Divisibilità e Fattorizzazione Def: dati due numeri naturali a e b: - se a è DIVISIBILE per b, allora a è MULTIPLO di b, - se b è DIVISORE di a, allora b è SOTTOMULTIPLO di a . Es: 10 è divisibile per 2 10 è multiplo di 2 2 è divisore di 10 2 è sottomultiplo di 10 Proprietà: L’insieme dei multipli di un numero è un insieme infinito. L’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito. Es: D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} D(32) = {1; 2; 4; 8; 16; 32} M(4) = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40….} M(10) = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100….} Def: si dicono PARI tutti i MULTIPLI DI 2; si dicono DISPARI i numeri naturali non pari. Es: 28 è multiplo di 2 PARI 27 non è multiplo di 2 DISPARI 1 CRITERI DI DIVISIBILITA’ 1. DIVISIBILITÀ PER 2: un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è PARI; Es: 296 6 è pari è divisibile per 2 9870 0 è pari è divisibile per 2 123 3 non è pari non è divisibile per 2 2. DIVISIBILITÀ PER 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3; Es: 123 (1+2+3) = 6 6 è divisibile per 3 123 è divisibile per 3 24'732 (2+4+7+3+2) = 18 18 è divisibile per 3 24'732 è divisibile per 3 7'153 (7+1+5+3) = 16 16 non è divisibile per 3 7'153 non è divisibile per 3 3. DIVISIBILITÀ PER 4: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono un multiplo di 4, oppure 2 zeri; Es: 716 16 è multiplo di 4 716 è divisibile per 4 518 18 NON è multiplo di 4 518 NON è divisibile per 4 1'200 finisce con 00 è divisibile per 4 1201 01 NON è multiplo di 4 non è divisibile per 4 1100 è divisibile per 4 2 4. DIVISIBILITÀ PER 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5; Es: 2'765 è divisibile per 5 1'110 è divisibile per 5 32'000 è divisibile per 5 5'555 è divisibile per 5 5. DIVISIBILITÀ PER 9: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9; Es: 162 (1+6+2) = 9 162 è divisibile per 9 7'308 (7+3+0+8) = 18 18 è multiplo di 9 è divisibile per 9 26'070 (2+6+0+7+0) = 15 15 NON è multiplo di 9 NON è divisibile per 9 6. DIVISIBILITÀ PER 11: un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è un multiplo di 11; Es: 11 è multiplo di 11 9185 è divisibile per 11 22 è multiplo di 11 170'918 è divisibile per 11 3 7. DIVISIBILITÀ PER 10, 100, 1000,…: un numero è divisibile per 10,100,1000,… se termina rispettivamente con 1,2,3,… zeri; Es: 1'200 divisibile per 100 340 divisibile per 10 54'000 divisibile per 1'000 12'100 divisibile per 100 8. DIVISIBILITÀ PER 25: un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono divisibili per 25 oppure termina con 00. Es: 725 25 è divisibile per 25 è divisibile per 25 1'875 75 è divisibile per 25 è divisibile per 25 2'505 05 NON è divisibile per 25 NON è divisibile per 25 14'000 00 è divisibile per 25 Def: Un numero naturale si dice PRIMO se è divisibile solo per se stesso e per 1. Un numero naturale si dice COMPOSTO se ammette altri divisori oltre se stesso e 1. Es: 5 D(5) = {1; 5} primo 7 D(7) = {1; 7} primo 9 D(9) = {1; 3; 9} composto NUMERI PRIMI DA 1 A 47 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI Def: Scomporre un numero in FATTORI PRIMI significa trovare tutti i numeri primi il cui prodotto è uguale al numero dato. METODO DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: Esempio: Nella colonna di destra POSSONO esserci SOLO NUMERI PRIMI Il metodo termina quando nella colonna di sinistra si arriva al numero 1. 30 = 2·3·5 Esempio: OSSERVAZIONE: se un numero primo nella colonna di destra si ripete, nel risultato si DEVONO utilizzare le POTENZE. Esempio: OSSERVAZIONE: se il numero da scomporre termina con 0, si può dividere subito per 2·5 (=10), e poi per gli altri numeri primi. 5 Esempio: OSSERVAZIONE: se il numero da scomporre termina con 2, 3, 4,… zeri, si deve dividere per 2·5 (=10), fino a mandare via tutti gli zeri, poi si continua con gli altri numeri primi. 6