I modelli di valutazione delle
opzioni su tassi
Una tassonomia dei modelli
multifattoriali
Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi
Motivazioni per cogliere la
complessità
I modelli a 1 fattore che cercano di cogliere la
dinamica del tasso spot mediante un processo
stocastico non possono sperare di catturare
tutta la ricchezza della struttura della curva dei
tassi.
In generale il tasso spot può modellare il livello
dei rendimenti ma non gli shift che avvengono
in modo differente alle diverse scadenze
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Motivazioni per cogliere la
complessità
Per gli strumenti che dipendono dal
livello del tasso questo elemento non è
particolarmente significativo
Alcuni prodotti più sofisticati dipendono
dalla differenza fra diverse scadenze
quindi è necessario cogliere gli
spostamenti della curva
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Motivazioni per cogliere la
complessità
Un modo per fare ciò è introdurre un ulteriore
fattore come seconda fonte di casualità
In generale, questa logica può generare
modelli con numeri anche molto elevati di
fattori
Vedremo soprattutto i modelli a 2 fattori
Il secondo fattore è, molto spesso, un tasso di
lungo termine, ma può essere l’inclinazione
della curva su un determinato nodo o la
volatilità del tasso spot.
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Il modello generale per i
modelli a 2 fattori
Si supponga che uno titolo ZC dipenda da due
variabili:
1)
Il tasso spot (r)
2)
Un’altra variabile (l) che per ora non specifichiamo
Il titolo con scadenza T avrà un prezzo Z(r; l; t; T).
Le variabili soddisfano le seguenti:
dr = udt + wdX1
dl = pdt + qdX2
Dove le variabili u, w, p e q sono funzioni di r, l e t.
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Il modello di
Brennan-Schwartz
Il modello proposto nel 1982 da Brennan e Schwarz
si basa sul tasso spot e su quello a lunga
scadenza
dr = (a1 + b1(l - r))dt + σ1rdX1
dl = l(a 2 - b2r + c2l)dt + σ2ldX 2
I parametri vengono scelti in modo statistico (sul
mercato dei bond canadesi)
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Il modello di
Brennan-Schwartz
Poiché la forma funzionale del modello è
abbastanza complessa, non esistono
semplici soluzioni per il pricing dei titoli
obbligazionari
I termini casuali, infatti, in queste due
equazioni stocastiche sono in forma
lognormale ma il drift è più complicato
avendo un elemento di mean reversion
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Il modello di
Brennan-Schwartz: i vantaggi
1)
I rendimenti dei titoli con diverse
scadenze non sono correlati fra loro
2)
L’adozione di due differenti tassi di
interesse come fattori
3)
Possibilità di generalizzazione con
soluzione in forma chiusa
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Il modello di
Brennan-Schwartz: i limiti
1)
I tassi a breve e a lunga scadenza devono
soddisfare determinati vincoli di consistenza
interna.
2)
È stato dimostrato da Hogan (1993) che il
modello può esplodere in un tempo finito fino a
determinare tassi di interesse infiniti. Questa
caratteristica è pessima per la calibrazione su
strumenti a lunga scadenza. Inoltre se si
utilizzano soluzioni Monte Carlo può succedere
che la simulazione porti verso valori
eccessivamente elevati.
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Generalizzazione di
Brennan-Schwartz
Se i tassi r e l soddisfano i seguenti vincoli:

Il drift del premio per il rischio di entrambi è
lineare;

Il termine casuale di entrambi è radice quadrata
della funzione lineare in r e l;

