Introduzione
Volatilità integrata e variazione quadratica
Errori di misura ed effetti microstrutturali
I Salti
I Modelli
La Volatilità Realizzata
Paolo Santucci de Magistris1
Dipartimento di Economia Politica e Metodi Quantitativi
Università di Pavia
Pavia, 26 Marzo 2008
Paolo Santucci de Magistris
La Volatilità Realizzata
Introduzione
Volatilità integrata e variazione quadratica
Errori di misura ed effetti microstrutturali
I Salti
I Modelli
Outline
1
Introduzione
Modelli parametrici
Modelli non parametrici
2
Volatilità integrata e variazione quadratica
La distribuzione di RV
3
Errori di misura ed effetti microstrutturali
Analisi di cointegrazione
4
I Salti
5
I Modelli
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Introduzione
Volatilità integrata e variazione quadratica
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I Salti
I Modelli
Modelli parametrici
Modelli non parametrici
La necessità di una buona stima della volatilità, come misura
del rischio, ha origine da differenti necessità:
asset allocation;
risk management;
option pricing
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Modelli parametrici
Modelli non parametrici
Diverse nozioni di volatilità:
Volatilità Integrata
Volatilità attesa
Volatilità istantanea, spot volatility
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Modelli parametrici
Modelli non parametrici
Il termine volatilità integrata, si riferisce alla variabilità cumulata
ex post dal processo osservato del rendimento. Due approci
per l’analisi empirica:
Modelli parametrici;
Modelli non parametrici;
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Modelli parametrici
Modelli non parametrici
I modelli ARCH e GARCH, appartengono alla classe di modelli
completamente specificati per la volatilità ex ante .
corretta specificazione del modello;
tutta l’informazione al tempo t − 1 è osservabile;
La volatilità è predeterminata al periodo t − 1.
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Modelli parametrici
Modelli non parametrici
I modelli di volatilità stocastica, ne descrivono la dinamica
attraverso un’equazione differenziale stocastica per il moto.
L’idea è quella di includere due innovazioni separate (MDH
hypotesis), una per la media dei rendimenti, l’altra per legare il
processo latente della volatilità alla media.
Processo informativo latente;
Tecniche per inferire la volatilità stocastica dal processo
del moto.
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Modelli parametrici
Modelli non parametrici
I modelli non parametrici utilizzano tutta l’informazione ex post,
Ft , per estrarre misure della volatilità integrata.
Range: Proxy della volatilità integrata, usa la differenza
minimo-massismo giornaliera;
Volatilità Realizzata: Misura direttamente la volatilità
integrata, rispetto ad intervalli di lunghezza fissa, h > 0;
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La distribuzione di RV
Supponiamo che il processo del logaritmo del prezzo sia un
processo diffusivo
dpt = µt dt + σt dWt
che descrive le traiettorie di una semimartingala a tempo
continuo. µt è il drift mentre σt è la volatilità spot, Wt è il
processo di Wiener al tempo t.
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La distribuzione di RV
Possiamo definire un’equazione per i rendimenti come:
Z
t
Z
rt = pt − pt−1 =
t
µs ds +
t−1
σs dWs
(2)
t−1
e da qui il termine volatilità integrata, IVt
Z
t
IVt =
σs ds
(3)
t−1
Se si assume che la la variazione del drift sia trascurabile,
allora si dimostra che Var (rt |Ft ) = E(IVt |Ft−1 ), per cui la
varianza condizionale (modelli ARCH) corrisponde alla volatilità
integrata. La IVt è la realizzazione ex post.
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La distribuzione di RV
Barndorff-Nielsen e Shepard(2002) hanno introdotto il concetto di
variazione quadratica, QV, in questo ambito. Si ridefinsca l’equazione
1 come
Yt = αt + mt
(4)
dove αt è il termine di drift, mentre mt è una martingala locale La
variazione quadratica di Yt è
[Yt ] = plimM→∞
tj ≤t
X
(Ytj − Ytj−1 )2
(5)
j=1
cumula i cambiamenti lungo uno specifico orizzonte temporale.
Assumendo che αt sia prevedibile, allora
[Yt ] = [mt ]
da cui si ha che, data l’equazione 2, si ottiene
Z t
[rt ] =
σs ds = IVt
t−1
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(6)
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La distribuzione di RV
Uno stimatore della variazione quadratica è la volatilità
realizzata, definita come
RVt =
h/δ
X
2
rt+j∗δ,δ
(8)
j=1
In particolare, Andersen et al (2001) hanno dimostrato che RV
converge in probabilità a QV quando M, il numero di
osservazioni intragiornaliere, diverge.
Campionando i prezzi ad intervalli sempre più brevi, δ → 0, si
annullerà l’errore di misurazione e RV convergerà a IV.
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La distribuzione di RV
Qual’ è la distribuzione asintotica di RV? Barndorff Nielsen e
Shepard(2002) hanno derivato la seguente approssimazione
asintotica alla distribuzione della volatilità realizzata:
PM 2 R hi
2
j=1 yj,i − h(i−1) σs ds
q P
→ N(0, 1)
(9)
M
2
4
y
j=1
j,i
3
al denominatore la realized quarticity che approsissima la
volatilità della volatilità.
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Analisi di cointegrazione
I dati empirici ad alta frequenza differiscono dal processo
arbitrage free per il prezzo, rendendo lo stimatore RV distorto.
