Alcuni criteri di divisibilità
Ricordiamo il teorema di divisione1 :
A. Teorema. Per ogni coppia ordinata di numeri naturali (a, b) con b > 0
esiste un'unica coppia ordinata (q, r) di numeri naturali tale che a = bq + r
con 0 ≤ r < b.
I numeri q , r vengono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione
di a per b.
Il caso in cui r = 0, ossia il caso in cui b divide a, è particolarmente importante
e caratterizza la relazione di divisibilità. Questa si estende2 facilmente ai
numeri interi relativi. Esplicitare questa estensione è utile per poter enunciare
e dimostrare un risultato ausiliario (Lemma G) che si contestualizza in modo
ecace all'interno della struttura dei numeri interi relativi.
B. Denizione. Dati s, t ∈ Z con t 6= 0, si dice che t divide s, o che s è
divisibile per t (in simboli t|s), se esiste h ∈ Z tale che s = th.
Notiamo che se s, t sono entrambi dei numeri naturali allora anche h lo è,
quindi la divisibilità tra numeri interi relativi è una estensione di quella fra
numeri naturali.
C. Criteri di divisibilità e divisione. Dati due numeri naturali a, b 6= 0
un modo certo per vericare se b divide a è quello di ... svolgere la divisione
completa per calcolarne il resto r. Infatti
1 Una
dimostrazione di questo teorema si trova nel testo: Mario Ferrari, Aritmetica, in
Ministero della Pubblica Istruzione - Unione Matematica Italiana, Aritmetica - Seminario
di formazione per Docenti - Istruzione elementare, Quaderni n. 23, Liceo Scientico Statale
A.Vallisneri, Lucca, Novembre 1996-Febbraio 1997, pp.11-33; disponibile in Internet al sito
http://www.liceo-vallisneri.lu.it/testi.htm.
2 Una discussione del signicato di estensione o di ampliamento si trova nel testo: Vinicio Villani, Cominciamo da Zero, Complementi di Matematica per l'indirizzo didattico,
Vol. 12, Pitagora Editrice, 2003, pp.iii216; in particolare nel paragrafo 6.
1
il resto r della divisione di b per a è nullo se e solo se b divide a
Purtroppo la divisione è un'operazione spesso lunga e operativamente complicata (quindi con una discreta probabilità di errori di calcolo). D'altra parte
l'algoritmo di divisione oltre a dare il resto (e quindi a stabilire se b divide a)
produce sempre anche il quoziente, in molti problemi non richiesto, oppure
richiesto solo in determinati pochi casi. Ad esempio nella scomposizione in
fattori primi di un numero naturale, il calcolo del quoziente interessa solo
per i numeri primi divisori del numero dato. E' utile allora poter disporre di
criteri di divisibilità: condizioni necessarie e sucienti anchè un numero sia
divisibile per un altro e all'atto pratico più semplici dello svolgimento della
divisione completa, che ci permettano di caratterizzare la nullità del resto
della divisione, indipendentemente dal suo svolgimento.
Dunque un criterio di divisibilità per un numero naturale b 6= 0 dovrebbe
essere una condizione, indicata con C , sui numeri naturali a, che soddisfa due
richieste:
1) b divide a se e solo se la condizione C è vericata da a;
2) vericare la condizione C su a è (sensibilmente) più semplice e rapido dello
svolgimento della divisione completa di a per b.
Occorre avvertire che stabilire se un numero sia divisibile per un altro (o se
un dato numero naturale sia primo e in caso contrario trovarne i suoi divisori
primi), è in generale un problema dicile, per il quale non disponiamo di
metodi generali (tranne sostanzialmente quello di svolgere a divisione completa). Conosciamo tuttavia qualche criterio di divisibilità, tra cui qualcuno,
legato alla scrittura posizionale in base dieci dei numeri, introdotto n dai
primi cicli dell'istruzione.
D. La scrittura posizionale in base dieci dei numeri. Ricordiamo ad
esempio che, nella scrittura posizionale in base dieci dei numeri, 2365 signica
2
2 × 1000 + 3 × 100 + 6 × 10 + 5 o anche, facendo intervenire le potenze di 10,
2365 = 2×103 +3×102 +6×101 +5×100 . Inoltre dato che 2365 = 10×236+5
e 0 ≤ 5 < 10, si ottiene che 236 è il quoziente della divisione di 2365 per 10
mentre 5 ne è il resto.