I processi stocastici sono incorrelati,
allora il pricing per uno zero coupon bond ha una
soluzione in forma chiusa
ZCB = eA(t,T) -B(t,T)r -C(t,T)l
Con A, B e C che si possono risolvere numericamente
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Il modello di
Vasicek-Fong
Il modello proposto nel 1991 considera le
seguenti variabili corrette per il rischio
_
dr = a( r + r)dt + ξ dX1
_
dξ = b(ξ + ξ )dt + ξ dX 2
dove ξ è la radice quadrata della volatilità del
tasso spot
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Il modello di
Vasicek-Fong
La radice quadrata della volatilità del tasso spot
non può essere osservata e questa è una
debolezza del modello
Nel caso di strumenti relativamente semplici
esiste la possibilità di risolvere in forma
chiusa l’equazione di valutazione
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Il modello di
Longstaff-Schwartz
Il modello proposto nel 1992 presenta la stessa struttura
funzionale del modello Vasicek-Fong e considera le
seguenti variabili corrette per il rischio
_
dx = a( x + x)dt + x dX1
_
dy = b(y + y )dt + y dX 2
Dove x è il tasso di interesse atteso
y è la varianza istantanea delle variazioni nel tasso privo
di rischio
Il tasso spot è dato da r = cx + dy
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Il modello di
Longstaff-Schwartz: vantaggi
I rendimenti dei titoli con diverse scadenze non
sono perfettamente correlati fra loro
L’utilizzo esplicito del livello della volatilità di r
per la valutazione delle opzioni
La volatilità diventa stocastica
La possibilità di avere una soluzione in forma
chiusa per le opzioni su tassi di interesse
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Il modello di
Longstaff-Schwartz: svantaggi
Utilizzo di parametri non direttamente osservabili sul
mercato
Non perfetta adesione alla struttura a termine iniziale dei
tassi di interesse
Richiede calcoli complessi per la stima dei parametri
Nei modelli così ricchi (6 parametri) come quello LS
potenzialmente il processo di calibrazione è senza
fine se non si pongono dei vincoli. In genere ci si
ferma quando la soluzione è “plausibile”
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Il modello di
Hull-White a due fattori
J. Hull, A. White,
Numerical Procedures for Implementing
Term Structure Models: Two-Factors
Models
“Journal of Derivatives“, Fall, 1994
Al fine di ovviare alcuni dei principali problemi
generati dai modelli ad 1 fattore e alla loro
implementazione, HW propongono l’estensione
a 2 fattori del loro modello che a sua volta è un
Vasicek esteso.
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Il modello di
Hull-White a 2 fattori
Il modello estende a due fattori il modello originario.
La prima variabile può essere una qualsiasi funzione del
tasso a breve, ma per ottenere soluzioni in forma chiusa
si utilizza il tasso a breve direttamente.
dr = [θ(t) - u(t) - ar]dt + σ1dz1
In questo modo, la forma sembra quella classica ad 1
fattore. La differenza è costituita dalla funzione stocastica
u(t), il cui processo evolve nel seguente modo.
du = -budt + σ2dz 2
con E[dz1, dz2]=ρ e u(0)=0
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Il modello di
Hull-White a 2 fattori
Si può affermare come le due equazioni
descrivono il processo congiunto del tasso di
interesse r(t) che segue un drift θ (t) e ritorna
con una velocità costante a verso un livello
u(t) che, a sua volta, converge verso un
livello di lungo termine con velocità b .
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La valutazione dei bond
Il modello consente di trovare una soluzione in forma
chiusa per i titoli zero coupon
ZCB = A(t,T)e-B(t,T)r -C(t,T)u
dove
1 - e-a(T - t)
B(t,T) =
a
be-a(T- t) - ae-b(T- t) + a - b
C(t,T) =
ab(a - b)
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La valutazione dei bond
Il modello poi permette in modo molto
semplice di stimare la curva delle
volatilità per le diverse scadenze.
Infatti
∂lnP(0,T)
= -B(0, T)
∂r
∂lnP(0,T)
= -C(0, T)
∂u
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La valutazione delle
opzioni su tassi
Il modello consente di prezzare in modo molto
simile a Black le opzioni su ZC
ZCBO = P(0, T)N(h1) - XP(0, t)N(h2 )
Dove
P(0, T) 1 2
ln
+ σP
P(0, t) 2
h1 =
σP
P(0, T) 1 2
ln
- σP
P(0, t) 2
h2 =
σP
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La calibrazione
per le opzioni su tassi
Il modello è caratterizzato da cinque parametri: a, b, vol(r),
vol(u), correlazione fra r e u.
Poiché tutti questi parametri hanno un comprensibile impatto
sui contingent claims come i cap, il modello si adatta alle
esigenze di valutazione
La volatilità ha un impatto intuitivo: se aumenta aumenta
anche il valore del contratto.
La velocità di ritorno alla media a e b condiziona il possibile
mantenimento dell’opzione in area in oppure out the
money: l’aumento di a e b deprime il valore del
contratto
Infine la correlazione condiziona il comportamento fra tassi
forward, modificando soprattutto le swaption
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Modelli multifattoriali
Oltre ai modelli a due fattori esistono modelli
che aggiungono altri fattori
Vasicek presenta un modello con volatilità e
correlazione indipendenti e funzioni del
tempo, con un drift e un tasso spot che
sono lineari
CIR multifattoriale contiene volatilità che sono
funzione lineare di N fattori e il drift lineare
rispetto a questi fattori. Le correlazioni
sono nulle
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Conclusioni
Abbiamo visto i principali modelli a due fattori. Si tratta
di soluzioni migliori perché arricchiscono l’analisi
della term structure
Nonostante ciò, la curva teorica non coinciderà con
quella osservata sul mercato, a meno che il modello
non venga calibrato a tal fine
In genere l’inclinazione e la curvatura della yield curve
sono troppo larghe per essere modellate in modo
consistente
Sono comunque una soluzione preferibile per individuare
il valore dei contratti dipendenti da più di un punto
sulla curva
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