I modelli per la stima della
volatilità
Slides tratte da:
Andrea Resti
Andrea Sironi
Rischio e valore
nelle banche
Misura, regolamentazione, gestione
Egea, 2008
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
AGENDA
• La stima delle volatilità e delle correlazioni
• Le medie mobili semplici
• Le medie mobili esponenziali
• I modelli GARCH
• La stima di covarianze e correlazioni
• Esercizi
© Resti e Sironi, 2008
2
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima di volatilità e correlazioni
La stima delle volatilità e delle correlazioni
• L’approccio varianze-covarianze si basa sull’assunto che sia possibile stimare in
modo soddisfacente le volatilità e le correlazioni dei rendimenti dei fattori di
mercato
• I metodi utilizzabili a tale scopo sono raggruppabili in due principali categorie:
I modelli che utilizzano dati di
volatilità e correlazioni storici
per previsioni di volatilità e
correlazioni future.
•Modelli che considerano volatilità
e correlazioni costanti.
•Modelli che consentono a volatilità
e correlazioni di variare nel tempo
(medie mobili, GARCH)
© Resti e Sironi, 2008
I modelli legati
all'utilizzo delle
previsioni implicite
nei prezzi delle
opzioni.
Il ricorso ai valori
storici è solo indiretto
(la volatilità implicita
è figlia della volatilità
storica)
3
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima di volatilità e correlazione
Medie mobili semplici
• È il criterio più utilizzato per la valutazione dei contratti di opzione, per
l’asset-allocation basata sul criterio media-varianza, e per la determinazione del
value-at-risk.
• Indicando con rt il rendimento di un fattore di mercato la volatilità può essere
stimata, utilizzando come campione una serie storica di n osservazioni, come
radice quadrata della varianza
• La volatilità al tempo t può essere calcolata utilizzando le n osservazioni dal
tempo t-n al tempo t-1.
t 1
t 
 r  r 
i
i t  n
n 1
Con rendimento medio nullo
2
t
media campionaria
calcolata al tempo t
t 
t 1

i t  n
ri 2
n 1
• Al periodo successivo (t+1) la volatilità verrà stimata sulla base dei dati da
(t-n+1) a t, spostando in avanti di un periodo la finestra temporale.
© Resti e Sironi, 2008
4
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili semplici
Rendimenti giornalieri dell'indice S&P 500 equiponderato
• La Figura riporta l’andamento della volatilità del rendimento logaritmico
deviazione standard mobile a 23 giorni
giornaliero dell’indice di borsa S&P500, stimata utilizzando n=23 giorni
lavorativi nel periodo 2 gennaio 2001 - 31 dicembre 2004.
3,5%
3,0%
2,5%
2,0%
1,5%
1,0%
0,5%
© Resti e Sironi, 2008
11/2004
08/2004
05/2004
02/2004
11/2003
08/2003
05/2003
02/2003
11/2002
08/2002
05/2002
02/2002
11/2001
08/2001
05/2001
02/2001
0,0%
5
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili semplici - scelta dell’arco temporale
• Un numero di osservazioni (n) più elevato offre un elevato contenuto informativo
e conduce a una stima
di volatilità
più stabile.
LaS&P
stima
Rendimenti
giornalieri
dell'indice
500 è però “poco aggiornata”
standard
mobili (campioni
di diversa
lunghezza)
e risponde inDeviazioni
modo lento
a variazioni
improvvise
delle
condizioni di mercato
3,0%
2,5%
2,0%
1,5%
1,0%
10/2004
06/2004
02/2004
10/2003
06/2003
02/2003
10/2002
06/2002
02/2002
10/2001
06/2001
02/2001
0,5%
Deviazione standard mobile a 23 giorni
Deviazione standard mobile a 50 giorni
Deviazione standard mobile a 90 giorni
© Resti e Sironi, 2008
6
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili semplici - scelta dell’arco temporale
La stima della volatilità subisce uno shock sia quando il
fattore di mercato subisce una forte variazione, che quando il
dato relativo a questo shock esce dal campione e viene
sostituito da un dato più recente
Echo effect o
ghost features
2,0%
12,0%
1,6%
8,0%
1,2%
4,0%
Rendimenti giorna lieri (sca la dx)
12/31/2001
12/17/2001
12/03/2001
11/19/2001
11/05/2001
10/22/2001
10/08/2001
9/24/2001
9/10/2001
-8,0%
8/27/2001
0,0%
8/13/2001
-4,0%
7/30/2001
0,4%
7/16/2001
0,0%
7/02/2001
0,8%
Mentre la prima
variazione è giustificata,
la seconda non lo è.
Volatilità S&P500
settembre-ottobre 2001.
La variazione verso l’alto
a metà settembre (eventi
terroristici) è seguita dalla
riduzione di metà ottobre,
pur in presenza di
rendimenti giornalieri
“normali”
Dev. Sta nda rd mobile a 23 giorni (sca la sx)
© Resti e Sironi, 2008
7
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali
• Per superare il trade-off fra contenuto informativo e reattività alle condizioni
recenti e l’echo effect, è stato sviluppato il metodo delle medie mobili esponenziali
• Utilizzando un numero relativamente elevato di osservazioni passate, ma
attribuendo un peso maggiore a quelle più recenti, si ottiene una stima della
volatilità con elevato contenuto informativo e più sensibile agli shock recenti
• La stima reagisce più rapidamente a shock del fattore di mercato, e lo shock
pronunciato del fattore di mercato “esce” in modo graduale dalla stima:
n 1
2
2
2 2
n 1 2
r


