Analisi e Gestione del Rischio
Lezione 5
Calcolo della volatilità
La scelta dell’informazione
• Informazione storica
– Vantaggi: dati storici possono essere usati per la previsione di rischi
futuri su un largo numero di mercati
– Svantaggi: la storia non si ripete mai nello stesso modo, ed è difficile
prevedere i cambiamenti strutturali, che sono invece al centro
dell’interesse del risk-manager
• Informazione implicita
– Vantaggi: l’analisi cross-section dei prezzi (es volalità implicite) può
estrarre la previsione di mercato del rischio, inclusi i cambiamenti
strutturali
– Svantaggi: è disponibile per un numero limitato di mercati
sufficientemente liquidi.
• L’informazione cui è interessato il risk-manager riguarda la
distribuzione dei rendimenti, in prima approssimazione la loro
volatilità.
Volatilità storica
• Un’alternativa alla stima della volatilità implicita è
l’utilizzo della volatilità storica
• La volatilità storica non richiede la presenza di un
mercato delle opzioni liquido, ed è applicabile ad
un largo numero di mercati
• La stima della volatilità storica è pero rivolta al
passato (backward looking) e soggetta a due
problemi
– Rischio di stima della volatilità
– Rischio di modello (fluttuazione della volatilità)
Il rischio di stima
• Il rischio di stima della volatilità, rispetto
allo stimatore classico di volatilità, può
essere ridotto ricorrendo a informazione su
– Quotazioni di apertura e di chiusura della
giornata
– Quotazioni massime e minime della giornata
• Stimatori: i) Garman e Klass; ii) Parkinson;
iii) Rogers e Satchell; iv) Yang e Zhang
Rischio di stima (1)
• Oi e Ci rispettivamente prezzi di apertura e
chiusura del giorno i.
• Hi e Li rispettivamente prezzi massimo e
minimo del giorno i.
2
T 

H i  Li  
1
2
• Parkinson:
̂ P   

T i 1  4 ln 2 
2
2



Oi  Ci 1 
H i  Li  
1
2
̂ P   a
 1  a 

1  f 4 ln 2 
T i 1 
f
T
• GK
Rischio di stima (2)
• Definiamo: oi = Oi – Ci-1, hi = Hi – Oi, li = Li
– Oi, ci = Ci – Oi. Inoltre 2o e 2c sono le
varianze calcolate sui prezzi di apertura e
chiusura rispettivamente
T
1
2
  hi hi  ci   li li  ci 
• Rogers-Satchell : ̂ RS
T
i 1
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ


