Istituzioni di Economia Politica
prof. L. Ditta
La funzione di produzione,
Produttività marginale,
SMST e rendimenti
Facoltà di Giurisprudenza
Università di Perugia
Presentazione basata su materiali del prof. Rodano
Tecnologia e costi
La curva d’offerta dipende dal costo marginale (e dunque del
costo totale C(q) da cui il Cmg è derivato).
Da cosa dipendono i
costi?
Dipendono da due cose :
La tecnologia è sintetizzata
(a) la tecnologia;
(b) i prezzi degli inputs
dalla funzione di produzione
Assumiamo che la produzione richieda due fattori:
L (lavoro) e K (macchinari).
I prezzi dei due inputs sono w (lavoro) e pk(macchine). In
concorrenza, per la singola impresa, anche questi prezzi
sono dati.
C t = w L +p k K
Il costo di produzione è la spesa per gli inputs produttivi
Funzione di produzione
Quando ci sono due inputs la funzione di produzione
ha due variabili indipendenti :
y = f (L, K )
Un esempio molto semplificato di funzione di produzione è:
yL K
α
β
La funzione di produzione fornisce tre tipi di informazioni sulle
caratteristiche della tecnologia:
(a) cosa accade alla quantità prodotta qy se si aumenta un solo
input combinandolo con una quantità invariata dell’altro:
produttività marginale di un fattore;
(b) cosa accade alla quantità prodotta qy se si sostituisce (in
parte) un input con l’altro: SMST;
(c) cosa accade alla quantità prodotta qy se si aumentano
entrambi gli inputs (stessa proporzione): rendimenti di
scala.
Produttività marginale (del lavoro)
La produttività marginale del lavoro (PmgL) è l’aumento della
produzione che si ottiene quando il lavoro impiegato aumenta
di un’unità (mantenendo costante l’impiego dei macchinari,
K) :
PmgL = f(L + 1, K) - f(L, K)
In termini generali la produttività marginale di un
fattore di produzione è l’aumento di produzione che si
ottiene dall’impiego di una unità addizionale del
fattore senza variare l’impiego degli altri.
La produttività marginale dei macchinari (capitale) può,
ad esempio, essere definita in modo analogo come
PmgK = f(L, K + 1) – f(L, K)
SMST (Saggio marginale di sostituzione tecnica)
Il saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST) misura di
quanto deve ridursi l’impiego di un fattore quando la quantità
usata dell’altro aumenta di 1 unità, a produzione costante (si
noti l’analogia con il SMS del consumatore).
Supponiamo che la funzione di produzione di un bene sia:
y = f (K, L) = 2K + L
In questo caso il SMST è -1/2, ovvero se la quantità di lavoro
viene aumentata di una unità, il capitale dovrà ridursi di 1/2 unità
affinché la produzione resti invariata. Ad esempio con 5 unità di
K e 4 di L vengono prodotte 1 0+ 4=14 unità; per produrre la
stessa quantità con +1 unità di lavoro, il capitale dev’essere ridotto
di ½ unità (L passa da 4 a 5 e K da 5 a 4,5): - ΔK/ΔL=-1/2
Attenzione il SMST non è in genere costante come nel nostro
esempio, ma varia al variare della quantità prodotta (verificate con
l’esempio della funzione con la radice quadrata).
Breve e lungo periodo
La distinzione tra breve periodo e lungo periodo riguarda la
possibilità per l’impresa di variare tutti i fattori.
BREVE PERIODO. L’impresa può variare solo la quantità di un
fattore, detto fattore variabile ; la quantità dell’altro fattore, detto
fisso , è data e costante.
LUNGO PERIODO. L’impresa può scegliere liberamente le
quantità dei due fattori, che sono perciò entrambi variabili.
Sia il lavoro (L) il fattore sempre variabile. Quello fisso nel breve
periodo (K, il macchinario) verrà chiamato impianto.
Nel breve periodo il prodotto può variare solo se varia il lavoro.
La funzione di produzione ha una sola variabile indipendente.
NB: fattore fisso e costo fisso sono due concetti differenti.