r


r

...


rt n
t 2
t 3
ˆ t2  t 1

2
n 1
1      ...  
n
1


1


i  1    2    n1 


1  1 
i 0
n 1
La stima della volatilità
© Resti e Sironi, 2008
i 2

 rt 1i
i 0
n 1
i


i 0
1 

1  n
1 
ˆ t 
n
1 
n 1
i 2

 rt 1i
i 0
n 1
 r
i 2
t 1i
i 0
8
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali
• La costante , decay factor, indica il “grado di persistenza” delle osservazioni
campionarie passate
• Se la costante  è più vicina a uno, le sue potenze successive si avvicinano a zero
più lentamente
La media si adegua meno rapidamente alle condizioni più recenti
• Per valori di  molto vicini a 1, la media esponenziale tende alla media semplice
• Se  è sufficientemente piccolo
n 0
n 1
ˆ t  (1   ) i rt 21i
e/o n è sufficientemente elevato
i 0
La varianza:

ˆ  (1   )  r
2
t
i
2
t 1i
i 0
 (1   )r
2
t 1
  (1   )
 2
 (1   ) rt 1 


 r
i
i 1
2
t 1i



i 1 2
2
2
ˆ

r

(
1


)
r



t 1
t 1
 t 1i
i 1
© Resti e Sironi, 2008

Meccanismo
“adattivo”: la stima
è aggiornata in
base al quadrato
del rendimento
del giorno prima
9
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali
12,0% La figura mostra il
2,4%
2,0%
1,6%
1,2%
0,8%
0,4%
Rendimenti giornalieri (scala dx)
Deviazione standard mobile a 23 giorni
Dev. Standard mobile esponenziale a 23 giorni con lambda = 0,94
© Resti e Sironi, 2008
31-dic-01
17-dic-01
3-dic-01
19-nov-01
5-nov-01
22-ott-01
8-ott-01
24-set-01
10-set-01
27-ago-01
13-ago-01
30-lug-01
16-lug-01
2-lug-01
0,0%
confronto tra la media
8,0% mobile semplice con
n=23 e la media
4,0% mobile esponenziale
con l =0,94. Nel caso
delle medie mobili
0,0%
esponenziali lo shock
del 11 settembre 2001
-4,0%
genera un immediato
aumento nella
-8,0%
volatilità a cui non
corrisponde nessuna
repentina
diminuzione della
volatilità quando il
dato esce dal
campione
10
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali
• Attraverso l’impiego di volatilità che variano nel tempo (medie mobili
esponenziali) è possibile dare conto della forma leptocurtica della
distribuzione dei rendimenti
• Utilizziamo i primi dati del nostro campione (dal 2 gennaio al 5
febbraio 2001) per produrre una stima della volatilità basata
sull’approccio EWMA, usando 23 osservazioni ed un valore di λ pari a
0,94
• Simuliamo un valore per il 6 febbraio 2001, estraendolo casualmente da
una normale con media nulla e deviazione standard ̂ t
• Spostiamo poi in avanti di un giorno la finestra di dati utilizzata per la
stima della volatilità, e produciamo una seconda stima, ˆ t 1
,
estraiamo poi un valore per il 7 febbraio 2001 e cosi via
• Generiamo 980 valori fino al 31 dicembre 2004
© Resti e Sironi, 2008
11
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali
• Come si vede, i dati simulati risultano leptocurtici .
Il loro indice di curtosi in eccesso è infatti pari a 2,1, molto simile a quello del
campione empirico di partenza (1,8)
250
200
150
100
Numero effettivo
Normale
50
0
© Resti e Sironi, 2008
12
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali – alcuni problemi pratici
• Vi sono alcuni problemi pratici
Scelta del decay factor 
La scelta di  dovrebbe
dipendere dalla velocità con la
quale si ritiene che la volatilità
vari nel tempo. Se si modifica
lentamente è meglio un decay
factor vicino a 1 e viceversa.
La scelta dovrebbe anche
dipendere dall’holding period
della posizione.
Minore è tale orizzonte,
minore dovrebbe essere .
© Resti e Sironi, 2008
Scelta del numero di osservazioni passate
Una serie storica più ampia minimizza
l’errore di campionamento e consente
di ottenere stime più affidabili.
Una serie storica più breve riflette
meglio le condizioni di mercato recenti.
Se le stime vengono aggiornate
frequentemente è possibile utilizzare
serie storiche più ampie.
In questo caso si riduce il problema
della scarsa aderenza alle condizioni
più recenti del mercato.
13
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Medie mobili esponenziali – alcuni problemi pratici
• Utilizzare
un unico fattore , per diverse variabili su intervalli temporali più o
Rendimenti giornalieri dell'indice S&P 500 equipesato
meno
prolungati,
alcuni
problemi:
Deviazioni
standardpresenta
mobili basate
su diversi
decay factor
8,0%
0,8%
6,0%
4,0%
0,6%
2,0%
In alcuni mercati gli aumenti
di volatilità sono persistenti
mentre in altri
gli aumenti si configurano
solitamente come shock
temporanei
0,0%
12/31/2004
12/24/2004
12/17/2004
12/10/2004
12/03/2004
11/26/2004
11/19/2004
11/12/2004
11/05/2004
10/29/2004
10/22/2004
10/15/2004
10/08/2004
-2,0%
10/01/2004
0,4%
Rendimenti giornalieri (scala dx)
Dev. Standard mobile esponenziale a 23 giorni con lambda = 0,94