• Yang-Zang:  YZ   O  k C  1  k  RS
Rischio di stima (3)
• Parkinson: 5 volte più efficiente
– Rendimento medio = 0; “opening jump” f = 0
• Garman e Klass: 6 volte più efficiente
– Rendimento medio = 0; “opening jump” f  0
• Rogers e Satchell:
– Rendimento medio  0; “opening jump” f = 0
• Yang e Zhang:
– Rendimento medio  0; “opening jump” f  0
26
/0
9/
00
27
/0
9/
00
28
/0
9/
00
29
/0
9/
00
30
/0
9/
00
01
/1
0/
00
02
/1
0/
00
03
/1
0/
00
04
/1
0/
00
05
/1
0/
00
06
/1
0/
00
07
/1
0/
00
08
/1
0/
00
09
/1
0/
00
10
/1
0/
00
11
/1
0/
00
12
/1
0/
00
13
/1
0/
00
Esempio: dati sul Mib30
47000
46000
45000
44000
43000
42000
41000
I risultati dell’elaborazione
Data
27/09/00
28/09/00
29/09/00
02/10/00
03/10/00
04/10/00
05/10/00
06/10/00
09/10/00
10/10/00
11/10/00
12/10/00
13/10/00
h
1.57304%
0.00000%
0.24260%
1.87499%
0.72456%
0.59880%
0.15623%
0.17383%
0.00222%
0.29532%
0.12797%
0.54148%
3.39528%
l
0.00000%
-1.42275%
-0.97856%
0.00000%
-0.48452%
-0.67934%
-0.49416%
-1.60912%
-1.25356%
-0.77015%
-1.77694%
-2.07786%
0.00000%
Volatilità
Numero Osservazioni
o
c
(h - l)^2/(4*ln2)
h(h-c)+l(l-c)
-1.08562%
0.90659%
0.00892%
0.01048%
0.39039%
-0.79109%
0.00730%
0.00899%
0.26074%
-0.81075%
0.00538%
0.00420%
-0.34253%
1.72715%
0.01268%
0.00277%
-0.06747%
0.11533%
0.00527%
0.00732%
-0.42497%
0.19419%
0.00589%
0.00836%
0.37639%
-0.19563%
0.00153%
0.00202%
0.05003%
-1.45675%
0.01147%
0.00529%
-0.45117%
-0.97338%
0.00569%
0.00353%
0.65145%
-0.12238%
0.00409%
0.00622%
-0.89458%
-1.27056%
0.01309%
0.01079%
0.56945%
-1.48141%
0.02475%
0.02335%
-1.41515%
3.39528%
0.04158%
0.00000%
Apertura
Chiusura
Parkinson
Rogers-Satchell
0.65599%
1.40101%
1.06566%
0.84726%
13
Yang-Zhang k=0.1875
1.17542%
Rischio di modello
• Oltre al rischio di stima, la volatilità stessa del
mercato può cambiare nel corso del tempo.
• Modelli Garch: shock che raggiungono il
rendimento ne modificano la volatilità al periodo
successivo
• Modelli a volatilità stocastica: la volatilità del
rendimento è influenzata da shock che possono
essere correlati con shock che raggiungono il
rendimento stesso (ma la correlazione non è
perfetta)
03/01/00
03/11/99
03/09/99
03/07/99
03/05/99
03/03/99
03/01/99
03/11/98
03/09/98
03/07/98
03/05/98
03/03/98
03/01/98
03/11/97
03/09/97
03/07/97
03/05/97
03/03/97
03/01/97
03/11/96
03/09/96
03/07/96
03/05/96
03/03/96
03/01/96
03/11/95
03/09/95
03/07/95
03/05/95
03/03/95
La volatilità del Mib30
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Modelli Garch(p,q)
• La distribuzione del rendimento condizionale alla
volatilità è normale, ma la volatilità varia nel tempo
con un processo autoregressivo di tipo ARMA(p,q).
Ad es. il Garch(1,1) è:
 t ~ N 0,  t 
Rt   t
    
2
t
2
1 t 1
 1
2
t 1
Garch: ABC…
• In un modello Garch la distribuzione NON
condizionale dei rendimenti non è normale, ed in
particolare ha code “grasse” (“fat-tails”): eventi
estremi sono più probabili rispetto alla
distribuzione normale
• In un modello Garch la varianza futura è prevista
ricursivamente
dalla formula
2
2
ˆ t i    1  1 ˆ t i 1
• Il grado di persistenza è dato da 1 + 1  1
Un Garch particolare…
• Assumiamo:  = 0 e 1 + 1 = 1. In questo
caso abbiamo un Garch integrato (Igarch):
– i) la volatilità è persistente: ogni shock rimane
per sempre nella storia della volatilità
– ii) il miglior previsore della volatilità al tempo t
+ i è quella al tempo t + i – 1.
– iii) la volatilità al tempo t è data da (  1)
  1   
2
t
2
t 1
 
2
t 1
…di nome EWMA
• Notiamo che l’IGarch(1,1) con  = 0 corrisponde a
un modello in cui la volatilità è calcolata come una
media mobile a pesi che decadono esponenzialmente
(EWMA).
• Il modello, con parametro  = 0.94, è impiegato da
RiskMetrics™ per valutare volatilità e correlazioni.
• Il modello corrisponde a una stima di volatilità che
pesa in maniera decrescente le osservazioni più
recenti (il parametro usato corrisponde a 75
osservazioni)
Stime di volatilità: il Mib30
Ghost feature
• La modulazione dei pesi nella opzione EWMA
consente di ridurre il cosiddetto problema della
ghost feature nei dati
• Ghost feature: uno shock continua a avere effetto
sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui resta
nel campione, e quando ne esce la stima di VaR
cambia senza un motivo apparente. Attribuire pesi
via via decrescenti agli shock attutisce questo
fenomeno.