzione.
Abbiamo detto che la congiunzione è vera se entrambe
le proposizioni A e B sono vere ed è falsa in tutti gli altri
casi, quindi:
A
B
AB
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La congiunzione è come l’intersezione tra i due
insiemi: A ∩ B
A
B
Esempi:
•Carlo è ligure e Stefano è piemontese.
•Angelo e Massimo sono studenti al Liceo
•Noi siamo al Liceo e stiamo studiando
ATTENZIONE!
In molte circostanze, la e del linguaggio comune non
corrisponde alla congiunzione logica:
“Carlo e Dario sono amici”
non equivale a
“Carlo è amico e Dario è amico”.
• La DISGIUNGIONE è un connettivo che si applica a
due proposizioni, A e B. La proposizione risultante è
vera se almeno una delle due proposizioni A e B sono
vere ed è falsa se entrambe sono false;
• si indica con il simbolo ;
• la proposizione A  B si legge “A o B”;
• A e B si dicono disgiunte.
Costruiamo la tavola di verità per la disgiunzione.
Abbiamo detto che la disgiunzione è vera se almeno una
delle due proposizioni A e B sono vere ed è falsa se
entrambe sono false, quindi:
A
B
AB
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
La disgiunzione è come l’unione tra i due
insiemi: A  B
A
B
Ricapitoliamo:
Che cosa si intende per proposizione?
Con PROPOSIZIONE intendiamo una qualsiasi
espressione linguistica per la quale ha senso chiedersi se
sia VERA o FALSA.
Che cosa si intende per proposizione composta?
Le proposizioni possono essere di due tipi: sono
SEMPLICI quando non contengono, al loro interno,
altre proposizioni, altrimenti si dicono COMPOSTE.
Cosa dice la legge della doppia negazione?
Due negazioni affermano
Ma
come si fa a costruire la tavola di verità di ¬A  ¬B ?
¬A  ¬B
A
B
¬A
¬B
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Tabella n. 1
Ma
come si fa a costruire la tavola di verità di ¬A(  B) ?
A
B
A  B ¬(A  B)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Tabella n. 2
F
V
V
V
Ma
come si fa a costruire la tavola di verità di ¬A  ¬B ?
¬A  ¬B
A
B
¬A
¬B
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
Tabella n. 3
Ma
come si fa a costruire la tavola di verità di ¬(A  B) ?
A
B
A  B ¬(A  B)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Tabella n. 4
F
F
F
V
Confrontando le due tavole di verità (la
tabella n. 1 e n. 4) cosa noti? Che la
negazione della proposizione A e B è
uguale alla negazione di A o la negazione
di B
¬ (A  B) = ¬A  ¬B
Confrontando le due tavole di verità (la
tabella n. 2 e n. 3) cosa noti? Che la
negazione della proposizione A o B è
uguale alla negazione di A e la negazione
di B
¬ (A  B) = ¬A  ¬B
1° LEGGE DI DE MORGAN
¬ (A  B) = ¬A  ¬B
2° LEGGE DI DE MORGAN
¬ (A  B) = ¬A  ¬B
Esempio della prima legge di De Morgan
A: Sergio segue un programma alla TV
B: Paolo suona la chitarra
A  B: Sergio segue un programma alla TV e
Paolo suona la chitarra
¬A: Sergio non segue un programma alla TV
¬B: Paolo non suona la chitarra
¬ (A  B): E’ falso che Sergio segue un
programma alla TV e che Paolo suona la
chitarra
¬A  ¬B: Sergio non segue un programma alla
TV o Paolo non suona la chitarra
Esempio della seconda legge di De Morgan
A: Sergio segue un programma alla TV
B: Paolo suona la chitarra
A  B: Sergio segue un programma alla TV o
Paolo suona la chitarra
¬A: Sergio non segue un programma alla TV
¬B: Paolo non suona la chitarra
¬ (A  B): E’ falso che Sergio segue un
programma alla TV o che Paolo suona la
chitarra
¬A  ¬B: Sergio non segue un programma
alla TV e Paolo non suona la chitarra
I termini, “tutti”, “vi è”, “ogni”, “almeno un”, “esiste”,
sono detti QUANTIFICATORI, perché sono relativi alla
“quantità” di individui che entrano in gioco nel
discorso.
IN PARTICOLARE, RICORDIAMO:
Per ogni
Quantificatore UNIVERSALE (")
Esiste
Quantificatore ESISTENZIALE ($)
“Per ogni individuo....” significa: tutti gli individui
soddisfano...
“Esiste un individuo...” significa: vi è almeno un
individuo che soddisfa...
FINE PRESENTAZIONE