Dev. Standard mobile esponenziale a 23 giorni con lambda = 0,90
Dev. Standard mobile esponenziale a 23 giorni con lambda = 0,99
© Resti e Sironi, 2008
Il decay factor ottimale
muta significativamente
nel tempo.
È preferibile aggiornare
frequentemente
tale fattore
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
I modelli GARCH
• Come è stato mostrato nelle figure precedenti, la volatilità subisce delle
fluttuazioni significative (volatility clustering). I fattori di mercato presentano dei
periodi di maggiore volatilità che possono anche persistere per periodi prolungati
• Questo problema viene esplicitamente affrontato dai modelli GARCH
(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity)
• Eteroschedasticità significa varianza che muta nel tempo, cioè presenza di
periodi di elevata volatilità interrotti da periodi di relativa tranquillità
• Condizionale sta a indicare che le previsioni ottenute sono basate sulle
informazioni disponibili nel periodo precedente
• Autoregressivo si riferisce invece al metodo utilizzato per modellare
l’eteroschedasticità condizionale, cioè una regressione della varianza “su sé stessa”
• Generalizzato si riferisce al modello di Tim Bollersev (1986) che rappresentava
una generalizzazione del primo modello (ARCH) ideato nel 1982 da Robert Engle
© Resti e Sironi, 2008
15
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
I modelli GARCH – media condizionale e non condizionale
• I modelli a eteroschedasticità condizionale autoregressiva consentono di
prevedere la volatilità futura utilizzando una regressione basata sui valori
passati, generando una stima della volatilità che cambia nel tempo
Stima condizionale e stima non condizionale
Tipicamente ottenuta utilizzando un campione più
o meno ampio di dati storici, ad esempio la media
di una variabile stimata con la media campionaria
Se la variabile in questione dipende da una o più altre grandezze, è possibile
stimare una media condizionale ricorrendo, ad esempio, a una regressione dei
minimi quadrati. Per la variabile y che dipende da x:
yt
Oppure se dipende dai suoi valori passati:
yt
yt 1
   yt 1
© Resti e Sironi, 2008
x  xt
   xt
modello autoregressivo del
primo ordine, AR(1)
16
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
I modelli GARCH – stima condizionale e non condizionale
• La differenza fondamentale fra media non condizionale e media condizionale è
che la prima è una costante mentre la seconda necessita di un modello di
specificazione
• La stessa logica trova applicazione nel caso della varianza non condizionale e
condizionale
Varianza condizionale – qualsiasi
Varianza non condizionale- utilizzo modello , come il GARCH
della varianza campionaria
• Consideriamo il modello ARCH proposto da Engle:
 t   0  1 t21  ...   p t2 p
2
con
 0  0 ,  1 ,..., p  0
Il modello stima la varianza come una media mobile di p errori di previsione
passati elevati al quadrato
“modello a p ritardi” o ARCH(p)
• Se si verifica uno shock della variabile considerata, si genera un errore di
previsione che, se il suo  è positivo, provoca un rialzo della previsione della
volatilità relativa al periodo successivo
© Resti e Sironi, 2008
17
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
I modelli GARCH
• Il modello è coerente con l’evidenza empirica secondo la quale una variazione
significativa dei prezzi tende a essere seguita da altrettante variazioni significative
• Il principale limite del modello ARCH è che le applicazioni empiriche hanno sovente
richiesto un numero elevato di ritardi, rendendo il modello poco flessibile e oneroso
• La generalizzazione introdotta da Bollersev (GARCH) rende il modello più
flessibile:
 t   0  1 t21  ...   p t2 p   1 t21   2 t22  ...   q t2q
2
con
0  0
1 ,...,  p , 1 ,...,  q  0
• La varianza condizionale è modellata inserendo, anche q ritardi relativi ai valori
passati della varianza stessa
GARCH(p,q)
• Se la variabile considerata sono i rendimenti di un fattore di mercato che si
immagina abbiano media nulla, allora l’errore εt coincide con rt
© Resti e Sironi, 2008
18
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il GARCH (1,1)
• La maggioranza delle applicazioni del modello GARCH si basa sulla versione
GARCH(1,1), che considera un solo errore di previsione (l’ultimo) e il valore della
varianza al periodo precedente:
2
2
2
 t   0  1 t 1  1 t 1
• Nel modello è implicita anche una stima del valore atteso non condizionato
Se σ2 esiste, rappresenta il valore atteso non condizionato
di σ2t, σ2t-1 e anche di 2t-1.
0
Sostituendo tali grandezze con si ottiene:
 
