Analisi e Gestione del Rischio
Lezione 5
Calcolo del VaR
Variazione percentuale del valore
delle posizioni
• Definiamo, al tempo t, per un certo mercato,
– Un insieme di scadenze t1,t2,…tn
– Un insieme di cash-flow nominali c1,c2,…cn
– Un insieme di fattori di sconto P(t,t1),P(t,t2)…P(t,tn)
• Il valore del portafoglio al tempo t è
V(t) = c1P(t,t1)+ c2P(t,t2)+ …+cn P(t,tn)
• Al tempo t+, es. la fine della giornata il valore è
P(t+,ti)=(1+ri) P(t ,ti) per ogni i, cosicché
V(t+)-V(t) = c1r1P(t,t1)+ c2r2P(t,t2)+ …+cnrn P(t,tn)
Calcolo del Value-at-Risk
Il problema di fondo
• Il problema centrale per la costruzione di un
sistema di misurazione del rischio risiede nella
determinazione della distribuzione di probabilità
congiunta delle variazioni percentuali di valore r1,
r2,…rn.
• L’ipotesi più semplice è assumere che essi siano
generati da una distribuzione normale multivariata
L’approccio RiskMetrics™ è coerente con un
modello a distribuzione “localmente” normale,
coerente con un modello Garch integrato.
Metodologie VaR
• VaR parametrico: assume distribuzione
(condizionatamente) normale (modello EWMA) e
usa i parametri di volatilità e correlazione
• Simulazione Monte Carlo: vengono simulati
scenari con la tecnica Monte Carlo, le posizioni
vengono rivalutate in ogni scenario e viene
calcolato il percentile empirico delle perdite.
• Simulazione storica: vengono simulati scenari
sulla base dell’andamento storico dei mercati e
viene calcolato il percentile empirico delle perdite
Volatilità storica
• Un’alternativa alla stima della volatilità implicita è
l’utilizzo della volatilità storica
• La volatilità storica non richiede la presenza di un
mercato delle opzioni liquido, ed è applicabile ad
un largo numero di mercati
• La stima della volatilità storica è pero rivolta al
passato (backward looking) e soggetta a due
problemi
– Rischio di stima della volatilità
– Rischio di modello (fluttuazione della volatilità)
03/01/00
03/11/99
03/09/99
03/07/99
03/05/99
03/03/99
03/01/99
03/11/98
03/09/98
03/07/98
03/05/98
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03/01/98
03/11/97
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03/01/97
03/11/96
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03/11/95
03/09/95
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03/05/95
03/03/95
La volatilità del Mib30
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Modelli Garch(p,q)
• La distribuzione del rendimento condizionale alla
volatilità è normale, ma la volatilità varia nel tempo
con un processo autoregressivo di tipo ARMA(p,q).
Ad es. il Garch(1,1) è:
 t ~ N 0,  t 
Rt   t
    
2
t
2
1 t 1
 1
2
t 1
Garch: ABC…
• In un modello Garch la distribuzione NON
condizionale dei rendimenti non è normale, ed in
particolare ha code “grasse” (“fat-tails”): eventi
estremi sono più probabili rispetto alla
distribuzione normale
• In un modello Garch la varianza futura è prevista
ricursivamente dalla formula
ˆ
2
t i
   1  1 ˆ
2
t  i 1
• Il grado di persistenza è dato da 1 + 1  1
Un Garch particolare…
• Assumiamo:  = 0 e 1 + 1 = 1. In questo
caso abbiamo un Garch integrato (Igarch):
– i) la volatilità è persistente: ogni shock rimane
per sempre nella storia della volatilità
– ii) il miglior previsore della volatilità al tempo t
+ i è quella al tempo t + i – 1.
– iii) la volatilità al tempo t è data da (  1)
  1   
2
t
2
t 1
 
2
t 1
…di nome EWMA
• Notiamo che l’IGarch(1,1) con  = 0 corrisponde a
un modello in cui la volatilità è calcolata come una
media mobile a pesi che decadono esponenzialmente
(EWMA).
• Il modello, con parametro  = 0.94, è impiegato da
RiskMetrics™ per valutare volatilità e correlazioni.
• Il modello corrisponde a una stima di volatilità che
pesa in maniera decrescente le osservazioni più
recenti (il parametro usato corrisponde a 75
osservazioni)
Stime di volatilità: il Mib30
Ghost feature
• La modulazione dei pesi nella opzione EWMA
consente di ridurre il cosiddetto problema della
ghost feature nei dati
• Ghost feature: uno shock continua a avere effetto
sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui resta
nel campione, e quando ne esce la stima di VaR
cambia senza un motivo apparente. Attribuire pesi
via via decrescenti agli shock attutisce questo
fenomeno.
Calcolo dell’esposizione giornaliera
Daily Earning at Risk (DEaR)
• Definiamo, al tempo t
pi=ciP(t,ti) il valore marking-to-market del cash-flow i
ri, la variazione percentuale giornaliera del fattore di
rischio i-esimo
• Se ri ha distribuzione normale con media i e volatilità i,
Prob(ri < i - i 2.33) = 1%
Se i = 0, Prob(ri pi < - i pi 2.33) = 1%
DEaRi = i pi 2.33 = Maximum probable loss (1%)
Una considerazione
• Il modello RiskMetrics™ assume (i = 0) e cioè
che il tasso di crescita dei rendimenti sia pari a 0.
• La scelta non è giustificata, se non come
approssimazione, sotto il profilo finanziario,
perché sappiamo che
i = rendimento risk-free + premio per il rischio
• La scelta è giustificata sotto il profilo statistico,
perché l’assunzione i = 0 consente di ridurre il
rischio di stima della volatilità. Il rendimento
giornaliero è estremamente difficile da stimare.
Aggregazione della misura di
rischio per posizioni diverse
• Una volta calcolato il valore della misura di
rischio DEaRi per ogni posizione i, per i = 1,2,….n
vogliamo ricostruire la misura di rischio per
aggregati che rappresentino, ad es.: i) diverse unità
di business, ii) diversi mercati.
• Il calcolo della misura di rischio aggregata viene
fatta secondo due modalità
– DEaR (VaR) non diversificato (somma dei DEaRi)
– DEaR (VaR) diversificato (forma quadratica calcolata
con la matrice di correlazione C)
DEaR diversificato
DEaR

