Assicurazioni vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 7
Analisi di Sensitività – Greek Letters
Il modello di Black & Scholes
• Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di
distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello
nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo
forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)
call Y , t ; K , T   Y t N d1   v t , T KN d 2 
ln F Y , t  / K   1 / 2 2 T  t 
d1 
 T t
d 2  d1   T  t
Prezzi di opzioni put
• Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà
della normale standard secondo la quale: 1 – N(a)
= N(– a) otteniamo
put Y , t ; K , T   Y t N  d1   v t , T KN  d 2 
ln F Y , t  / K   1 / 2 2 T  t 
d1 
 T t
d 2  d1   T  t
Ancora su ENEL
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Data di valutazione 16/03/2005
Data di esercizio 15/05/2005
Prezzo a pronti ENEL 7,269
Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66
Prezzo forward Enel:
7,269/0,9966 = 7,2937989
Prezzo strike: 7,6
Volatilità: 16,38%
Delta Call = N(–0,58602) = 27,8931%
Leverage = 7,6 x N(–0,652432) = 1,9536652
Prezzo = 7,269 x 0,278931 – 0,9966 x 1,9536652
= 0,0805254 = prezzo di mercato
Greek letters
• Delta: è la derivata del contratto rispetto al prezzo
del titolo sottostante.
• Fornisce la quantità del sottostante da comprare e
vendere per rendere il portafoglio “localmente”
privo di rischio. Notate che il delta cambia al
cambiare del valore del sottostante e del tempo
all’esercizio.
• Il delta della call delta è N(d1) e quello della put è
N(d1) – 1.
Delta
1.000
0.800
0.600
0.400
Delta
0.200
0.000
60
80
100
120
140
-0.200
-0.400
-0.600
-0.800
-1.000
Sottostante
160
180
200
Call
Put
Gamma
• Poiché il delta cambia al variare del sottostante,
dobbiamo tenere conto di un effetto del secondo
ordine, il gamma
• Si noti che dalla relazione di non-arbitraggio tra
prezzi di opzioni call e put abbiamo che
delta(put) = delta(call) – 1, ed il gamma è lo
stesso per opzioni call e put. In Black & Scholes
N d1 
d1
nd1 

 nd1 

Y t 
Y t  Y t  T  t
Gamma
0.025
0.02
Gamma
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
100
Sottostante
120
140
160
180
200
Theta
• Il valore di un’opzione cambia anche con il
passare del tempo
• Il valore del theta è ottenuto osservando che
per l’equazione di non-arbitraggio di Black
& Scholes deve valere
1 2 2
   Y   Y t   g t   0
2
Theta
6
4
2
0
Theta
30
80
130
-2
-4
-6
-8
Sottostante
180
230
Call
Put
Un’espansione in serie di Taylor
• Ricordiamo che un contratto derivato è
funzione del prezzo del sottostante e del
tempo. Per questo, il delta, il gamma ed il
theta sono le sole “greek letter” che hanno
senso, e ogni derivato g può essere
approssimato dall’espansione di Taylor
1
g Y (t  dt ), t  dt   g Y (t ), t   dt  dY  dY 2
2
Analisi di sensitività
• E’ uso diffuso analizzare il comportamento del
valore del derivato al variare dei parametri, come
ad esempio il tasso d’interesse (ed il dividend
yield) e la volatilità
• La sensitività al rischio di tasso è chiamata “rho”
call (Y , t ; K , T )
rhoC 
 T  t KN d 2 

put (Y , t ; K , T )
rhoP 
 T  t KN d 2 

…ma è molto più rilevante la sensitività al
parametro di volatilità…
Rischio di volatilita’
• Molti trader basano le loro strategie sulla
sensitività di un “libro” di opzioni alle previsioni
di volatilità, e usano la misura nota come vega
call (Y , t ; K , T ) put (Y , t; K , T )
vega 

 Y t  T  t nd1 


• Altri ancora più sofisticati usano anche la derivata
seconda e la derivata incrociata rispetto al
sottostante (vomma e vanna)
Vega
40
35
30
Vega
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
Sottostante
200
250
Volatilità implicita
• La volatilità 16,38% è stata selezionata per
ottenere il prezzo osservato sul mercato.
• Questo concetto è noto come volatilità
implicita e rappresenta un esempio di
informazione implicita estratto dai dati di
mercato.
• Si noti che il modello di Black e Scholes è
basato sull’ipotesi che la volatilità sia costante.
Il mondo di Black e Scholes
• La volatilità è costante, che equivale a dire che i
rendimenti sono distribuiti normalmente
• I portafogli di replica sono ribilanciati senza costo
nel tempo continuo, e i derivati possono essere
replicati esattamente (mercati incompleti)
• I derivati non sono soggetti a rischio di
controparte cioè il rischio che la controparte
possa non tenere fede alle proprie oibbligazioni.
Oltre Black & Scholes
• Il modello di Black & Scholes implica la stessa
volatilità per ogni contratto derivato
• Dal crash del 1987, questa regolarità non è
supportata dai dati
– La volatilità implicita varia per diversi strike
(smile effect)
– La volatilità implicita varia per diverse date di
esercizio (struttura a termine di volatilità)
• Il sottostante non ha distribuzione log-normale.
Smile, please!
Smiles in the equity markets
4
3,5
Implied Volatility
3
2,5
Mib30
SP500
FTSE
Nikkei
2
1,5
1
0,5
0
0,8
0,85
0,9
0,95
1
1,05
Moneyness
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3