1  1  1
2
 t  (1  1  1) 2  1 t21  1 t21
σ2
2
• La stima condizionata della varianza in un certo periodo è una media
ponderata della varianza di lungo periodo, della varianza attesa per il periodo
precedente e dello shock relativo all’ultimo periodo
© Resti e Sironi, 2008
19
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il GARCH (1,1)
• Come già detto, se la variabile considerata è data dai rendimenti di un fattore di
mercato che si immagina abbiano media nulla, allora l’errore εt coincide con rt e
il modello da stimare è:
2
2
2
 t   0  1rt 1  1 t 1
• Nelle applicazioni ai mercati finanziari 1 assume generalmente valori superiori a
0,7 mentre 1 assume valori più contenuti
Una variazione della volatilità tende a permanere a lungo
Il coefficiente 1 indica la rapidità con cui la volatilità si
adegua ai nuovi shock di mercato, coefficienti più elevati
conducono a previsioni più sensibili alle condizioni recenti
• Anche il modello GARCH riconosce l’esistenza di un “decay factor” per la
volatilità. Tale fattore non è determinato arbitrariamente ma sono gli stessi dati a
determinarlo
© Resti e Sironi, 2008
20
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il GARCH (1,1)
• I coefficienti dell’equazione GARCH (1,1) devono essere stimati con l’ausilio di un
giornalieri
dell'indice
S&P 500
software statistico, ad esempio tramiteRendimenti
un algoritmo
di stima
basato
sulequipesato
criterio
Deviazioni standard basate su EWMA e GARCH
massima verosimiglianza 3,0%
2,5%
© Resti e Sironi, 2008
2,0%
1,5%
1,0%
0,5%
10/2004
07/2004
04/2004
01/2004
10/2003
07/2003
04/2003
01/2003
10/2002
07/2002
04/2002
01/2002
10/2001
0,0%
07/2001
Tale algoritmo è stato
utilizzato per stimare un
modello GARCH(1,1) sui
rendimenti giornalieri
dell’indice S&P500 nel
periodo 2 gennaio 2001 - 31
dicembre 2004, ottenendo
0=0,000002, 1=0,085 e
1=0,905.
Il modello GARCH è poi
confrontato con un EWMA
con lambda pari a 0,94
GARCH(1,1)
Dev. Sta nda rd mobile esponenzia le a 23 giorni con la mbda = 0,94
21
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il GARCH (1,1)
• Il modello GARCH(1,1) è caratterizzato da una “memoria infinita”. Per qualsiasi t
vale che:
 t 2   0  1 t21  1 ( 0  1 t22  1 t22 )