d  ( DEaR1, DEaR2 ,..., DEaRN )
dCd
T
 1

C 

 1N
 1N 


 
 1  dT
 DEaR1 


 DEaR2 





 DEaR 
N

Dal DEaR al VaR
• Passare dalla massima perdita giornaliera DEaR al
Value-at-Risk richiede la definizione del periodo
di smobilizzo (unwinding period)
• La relazione è
VaR  unwinding period DEaR
• N.B. La relazione è basata sull’assunzione che:
– i) gli shock non siano correlati serialmente;
– ii) la composizione del portafoglio resti inalterata nel
periodo di smobilizzo
VaR diversificato e non
• Il VaR non diversificato, calcolato come somma
dei VaR di ciascuna posizione, rappresenta
un’assunzione estrema di perfetta correlazione tra
i rischi
• Il VaR diversificato tiene conto della correlazione
parziale tra le posizioni
• Il rapporto tra VaR diversificato e VaR non
diversificato rappresenta un indice sintetico di
diversificazione del portafoglio.
Esempio
• Posizione: 1 mil. di euro su azionario Italia
e 0.5 mil. di euro su azionario US. Le azioni
sul mercato US sono denominate in dollari.
• Esposizione:
1 000 000 Euro azionario Italia
500 000 Euro azionario USA
500 000 Euro rischio di tasso US/Euro
Esempio: i dati di mercato
• Assumiamo che i dati di mercato dei fattori di
rischio siano i seguenti
• Volatilità giornaliera del fattore di rischio
– Rischio azionario Italia (75 punti base)
– Rischio azionario US (50 punti base)
– Rischio di cambio (30 punti base)
• Correlazione rischi
– Correlazione azionario Italia/US: 0.5
– Correlazione rischio di cambio/rischio azionario: 0 (sia
per l’azionario Italia che US)
Esempio: risultati
• Calcoliamo il VaR per ogni esposizione per un
livello di probabilità del 99% e un tempo di
smobilizzo di 10 giorni
– VaR azionario Italia: 55 174 (5.52%)
– VaR azionario US: 18 391 (3.68%)
– VaR rischio di cambio US: 11 035 (2.21%)
• Per tutto il portafoglio otteniamo un VaR non
diversificato pari a 84 600 Euro (4.23% della
esposizione) ed un VaR diversificato di 75 740
Euro (3.79% dell’esposizione).
VaR parametrico: problemi
• Non linearità dei pay-off. La presenza di opzioni
introduce un elemento di convessità o concavità
che non è rappresentabile dal VaR parametrico
• Non normalità (condizionale) dei rendimenti: il
modello EWMA può non essere sufficiente a tener
conto della lepto-curtosi dei rendimenti
• Appropriatezza della misura di VaR per
rappresentare il rischio di diverse posizioni in
maniera coerente
Validazione del Value-at-Risk
• Una volta scelta costruito un sistema per il
calcolo del Value-at-Risk, come se ne testa
l’efficacia?
• Una possibile strategia è quella di verificare
quante volte nella storia passata le perdite
registrate sono risultate superiori alla misura
VaR calcolata
• Procedure di validazione (o backtesting)
Test di Kupiec
• Un test statistico suggerito da Kupiec è basato
sull’ipotesi che gli sforamenti delle perdite rispetto
al VaR siano indipendenti.
• Se questo è il caso l’estrazione di un numero x di
sforamenti su un totale di N tentativi, e sotto
l’ipotesi che ciascuno di essi si verifichi con
probabilità  dovrebbe avere distribuzione
binomiale
N x
N x
P( x)    1   
x
Likelihood ratio
• Il test è un rapporto tra la probabilità di
estrarre x sforamenti dalla distribuzione
binomiale rispetto alla probabilità teorica.
• Il test, distribuito come chi-quadro con un
grado di libertà è
N x
  x x 

x

N x
LR  2ln    1     ln  x 1   
   N   N  





Esempio
• Nelle applicazioni tipicamente di prende un anno di dati e
un intervallo di confidenza dell’1%
• Se assumiamo di osservare, ad esempio, 4 sforamenti in un
anno, calcoliamo
   4  4  246  246 
  ln 0.0140.99246
LR  2ln  



   250   250  


  0.77


• Poiché il valore del chi-quadro con un grado di libertà è
6.6349 l’ipotesi di accuratezza del VaR non è rigettata (il
p-value di 0.77 è 38,02%)
L’estensione di Christoffersen
• Il test di Kupiec è basato sull’ipotesi di sforamenti
serialmente indipendenti.
• Christoffersen ha proposto un’estensione che tiene conto
della dipendenza seriale. Si tratta di un test congiunto delle
due ipotesi.
• I dati vengono filtrati ed il test congiunto è scritto come
LRcc = LRun + LRind
dove LRun è il test non condizionale e LRind è quello di
indipendenza. Il test congiunto è distribuito con 2 gradi di
libertà