Contare e sommare
In quante regioni
è diviso il piano ?
1
2
1
2
4
1
3
2
4
1
3
7
6
5
2
4
11
1
3
7
6
5
9
8
10
n=0
1
n=1
1 + 1
n=2
1 + 1 + 2
n=3
1 + 1 + 2 + 3
n=4
1 + 1 + 2 + 3 + 4
Quante rette sono necessarie per separare le facce?
Digressione : Data Mining
negative data
positive data
training set
training set
negative data
positive data
training set
negative data
positive data
fine digressione
Contiamo anche i vertici e i segmenti
1
V
S
R
0
0
1
2
1
V
S
R
0
0
0
1
1
2
2
1
4
2
1
4
3
3
V
S
R
0
0
0
1
1
2
1
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4
2
1
4
2
1
4
3
5
8
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7
7
9
6
6
5
V
S
R
0
0
0
1
1
2
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3
4
9
4
7
2
1
4
2
16
1
4
3
5
8
3
7
9
7
13
10
14
6
6
5
12
9
10
8
11
11
15
V
S
R
0
0
0
1
1
2
1
3
6
4
9
16
4
7
11
2
1
4
2
16
1
4
3
8
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7
9
14
6
6
5
12
9
10
8
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11
15
10
2
1
4
2
15
16
1
4
5
3
7
9
5
9
12
8
10
11
11
10
13
14
6
6
8
3
2
2
4
1
11
3
10
6
9
5
8
PRIMO METODO
SECONDO METODO
1
2
3
2
4
6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
2
3
2
4
6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
2
3
2
4
6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
2
3
2
4
6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
2
3
2
4
6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
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3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
2
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2
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6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
1
2
3
2
4
6
3 4 5 6
6 8 10 12
9 12 15 18
4 8 12 16 20 24
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30 36
numeri armonici
costante di Eulero - Mascheroni
10 cm
1 cm
?
1m
123 metri e 67 centimetri
83 centimetri
idea di Eulero
zeri della funzione in
fattorizzazione
INTERI
0
1
2
3
4
5
6
2
PRIMI
3
45
5
7
11
13
FATTORIZZAZIONE DI UN INTERO IN PRIMI
INTERI
0
1
2
3
4
5
6
2
PRIMI
3
150
5
7
11
13
FATTORIZZAZIONE DI UN INTERO IN PRIMI
45
150
=
però i termini divergono ….
=
identità di Eulero
serie armonica! i termini divergono ancora….
funzione di Riemann
probabilità che un numero a caso non sia divisibile
per un numero p
1
p
2p
3p
4p
5p
due numeri a caso
entrambi divisibili per p
uno divisibile per p e l’altro no
nessuno divisibile per p
non hanno p
come fattore
comune
probabilità che due numeri scelti a caso non abbiano
p come fattore comune
probabilità che due numeri scelti a caso siano coprimi
probabilità che due numeri scelti a caso siano coprimi
simulazione: 100.000 numeri a caso fra 1 e un miliardo:
60868
coprimi
n=1 -> 3.08007,
n=2 -> 3.12711,
n=3 -> 3.13615,
n=4 -> 3.139,
n=5 -> 3.14016,
n=6 -> 3.14072,
n=7 -> 3.14102,
n=8 -> 3.1412
n=1 -> 3.13017,
n=2 -> 3.13991,
n=3 -> 3.14116,
n=4 -> 3.14149,
n=5 -> 3.14154,
n=6 -> 3.14157,
n=7 -> 3.14158,
n=8 -> 3.14159