Varie soluzioni, tra le altre:
Utilizzare dati campionati a frequenze meno elevate (5
minuti), trade off varianza-distorsione,
Analisi di cointegrazione (Hansen e Lunde (2006))
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Analisi di cointegrazione
Hansen e Lunde (JBES 2006) presentano una procedura per
ottenere il prezzo efficiente su cui basare la stima della RV:
p ti è il vettore (3 × 1) del transaction price, l’ask e il bid all’
i-esima transazione intragiornaliera i;
si scrive la dinamica di p ti come un VECM;
la matrice di cointegrazione β è formata da due vettori di
cointegrazione:


1 0
β =  − 12 1 
− 12 1
Il trend stocastico comune, cioè il prezzo efficiente, si
ottiene dal teorema di rapresentazione di Granger:
pti ∗ = (α0⊥ Γβ ⊥ )−1
i
X
α0⊥ tj
j=1
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I Modelli
Essere in grado di scomporre l’ammontare di varianza in una
parte continua e una di salto è fondamantale. Barndorff-Nielsen
e Shephard introducono il cocetto i bipower variation, come
M
πX
|rt,i ||rt,i−1 |
BVt =
2
(11)
i=2
mentre il processo del prezzo è
dpt = µt dt + σt dWt + kt dqt
Rt
P
pertanto [rt ] = 0 σs2 ds + 0≤s≤t ks2 .
I salti si ottengono per differenza
X
p lim RVt (δ) − BVt (δ) =
ks2
δ→0
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t−1≤s≤t
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(13)
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I Modelli
Huang e Tauchen suggeriscono un due misure per i salti:
Relative Jump
RJt =
RVt − BVt
RVt
(14)
che è un indicatore del contributo dei salti (se presenti) alla
variazione totale intragiornaliera del processo.
Excess Jump
EJt =
RVt − BVt
BVt
(15)
che è un indicatore del contributo in eccesso di ciascun
salto.
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I Modelli
Nel momento in cui si è ottenuta la misura non parametrica
della volatilità realizzata, si possono implementare modelli
parametrici al fine di prevedere e descrivere alcune
caratteristiche delle serie sotto esame. Alcuni fatti stilizzati:
La distribuzione della volatilità realizzata è asimmetrica ed
ha più curtosi della normale. Invece, il logaitmo della RV è
Gaussiano;
Effetto leverage;
Cluster di volatilità;
La volatilità realizzata è frazionalmente integrata, questo
significa che uno shock sulla volatilità si smorza molto
lentamente. Il grado di persistenza può essere misurato
attraverso il coefficiente d nella forma (1 − L)d RVt ;
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I Modelli
L’operatore (1 − L)d introduce una espansione infinita di termini
nell’opratore ritardo, vedi Hosking(1981):
(1 − L)d xt = at ⇒ xt =
(∞)
X
ψ(k )at
(16)
k =0
dove
ψ(k ) =
(k − d − 1)! k
L
(d − 1)!k !
(17)
Per k → ∞,
k d−1 /(d − 1)!
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(18)
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I Modelli
La stima del parametro d può essere effettuata almeno in 3
modi:
massima verosimiglianza imponendo un troncamento
all’espansione infinita;
Metodo di Geweke Porter-Hudak(1984), regression del
periodogramma sulle frequenze;
Stimatore ML di Whittle (Fox and Taqqu (1986));
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I Modelli
Al fine di catturare la persistenza della serie della volatilità
realizzata, Andersen et al. hanno suggerito di utilizzare il
modello ARFIMA(p,d,q):
p
(19)
φ(L)(1 − L)d ( RVt − µ) = ψ(L)ut
Alternativamente all’ARFIMA, Corsi (2003) ha suggerito una
semplice modelizzazione della memoria lunga attravrso
un’equazione autoregressiva vincolata, chiamata HAR-RV:
(d)
(d)
RVt+1d = c + β (d) RVt
(w)
+ β (w) RVt
(m)
+ β (m) RVt
+ ωt+1d (20)
a cui si aggiunge la versione con specificazione GARCH per la
volatilità della volatilità realizzata.
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I Modelli
La volatilità realizzata può essere anche utilizzata come
benchmark di riferimento ex post per valutare la bontà della
stime della volatilità fatte ex ante attraverso modelli di volatilità
condizionale; Lunde and Hansen(2001), per valutare la bontà
di previsione dei modelli GARCH, hanno implementato 6
funzioni di perdita quadratiche del tipo:
n−1
n
X
(σt − ηt )2
(21)
i=1
dove σt è la volatilità latente, mentre ηt è la sua stima con
modelli parametrici. Essi trovano che il GARCH(1,1) è quasi
sempre il modello migliore.
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Un’altra applicazione, che rende la volatilità realizzata un
buono strumento per la gestione del rischio, è il Value at Risk. Il
Value at Risk è il quantile della distribuzione dei rendimenti
attesi al livello di significatività α. Data l’evidente non nomalità
dei rendimenti, ipotizzare che essi siano gaussiani porta ad
una sottostima del rischio. Ipotizzando che la non normalità dei
rendimenti sia dovuta all’eteroschedastcità, diviene necessario
lavorare con una buona misura della volatilità attesa.
Da qui l’esigenza di un buon modello previsivo per la volatilità
realizzata.
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