 t   0  1 t21  1  0  1 t22  1 ( 0  1 t22  1 t23 )
2
• Sostituendo in maniera ricorsiva il termine σ2t-i si ottiene:


i 1
i 1
 t   0  1  1  1i 1 t2i
2

0

 1  1i 1 t2i
1  1 
i 1
• Un modello GARCH(1,1) può essere considerato equivalente ad un modello
ARCH con infiniti ritardi, i cui coefficienti βi sono vincolati a decrescere in
progressione geometrica man mano che si considerano shock più lontani nel
tempo
© Resti e Sironi, 2008
22

Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il GARCH (1,1) – pregi e limiti
Pregi del modello GARCH(1,1):
250
200
150
100
 riconosce esplicitamente l’esistenza di
un fenomeno di correlazione
seriale e lo esplicita attraverso un
modello autoregressivo;
 attribuisce un’adeguata importanza
alle nuove informazioni
incorporate negli shock di mercato;
Numero effettivo
Normale
50
0
 consente, analogamente al modello
basato sull’EWMA, di rappresentare
la leptocurtosi presente nei dati
empirici;
 lascia che siano gli stessi dati a
determinare il decay factor della
volatilità.
© Resti e Sironi, 2008
23
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il GARCH (1,1) – pregi e limiti
Limiti del modello GARCH(1,1):
 può risultare più complesso e oneroso rispetto
al semplice utilizzo di una media mobile;
 conserva l’ipotesi di normalità (in questo caso
degli errori di previsione);
 nella sua versione originale considera l’impatto
di uno shock sulla previsione della volatilità
come indipendente dal suo segno.
Numerose evidenze empiriche mostrano che la
volatilità implicita aumenta in seguito a una
caduta del mercato, mentre può mantenersi
invariata in seguito a un rialzo dei prezzi
(“leverage effect”).
© Resti e Sironi, 2008
Il leverage effect
viene spiegato dal
fatto che quando un
prezzo azionario
diminuisce, il
valore di mercato
del patrimonio
diminuisce e
dunque aumenta la
leva finanziaria e
con essa il ischio
finanziario.
Ciò non succede
nel caso di un rialzo
del prezzo.
24
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il modello EGARCH
• Nel tentativo di superare alcuni limiti del modello GARCH, sono state proposte
numerose versioni alternative:
Exponential GARCH (EGARCH)
Integrated GARCH (IGARCH)
Asymmetric GARCH (AGARCH)
Modello EGARCH
L’EGARCH modella il logaritmo naturale della varianza anziché la varianza: la
parte destra dell’equazione può anche divenire negativa. Gli errori di previsione
non devono essere elevati al quadrato e viene così adeguatamente considerata la
diversa reazione degli operatori alle “buone” rispetto che alle “cattive notizie”
 t 1
 t 1
2
log    0  1
 1 t 1  
 t 1
 t 1
2
t
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Il modello AGARCH e IGARCH
Modello AGARCH
La versione AGARCH considera la risposta asimmetrica della volatilità rispetto a
improvvisi shock al rialzo o al ribasso. Un parametro addizionale positivo ()
amplifica l’effetto degli shock negativi e attenua quello degli shock al rialzo
 t   0  1  t 1     1 t21
2
2
Modello IGARCH
Questo modello impone che la somma dei coefficienti 1 e 1 sia pari all’unità
2
2
2


1


t
0
1 t 1
1 t 1



 

Ipotizzando inoltre un valore nullo di 0, si ottiene il modello delle medie
esponenziali con infiniti ritardi
Tale formula è ottenuta dal GARCH (1,1)

annullando 0 e sostituendo a 1 il
2
i 1 2
 t  (1  )   t i
simbolo  e ad 1 1- . Tale modello
coincide con l’EWMA
i 1