In generale dividendo un numero naturale a per 10: a = 10q + r, 0 ≤ r < 10,
il quoziente q è il numero formato dalle cifre di a con l'omissione dell'ultima
a destra (quella delle unità), mentre il resto r è proprio tale ultima cifra.
Il primo criterio è semplice e molto noto e lo riportiamo per mostrare in
questo caso che cosa intendiamo per condizione C introdotta in (C) e come
intervengono sia il teorema di divisione sia la scrittura posizionale in base
dieci dei numeri.
E. Criterio di divisibilità per 10 (100, 1000...). Un numero naturale
a è divisibile per 10 se e solo se l'ultima cifra a destra nella sua scrittura
posizionale in base dieci è 0.
Osserviamo che in questo caso la condizione C di (C) è espressa dalla frase
l'ultima cifra a destra nella scrittura posizionale in base dieci è 0.
Per la dimostrazione basta ricordare che a è divisibile per 10 se e solo se il
resto della divisione di a per 10 è 0 e che nella scrittura posizionale in base
dieci l'ultima cifra a destra di a è proprio tale resto. Ad esempio 2365 =
2360 + 5 = 10 × 236 + 5 non è divisibile per 10.
In modo analogo
Un numero naturale a è divisibile per 100 = 102 (1000 = 103 ...) se e solo
se sono nulle le ultime due cifre (tre cifre ...) a destra nella sua scrittura
posizionale in base dieci.
Infatti le ultime due cifre (tre cifre ...) sono il resto della divisione di a per
100 (1000 ...). Ad esempio 2365 = 2300 + 65 = 100 × 23 + 65 e 2365 =
2000 + 365 = 1000 × 2 + 365.
3
F. Osservazione. Notiamo che le condizioni enunciate in tali criteri vericano entrambe le richieste previste in (C): infatti caratterizzano i numeri
divisibili per 10 (100, 1000 ...) e sono semplici da vericarsi in quanto qualunque sia il numero (quindi anche molto grande) è suciente controllarne
solo le ultime cifre. L'abitudine può portarci a reputare ovvio tale criterio.
In un certo senso proprio il fatto di ritenerlo tale, dovrebbe consentirci di
apprezzare al contempo la semplicità e la potenza della scrittura posizionale
dei numeri. Ad esempio si trovi e si discuta un criterio di divisibilità per
dieci, cercando qualcosa di comune ai numeri dieci, trenta, cinquanta, cento, cinquecento, mille, millecinquecentonovanta (e a tutti gli altri multipli di
dieci ...), scrivendoli come X, , XXX, L, C, D, M, M DXC, ....
Prima di procedere con altri criteri è opportuno enunciare e dimostrare il
risultato ausiliario a cui abbiamo accennato all'inizio
G. Lemma. Dati a, a0 , b ∈ Z con b 6= 0 e tali che la dierenza a − a0 sia
divisibile per b, allora a è divisibile per b se e solo se lo è a0 .
Dimostrazione. Il fatto di avere esteso il concetto ai numeri interi, ci
consente di trattare la divisibilità per b di a − a0 , che può essere anche un
numero negativo. Dire che b divide a − a0 signica che esiste γ ∈ Z tale che
a − a0 = bγ ; possiamo anche scrivere le forme equivalenti: a0 = a − bγ e
a = bγ + a0 .
Se a è divisibile per b, allora a = bα con α ∈ Z, quindi a0 = a − bγ diventa
a0 = bα − bγ = b(α − γ), quindi a0 è divisibile per b perchè è prodotto di b
per un'altro numero intero (α − γ ). Viceversa se invece a0 è divisibile per b,
allora esiste α0 ∈ Z tale che a0 = bα0 , quindi a = bγ + a0 diventa a = bγ + bα0 ,
ossia a = b(γ + α0 ) e quindi è divisibile per b.
H. Criterio di divisibilità per 2. Un numero naturale a è divisibile per 2
se e solo se l'ultima cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci
è pari (ossia 0, 2, 4, 6 oppure 8).
4
Dal teorema di divisione di ha a = 10 × q + r e, come osservato in D, l'ultima
cifra a destra di a è r: il resto della divisione di a per 10. Poichè allora
a − r = 10q e 10 è divisibile per 2 allora a − r è anche divisibile per 2, quindi,
per il lemma G, a è divisibile per 2 se e solo se lo è r.
