Volatilità e informazione implicita
Il modello di Black & Scholes
• Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di
distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello
nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo
forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)
call Y , t ; K , T   Y t N d1   v t , T KN d 2 
ln F Y , t  / K   1 / 2 2 T  t 
d1 
 T t
d 2  d1   T  t
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Prezzi di opzioni put
• Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà
della normale standard secondo la quale: 1 – N(a)
= N(– a) otteniamo
put Y , t ; K , T   Y t N  d1   v t , T KN  d 2 
ln F Y , t  / K   1 / 2 2 T  t 
d1 
 T t
d 2  d1   T  t
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Volatilità implicita
• La volatilità utilizzata è selezionata per ottenere
prezzi coerenti con quelli osservati sul mercato.
• Questo concetto è noto come volatilità
implicita e rappresenta un esempio di
informazione implicita estratto dai dati di
mercato.
• Si noti che il modello di Black e Scholes è
basato sull’ipotesi che la volatilità sia costante.
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Il mondo di Black e Scholes
• La volatilità è costante, che equivale a dire che i
rendimenti sono distribuiti normalmente
• I portafogli di replica sono ribilanciati senza costo
nel tempo continuo, e i derivati possono essere
replicati esattamente (mercati completi)
• I derivati non sono soggetti a rischio di
controparte cioè il rischio che la controparte
possa non tenere fede alle proprie oibbligazioni.
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Oltre Black & Scholes
• Il modello di Black & Scholes implica la stessa
volatilità per ogni contratto derivato
• Dal crash del 1987, questa regolarità non è
supportata dai dati
– La volatilità implicita varia per diversi strike
(smile effect)
– La volatilità implicita varia per diverse date di
esercizio (struttura a termine di volatilità)
• Il sottostante non ha distribuzione log-normale.
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Smile, please!
Smiles in the equity markets
4
3,5
Implied Volatility
3
2,5
Mib30
SP500
FTSE
Nikkei
2
1,5
1
0,5
0
0,8
0,85
0,9
0,95
1
1,05
1,1
1,15
U. Cherubini /Moneyness
G. Lusignani - Università di Bologna
1,2
1,25
1,3
7
8
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9
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
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Informazione implicita
• Nel mondo di Black e Scholes, a volatilità costante, e
distribuzione normale dei rendimenti, la volatilità implicita
di una opzione qualsiasi racchiude tutta l’informazione
implicita nei mercati.
• Dopo Black e Scholes, si prova a estrarre da tutte le
opzioni scambiate sul mercato per una stessa data di
esercizio l’intera distribuzione aggiustata per il rischio dei
prezzi (informazione implicita) utilizzando l’approccio di
Breeden e Litzemberger.
• Più recentemente prezzi di opzioni con strike e tempi di
esercizio diversi sono stati utilizzati per estrarre la
dinamica implicita dei prezzi (alberi impliciti)
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Digitali…
Digital CoN
1,2
1
0,8
0,6
Digital CoN
0,4
0,2
13
0
48
48,5
49
49,5
50Lusignani - Università
50,5 di Bologna 51
U. Cherubini / G.
51,5
52
…e spread verticali (super-replica)
Spread verticali e opzioni digitali
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
48
48.5
49
49.5
50
50.5
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
51
51.5
52
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Probabilità implicita nelle call…
• Ricordiamo che il valore dell’opzione digitale
cash-or-nothing (CoN) è dato da
Digital Call CoN = P(t,T)Q( S(T) > K)
• Sappiamo anche che il pay-off può essere
approssimato da
Call K - h   Call K 
Call K 
Digital Call CoN  lim

h 0
h
K
1 Call K 
…da cui QS T   K   
Pt , T  K
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…e nelle put
• La stessa analisi può esser fatta per l’opzione put
digitale, cioè che paga un’unità di valuta se S(T)
K
Digitale Put CoN = P(t,T)Q( S(T)  K)
• Allo stesso modo l’approssimazione da dati di
mercato è
Put K   Put K - h  Put K 

h 0
h
K
Digitale Put CoN  lim
…da cui
1 Put K 
QS T   K  
Pt , T  K
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Probabilità implicita
S&P Mib – Aprile
1,2
1
0,8
Smile
Gaussian
0,6
0,4
0,2
17
0
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
U. Cherubini
/ G. Lusignani
- Università di Bologna
0,15
0,2
Probabilità implicita
S&P Mib Maggio
1
0,9
0,8
0,7
0,6
Smile
Gaussian
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
18
0
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05 - Università di Bologna
0,1
U. Cherubini
/ G. Lusignani
0,15
0,2
Eventi estremi: aprile
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
Smile
Gaussian
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
19
0
-0,15
-0,1
-0,05
U. Cherubini / G.0Lusignani - Università0,05
di Bologna
0,1
0,15
Eventi estremi: maggio
0,6
0,5
0,4
Smile
Gaussian
0,3
0,2
0,1
0
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna
0,1
0,15
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Alberi Impliciti
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