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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
I modelli GARCH – capacità di previsione
• I modelli GARCH sono stati prevalentemente utilizzati per spiegare il
comportamento della varianza delle variabili finanziarie, più che per prevederne
l’evoluzione.
• La loro applicazione a scopo previsionale presenta tre principali problemi
I modelli GARCH
necessitano di un elevato
numero di dati affinché
la stima dei coefficienti
possa risultare
statisticamente
“robusta”
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La capacità di un modello econometrico di
descrivere un determinato campione di
dati è direttamente proporzionale alla sua
complessità (numero di parametri
utilizzati). Un modello più complesso
tende tuttavia a divenire più facilmente
“obsoleto”..
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
I modelli GARCH – capacità di previsione
• I modelli GARCH funzionano bene se si desidera prevedere la volatilità del
periodo successivo; diventano invece via via meno informativi per previsioni
riguardanti periodi più lontani
 t 1   0     1
2
Previsione volatilità di t+1
2
1 t
2
t
Sarebbe necessario conoscere l’errore di previsione in t, che ancora non
conosciamo. È possibile sostituire ε2t con il suo valore atteso: σ2t
2
2
2
2
t 1
0
1 t
1 t
0
1
1
t

            
Previsione volatilità di t+k
k 1
 t k   0  1   1   1   1  
2
i
k
i 1
Non potendo conoscere gli errori di previsione futuri, la previsione
finirà per convergere verso la varianza di lungo periodo
• L’evidenza empirica non chiarisce se il modello GARCH abbia una miglior
capacità previsionale rispetto a un più semplice modello EWMA
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2
t
Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
La previsione della volatilità: la volatilità implicita
• È un metodo per la previsione della volatilità basato sui prezzi delle opzioni
• Il prezzo di un’opzione è funzione di cinque variabili
prezzo di esercizio (X)
volatilità dell’attività sottostante ()
vita residua dell’opzione (T)
tasso di interesse privo di rischio (i)
prezzo di mercato dell’attività sottostante (S)
• Se si conosce il prezzo di mercato dell’opzione è possibile utilizzare il modello di
pricing “a ritroso” per calcolare la volatilità implicita nel prezzo stesso
• Spesso le formule di pricing di un’opzione non possono essere invertite
analiticamente
il calcolo della volatilità implicita si basa
generalmente su un processo iterativo
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
La previsione della volatilità: la volatilità implicita
• Tra gli algoritmi più usati per il calcolo della volatilità implicita vi è il metodo
di Newton-Raphson o delle tangenti, che si compone di 3 fasi:
1. calcolo del prezzo teorico dell’opzione un valore della volatilità scelto
arbitrariamente (
̂ )
̂
2. confronto del prezzo teorico dell’opzione O ( ) con il prezzo di mercato
Om: se il prezzo di mercato risulta superiore (inferiore) si aumenta
(diminuisce) la volatilità in input di un valore pari a
derivata parziale della funzione di prezzo
dell’opzione rispetto alla volatilità
O (ˆ )  Om

3. il nuovo dato di volatilità così ottenuto viene inserito nel modello di pricing
e si procede fino a che non si verifica la convergenza fra O ( ̂ ) e Om
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
La previsione della volatilità: la volatilità implicita
• La volatilità implicita risulta differente a seconda del contratto di opzione
utilizzato
Volatilità implicita delle opzioni at-the-money (ATM) minore
rispetto alle opzioni in-the-money (ITM) o out-of-the-money (OTM)
• Questo fenomeno, “volatility smile”, dipende dalla maggiore sensibilità delle
opzioni ATM a variazioni della volatilità (maggiore vega)
Capacità di previsione della volatilità implicita
• Le misure precedentemente introdotte sono backward-looking
• La volatilità implicita deriva dalle aspettative del mercato circa l’evoluzione futura
della volatilità (forward-looking)
il modello di pricing adottato deve
essere attendibile e adottato anche dagli
operatori del mercato, altrimenti il
valore ottenuto non è rappresentativo
dell’aspettativa del mercato
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il mercato nel quale l’opzione è
negoziata non deve avere
imperfezioni strutturali in grado
di generare squilibri temporanei
prezzi non di equilibrio
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
La previsione della volatilità: la volatilità implicita
• La volatilità implicita nonostante sia forward looking presenta alcuni
svantaggi se usata a fini previsionali per l’attività di risk-management:
Deve esistere un contratto di
opzione con sottostante uguale
all’attività di cui si vuole
prevedere la volatilità del
rendimento (il mercato in cui è
negoziata deve essere liquido
efficiente ed organizzato)
La vita residua dell’opzione
deve coincidere con
l’orizzonte temporale
prescelto per il sistema di
risk-management
• La volatilità implicita si presta male ad essere utilizzata per il risk-management
• Essa può però integrare le previsioni offerte da un altro metodo e segnalare
eventuali divergenze
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
La stima di covarianze e correlazioni
• Possono essere utilizzati gli stessi metodi descritti per la stima della volatilità
• Dati i rendimenti di due fattori di rischio rt e qt
ˆ