I. Criterio di divisibilità per 5. Un numero naturale a è divisibile per 5
se e solo se l'ultima cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci
è divisibile per 5 (ossia 0 oppure 5).
E' analogo al precedente. Questa volta occorre osservare che a − r è divisibile
per 5 dato che lo è il numero 10.
J. Esercizio. Per i criteri di divisibilità per 2 e 5 si cerchi di adattare le
osservazioni fatte in F per 10, 100, 1000 ... a proposito delle due richieste
enunciate in C. Si individuino anche le relative condizioni C . Si cerchi poi un
criterio di divisibilità per due cercando qualcosa di comune ai numeri due,
quattro, dieci, sedici, cento, centocinquanta, mille, millecinquecento, ... scritti
come II, IV, X, XV I, C, CL, M, M D, ....
K. Problema. Si dimostrino i criteri seguenti e se ne discuta la loro
applicabilità:
Un numero naturale a è divisibile per 4 se e solo se il numero formato dalle ultime due cifre a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è
divisibile per 4.
Un numero naturale a è divisibile per 8 se e solo se il numero formato dalle
ultime tre cifre a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è divisibile
per 8.
Un numero naturale a è divisibile per 25 se e solo se il numero formato dalle
ultime due cifre a destra nella sua l'ultima cifra a destra nella sua scrittura
posizionale in base dieci è divisibile per 25 (ossia 00, 25, 50, 75).
5
L. Criteri di divisibilità per 3 e per 9. Un numero naturale a è divisibile
per 3 (risp. 9) se e solo se la somma delle cifre della sua scrittura posizionale
in base dieci è un divisibile per 3 (risp. 9).
Ad esempio con 97062 si ottiene3 9 + 7 + 0 + 6 + 2 = 2 + 6 + 0 + 7 + 9 = 24,
che è divisibile per 3, ma non per 9. In eetti 97062 = 3 × 32354, mentre
97062 = 9 × 10784 + 6, quindi il resto della divisione per 9 è 6.
Diamo una dimostrazione limitandoci, per semplicità, a numeri di al più 5 cifre. Indichiamo con (a4 a3 a2 a1 a0 )dieci , dove a4 , a3 , a2 , a1 , a0 ∈ {0, 1, 2, ..., 9},
il numero a4 104 + a3 103 + a2 102 + a1 10 + a0 : ad esempio nel caso di 97062
si ha: a4 = 9, a3 = 7, a2 = 0, a1 = 6, a0 = 2.
Abbiamo quindi
(a4 a3 a2 a1 a0 )dieci = 10000a4 + 1000a3 + 100a2 + 10a1 + a0 , nel nostro esempio 97062 = 10000 × 9 + 1000 × 7 + 100 × 0 + 10 × 6 + 2. Le potenze
di 10 non sono divisibili per 3 (nè per 9), ma lo sono i numeri immediatamente precedenti: 9 = 3 × 3 = 9 × 1, 99 = 3 × 33 = 9 × 11, 999 =
3 × 333 = 9 × 111, 9999 = 3 × 3333 = 9 × 1111. Quindi possiamo scrivere:
(a4 a3 a2 a1 a0 )dieci = (9999 + 1)a4 + (999 + 1)a3 + (99 + 1)a2 + (9 + 1)a1 + a0 .
Applicando poi le consuete proprietà delle operazioni4 si ottiene:
(a4 a3 a2 a1 a0 )dieci = (9999a4 + 999a3 + 99a2 + 9a1 ) + (a4 + a3 + a2 + a1 +
a0 ) = 9(1111a4 + 111a3 + 11a2 + a1 ) + (a4 + a3 + a2 + a1 + a0 ). Il numero
9(1111a4 + 111a3 + 11a2 + a1 ) è divisibile sia per 3 che per 9, quindi per
il lemma 5, (a4 a3 a2 a1 a0 )dieci è divisibile per 3 (risp. 9) se e solo se lo è la
somma a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 .
M. Osservazione. I criteri appena esposti soddisfano entrambe le richieste
di (C). Infatti caratterizzano i numeri divisibili per 3 e per 9 e sono di più
semplice verica rispetto alla divisione completa. Infatti dato un numero
qualsiasi, la somma delle sue cifre è un numero decisamente più piccolo, ad
3 La
4 Si
somma si può eseguire indierentemente da destra o da sinistra.
consiglia di esplicitare per esercizio i passaggi e di indicare le proprietà formali
utilizzate.