Input variabile e quantità prodotta
Assumiamo, per esempio, una funzione di produzione del tipo:
y  LK
Assumiamo breve periodo, sicché l’impianto è dato e K =100
La formula diventa y  10 L
osserviamo come aumenta il prodotto al crescere di L (il lavoro)
e calcoliamo la produttività marginale (variazione del prodotto)
PRODOTTO TOTALE
PRODUTTIVITÀ MARGINALE DEL LAVORO
L=0y=0
L= 1  PmgL = 10
L = 1  y = 10
L= 2  PmgL  4.1
L = 2  y  14.1
L= 3  Pmgl  3.2
L = 3  y  17.3
L= 4  Pmgl  2.7
L = 4  y = 20
L= 5  PmgL  2.3
L = 5  y  22.3
…
…
Nel nostro esempio la produttività marginale è decrescente.
Rendimenti di scala
Perché la produttività marginale è decrescente?
Prima di rispondere vediamo cosa succede se aumentano
entrambi i fattori (il che, come sappiamo, può avvenire solo nel
lungo periodo).
È facile verificare, usando la formula, che un raddoppio di
entrambi i fattori (lavoro e macchinario) raddoppia anche la
quantità prodotta. Più in generale, il prodotto varia della stessa
proporzione dei due fattori.
Quando si verifica questo risultato si dice che la produzione
presenta rendimenti costanti di scala.
Possono esserci anche funzioni di produzione che presentano
rendimenti decrescenti o crescenti.
Se i rendimenti sono costanti o decrescenti, la produttività
marginale è per forza decrescente: impiegando sempre più
lavoro nello stesso impianto il processo diviene via via più
difficoltoso(per usare al meglio più lavoro, ci vuole un impianto
più grande).
Il problema del produttore
(minimizzazione dei costi, ovvero scelta della tecnica)
L’impresa deve scegliere la combinazione ottimale dei fattori
(tecnica di produzione). In questa fase considererà un dato la
quantità da produrre (quella che massimizza il profitto) e
sceglierà la tecnica avente il costo minore.
Il suo è perciò un problema di minimizzazione dei costi.
La scelta che minimizza il costo soddisfa la condizione:
SMST = w/pk
SMST misura di quanto deve diminuire un fattore di produzione
a fronte di un aumento unitario del secondo, a parità di quantità
prodotta. Il rapporto w/pk é il prezzo relativo di un fattore (il
valore di mercato in termini del secondo).
Questa uguaglianza è la condizione dell’efficienza economica.
La tecnica efficiente
L’efficienza economica: minimizzazione dei costi
Sia q* la quantità da produrre scelta dall’impresa. Essa è
producibile tramite diverse combinazioni di K e L.
Quella ottimale minimizza il costo C = wL + pk K;
questa relazione, che esprime la spesa per l’acquisto
dei fattori produttivi, è una retta di intercetta C/pk e
inclinazione w/pk . Per ogni valore di C abbiamo
quindi una retta detta isocosto, ossia il luogo
geometrico dei punti rappresentanti le combinazioni
di L e K che hanno lo stesso costo C .
Analogamente abbiamo, per ogni livello di produzione q
=f(L, K), un isoquanto che rappresenta tutte le
combinazioni di L e K necessarie a produrre q .
La tecnica efficiente
Possiamo rappresentare la funzione di produzione su un grafico a
due dimensioni tramite una famiglia di isoquanti, ciascuno dei
quali rappresenta un livello di produzione (grafico a sinistra).
Analogamente possiamo rappresentare le rette di isocosto, come
nel grafico a destra
K
K
C3
q2
q3
C2
C1
q1
0
L
0
L
La tecnica efficiente
La scelta cadrà sulla combinazione di fattori corrispondente al punto di
tangenza tra l’isocosto e l’isoquanto corrispondente a q* .
Sovrapponendo i due grafici otteniamo il risultato cercato. Se
assumiamo che l’isoquanto di mezzo rappresenta la quantità q*, allora la
tecnica efficiente è rappresentata dalla coppia K*, L*, in corrispondenza
della quale SMST = w/pk
.
K
K*
q*
0
L*
w/pk
L