2
r , q ;t
2
r , q ;t
1 

1  n
n 1
Covarianza
i

 rt 1i qt 1i
medie mobili esponenziali
i 0
  0  1rt 1qt 1   1
2
r , q ;t 1
GARCH (1,1)
• È teoricamente possibile ricavare dai prezzi delle opzioni non solo le volatilità,
ma anche le stime delle correlazioni implicite
metodi complessi e dati di
mercato spesso non disponibili
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
La stima di covarianze e correlazioni
• Per esempio, avendo le volatilità implicite delle opzioni sui tassi di cambio
EUR/USD e EUR/YEN , e sul cross-rate YEN/USD è possibile ottenere la stima
della correlazione implicita dei due cambi dell’euro (USD e YEN):
USD ,YEN
2
2
2
 USD
  YEN
  USD
YEN

2 USD YEN
• Un altro metodo è quello che prevede di utilizzare i prezzi delle quanto options,
ossia delle opzioni che hanno come underlying asset sia un tasso di cambio che
un prezzo/indice azionario
• Una volta che le varianze e covarianze sono state stimate, è necessario verificare
che esse siano coerenti tra loro
È necessario verificare che la matrice di varianze e covarianze sia definita positiva
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/1
1. Un’azione, dopo essere rimasta stabile per qualche tempo, registra
un’improvvisa e ampia variazione di prezzo. Quale, tra le seguenti
tecniche di stima della volatilità, conduce a parità di altre
condizioni al più ampio incremento nella stima della deviazione
standard dei rendimenti giornalieri (e quindi del VaR)?
a) volatilità storica basata su un campione di 100 giorni e stimata
attraverso una media mobile esponenziale, con l pari a 0,94;
b)volatilità storica basata su un campione di 250 giorni e stimata
attraverso una media mobile semplice;
c) volatilità storica basata su un campione di 100 giorni, stimata
attraverso una media mobile esponenziale, con l pari a 0,97;
d)volatilità storica basata su un campione di 250 giorni, stimata
attraverso una media mobile esponenziale, con l pari a 0,94.
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/2
2.
Considerate le seguenti affermazioni contrarie all’uso della volatilità
implicita per stimare la volatilità dei rendimenti dei fattori di mercato
all’interno di un modello VaR. Quale tra esse non è corretta?
a)
i prezzi delle opzioni scambiate su un mercato illiquido potrebbero
includere un premio per la liquidità;
i prezzi delle opzioni scambiate in un mercato non regolamentato
(“over the counter”) potrebbero includere un premio per il rischio di
controparte, che può non essere facilmente identificabile;
la volatilità implicita nei prezzi delle opzioni è la volatilità del prezzo
dell’opzione, non quella del prezzo dell’attività sottostante;
il modello di pricing usato per calcolare s può essere differente da
quello adottato dai partecipanti al mercato per prezzare l’opzione.
b)
c)
d)
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Rischio e valore nelle banche
I modelli per la stima della volatilità
Esercizi/3
3. Una banca utilizza medie mobile esponenziali, basate su un
decay factor di 0,94 e su un numero molto elevato di
osservazioni. Ieri sera, la volatlità delle variazioni percentuali di
prezzo era 13% per l’azione Alfa, 8% per l’azione Beta. Oggi, le
variazioni di prezzo per Alfa e Beta sono state, rispettivamente,
3% e 10%. Ipotizzando che i rendimenti attesi siano zero,
aggiornate le stime di volatilità per Alfa e Beta. Infine,
immaginate che il coefficiente di correlazione tra i rendimenti
dei due titoli azionari, ieri sera, fosse 50%: è possibile
aggiornare anche questo valore?
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