6
esempio partendo da un numero di dieci cifre (a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 )dieci si
ottiene a9 +a8 +a7 +a6 +a5 +a4 +a3 +a2 +a1 +a0 , che è un numero di al massimo
due cifre. Infatti, dato che ogni cifra è al più 9, si ha a9 +a8 +a7 +a6 +a5 +a4 +
a3 +a2 +a1 +a0 ≤ 9+9+9+9+9+9+9+9+9+9 = 90. Il procedimento quindi
consente di semplicare notevolmente il problema, perchè partendo da un
numero qualsiasi ci si riduce a risolvere lo stesso problema, ma relativamente
a un numero molto più piccolo. Inoltre il procedimento può essere ripetuto a
questo secondo numero e così via no a rincondurci ad un numero di una cifra.
Adesempio dal numero 62558399267614409277093914238 si ottiene 6+2+5+
5+8+3+9+9+2+6+7+6+1+4+4+0+9+2+7+709+3+9+1+4+2+3+8 =
141 e da 141 si ottiene 1 + 4 + 1 = 6, che è divisibile per 3, ma non per 9.
N. Criterio di divisibilità per 11. Un numero naturale a è divisibile
per 11 se e solo se la somma con segni alterni delle cifre della sua scrittura
posizionale in base dieci è un divisibile per 11.
Occorre qualche parola sulla condizione espressa con le parole la somma
con segni alterni. In generale seguendo la stessa convenzione di (L) per
(an an−1 ...a2 a1 a0 )dieci = an × 10n + an−1 × 10n−1 + ... + a2 × 102 + a1 × 10 + a0
si ottiene: a0 − a1 + a2 − a3 + a4 ...; si può notare che in quest'ordine il
segno del termine generico ar è (−1)r , quindi + se r è pari e − se r è
dispari. Ad esempio 91817 = 11 × 8347 è divisibile per 11 ed infatti anche
7 − 1 + 8 − 1 + 9 = 22 = 11 × 2 lo è5 .
5 La
somma alternata può essere fatta sia da destra che da sinistra: nel caso, come il
nostro, in cui si abbia un numero pari di cifre, si ottiene la stessa somma; invece nel caso
di un numero dispari di cifre le due somme sono l'una l'opposto dell'altra, ma questo non
incide sulla divisibilità. Si provi a questo proposito a dimostrare che, dati s, t ∈ Z con
t 6= 0, allora t divide s se e solo se t divide −s e che inoltre i quozienti sono l'uno l'opposto
dell'altro. Le somme alternate inoltre possono essere fatte partendo indierentemente con
il segno + o con il segno − o ancora sommando le cifre di posto pari da destra (risp. da
sinistra) e sottraendo a questa la somma delle cifre di posto dispari da destra (risp. da
sinistra), oppure sommando le cifre di posto dispari e sottraendo a questa la somma delle
7
Per questo criterio inoltre si possono adattare ancora le osservazioni fatte in
(M). Il procedimento consente ancora di semplicare il problema: partendo
da un numero qualsiasi, ci si riduce a un numero molto più piccolo e il
procedimento puèssere ripetuto no a rincondurci rapidamente ad un numero
di una cifra.
Come prima dimostriamo il criterio limitandoci per semplicità a numeri di al
più 5 cifre. Questa volta si ha: (a4 a3 a2 a1 a0 )dieci = 10000a4 +1000a3 +100a2 +
10a1 + a0 , ancora una volta le potenze di dieci non sono divisibili per 11, ma
lo sono (distinguendo le potenze dispari da quelle pari) 11 = 10 + 1, 1001 =
11×91 = 1000+1 ... e 99 = 11×9 = 100−1, 9999 = 11×909 = 10000−1 ....
Quindi analogamente a prima6 si ricava: (a4 a3 a2 a1 a0 )dieci = (9999 + 1)a4 +
(1001 − 1)a3 + (99 + 1)a2 + (11 − 1)a1 + a0 = (9999a4 + 1001a3 + 99a2 + 11a1 ) +
(a0 − a1 + a2 − a3 + a4 ) = 11(a4 909 + a3 91 + a2 9 + a1 ) + (a0 − a1 + a2 − a3 + a4 ).
Il primo addendo è divisibile per 11, quindi per il Lemma G, (a4 a3 a2 a1 a0 )dieci
è divisibile per 11 se e solo se lo è a0 − a1 + a2 − a3 + a4 .
O. Criterio di divisibilità per 7. Un numero naturale a è divisibile per
7 se e solo se nella sua scrittura posizionale in base dieci il numero, che si
ottiene sottraendo il doppio dell'ultima cifra di a dal numero formato dalle
cifre di a con l'omisione dell'ultima, è divisibile per 11.
Facciamo un esempio: 406 = 7 × 58 è divisibile per 7 ed in eetti è divisibile
per 7 anche il numero 40 − 2 × 6 = 28 = 7 × 4, mentre non sono divisibili per
7 i numeri 407 e 40 − 2 × 7 = 26. In generale, come abbiamo già osservato in
(D), dividendo un numero naturale a per 10, otteniamo quoziente q e resto r,
vericanti le relazioni a = 10 × q + r e 0 ≤ r < 10. Nella scrittura posizionale
in base dieci q è il numero formato dalle cifre di a con l'omisione dell'ultima,
la quale è r. Quindi il criterio si può enunciare come segue
cifre di posto pari; nel nostro caso (7 + 8 + 9) − (1 + 1) = 22 o (1 + 1) − (9 + 8 + 7) = −22
entrambi divisibili per 11.
6 Si consiglia ancora di svolgere nei dettagli tutti i passaggi.
8
un numero naturale a = 10 × q + r, 0 ≤ r < 10 è divisibile per 7 se e solo
se lo è il numero q − 2r
Infatti supponiamo che a = 10q + r sia divisibile per 7, ossia che a = 7h
con h ∈ N, allora si ha: 7h = 10q + r o in modo equivalente r = 7h − 10q .
Prendiamo ora q − 2r; sostituendo otteniamo: q − 2r = q − 2(7h − 10q) =
21q−14r = 7(3q−2r) e quindi q−2r è divisibile per 7. Viceversa supponiamo
che sia q − 2r ad essere divisibile per 7, ossia q − 2r = 7k con k ∈ N, questo
signica q = 7k + 2r e quindi abbiamo a = 10q + r = 10(7k + 2r) + r =
70k + 21r = 7(10k + 3r) ed a è divisibile per r.
P. Osservazione. Anche il precedente verica entrambe le richieste enunciate in (D). Tuttavia la seconda merita in questo caso qualche commento.
Ancora una volta si passa ancora da un numero più lungo ad uno più corto e di seguito, iterando il procedimento, no ad uno di una o due cifre, ma
con una velocità inferiore rispetto ai criteri precedenti per 3, 9, 11. Infatti
posto a = 10q + r, il numero q − 2r ha solo una o in qualche caso due cifre in
meno di a: ad esempio per a = 1115 si ha q − 2r = 111 − 2 × 5 = 101, mentre
da a = 1116 si ottiene q − 2r = 111 − 2 × 6 = 99. Così da un numero di 10
cifre si passa ad uno di 8 o 9 cifre, da uno di 8 ad uno di 6 o 7 .... In questo
modo per stabilire se un numero di 10 cifre è divisibile per 7, senza eseguire
nessuna divisione ed assumendo noti i numeri di al più due cifre che lo sono7 ,
sono necessari da un minimo di 4 a un massimo di 8 iterazioni dello stesso
procedimento per ricondursi ad un numero di al più due cifre. Il criterio di
divisibilità per 7 è dunque meno eciente rispetto ai precedenti.
Q. Esercizio. Si scomponga in fattori primi il numero 17325000.
Procediamo nel modo usuale con la tabella
7 Questi
sono poco più di quelli nell'ordinaria tabellina del 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42,
49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.
9
17325000
23 × 53
17325 5
(17325000 è divisibile per 1000 = 23 × 53 perchè termina con tre zeri)
(17325 è divisibile per 5 perchè termina con 5)
3465 5
(3465 è divisibile per 5 perchè termina con 5)
693 3
(693 è divisibile per 3 perchè lo é la somma delle sue cifre 6 + 9 + 3 = 18)
231 3
(231 è divisibile per 3 perchè lo é la somma delle sue cifre 2 + 3 + 1 = 6)
77 7
11 11
1
Quindi 17325000 = 23 × 32 × 55 × 7 × 11.
R. Esercizi. Si scompongano in fattori primi i numeri seguenti, indicando
come prima, gli eventuali criteri di divisibilità utilizzati:
a. 1617000
b. 10602900
c. 25863750
d. 1697850
e. 106425000
f. 7612500
g. 1048950
h. 2336400
i. 2237301000
j. 1716890175
10