Microeconomia, Esercitazione 3.
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
1
Esercizi.
1.1
Produzione/1
Data una certa tecnologia di produzione definita solo nell’input lavoro (o, in alternativa, fissa la
quantità degli altri input), si osserva la seguente relazione tra quantità prodotta e unità di lavoro
impiegate nel processo produttivo:
Lavoro
Quantità
0
0
1
100
2
250
3
450
4
620
5
720
6
750
si determinino prodotto marginale e medio del fattore lavoro.
1.2
Produzione/2
Data la seguente funzioni di produzione:
(a) q(L, K) = 3L + 2K;
(b) q(L, K) =
1
4
· L · K 1/2 ;
(c) q(L, K) = L1/3 K 2/3 ;
ipotizzate che, nel breve periodo, il fattore lavoro sia fisso e determinate prodotto marginale e
medio del capitale. Le funzioni sono coerenti con l’ipotesi di rendimenti marginali decrescenti?
Ripetete l’analisi ipotizzando che sia il capitale il fattore fisso nel breve periodo.
1
1.3
Rendimenti di scala/1
Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione:
p
(a) q(L, K) = 2 L2 + K 2
(b) q(L, K) = L2/5 K 1/5
(c) q(L, K) = (2/3)(L + K)
1.4
Rendimenti di scala/2
Dimostrate analiticamente che le funzioni:
(a) q(L, K) = L2 + 2K;
(b) q(L, K) =
p
L + 2K;
mostrano rispettvamente rendimenti crescenti e decrescenti di scala.
1.5
Funzione di Costo/1
Un’impresa utilizza capitale e lavoro. Supponiamo che il prezzo di un’unità di capitale sia pari
a 1 e che il prezzo di una unità di lavoro sia pari a 2. L’impresa attualmente impiega entrambi
gli input e in corrispondenza di tale combinazione il prodotto marginale del capitale è pari a 2 e
il prodotto marginale del lavoro è pari a 1. Secondo voi la combinazione degli input impiegata
minimizza il costo di produzione? In caso di risposta negativa se l’impresa vuole mantenere
inalterato il livello attuale di produzione le conviene aumentare il capitale o il lavoro?
1.6
Funzione di Costo/2
Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione:
q(L, K) = 3L1/3 K 1/3
i prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente w = 8 e r = 1. Si dica quale tra le
seguenti combinazioni di input (L,K) é quella di equilibrio (che garantisce la massima produzione)
nel caso in cui l’impresa abbia un vincolo di costo pari a 96 euro.
(a) (2,16)
(b) (3,8)
2
(c) (6,36)
(d) (3,28)
(e) (4,32)
(f ) (6,48)
(g) (6,9)
1.7
Funzione di Costo/3
Un’impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione:
q(L, K) = L1/2 K 1/2
i prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente w = 4 e r = 9.
(a) determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui l’impresa possa sostenere una
spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200;
(b) determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.
1.8
Funzione di Costo/4
Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione:
q(L, K) = 2L1/2 K 1/2
i prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente w = 2 e r = 1.
(a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo, supponendo che
nel breve periodo l’impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro L̄ = 3.
(b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo.
1.9
Funzione di Costo/5
Un’impresa ha la seguente funzione di costo di breve periodo:
T C = 600 + 4 · q 2
e il seguente costo marginale:
MC = 8 · q
3
Si individui il costo fisso, il costo variabile di breve periodo, il costo medio di breve periodo.
Attualmente l’impresa produce 60 unità. Secondo voi in corrispondenza di tale livello di produzione il costo medio sostenuto è minimo? In caso di risposta negativa quale suggerimento date
all’impresa?
1.10
Funzione di Costo/6
Un’impresa ha la seguente funzione di costo di breve periodo:
T C = 1600 + q 2 + 8 · q
e il seguente costo marginale:
MC = 2 · q + 8
Si individui il costo fisso, il costo variabile di breve periodo, il costo medio di breve periodo.
Attualmente l’impresa produce 20 unità. Secondo voi in corrispondenza di tale livello di produzione il costo medio sostenuto è minimo? In caso di risposta negativa quale suggerimento date
all’impresa?
4
Soluzioni suggerite
1.1: La tabella è la seguente:
Lavoro
Quantità
0
0
1
M PL
APL
100
100
100
2
250
150
125
3
450
200
150
4
620
170
155
5
720
100
144
6
750
30
125
si noti che la produttività marginale è prima crescente e poi decrescente e riflette la legge dei
rendimenti marginali decrescenti. Anche la produttività media ha un andamento “a campana”
e, dopo un iniziale aumento, diminuisce quando la marginale scende sotto la media (per L=4).
1.2: Se nel breve periodo il fattore produttivo fisso è il lavoro converrà indicare L = L e
trattarla come una costante, avremo dunque che:
(a) Il prodotto marginale si determina differenziando q(L, K) = 3L + 2K rispetto a K; avremo
dunque che M PK = 2. Il prodotto medio si determina dividendo il prodotto totale, ovvero
la funzione di produzione, per le unità di capitale impiegate: APK =
3L+2K
.
K
La funzione di
produzione non soddisfa l’ipotesi di rendimenti marginali decrescenti dato che il prodotto
marginale del capitale è costante. Inoltre il prodotto medio è sempre maggiore del prodotto
marginale ( 3L+2K
> 2 dato che 3L + 2K > 2K) e dunque è strettamente decrescente (si
K
noti anche che per K ! 1 vale che APK ! M PK ).
(b) In questo caso avremo che M PK =
L
p
8· K
e M PK =
L
p
.
4· K
La funzione di produzione questa
volta soddisfa l’ipotesi di rendimenti marginali decrescenti dato che il prodotto marginale
del capitale è decrescente in K. Ancora una volta il prodotto medio è maggiore del prodotto
marginale e strettamente decrescente.
(c) In questo caso avremo che M PK =
2L
p
3· 3 K
e APK =
punto (b).
5
p
3
2·p L
.
3
K
Valgono le stesse conclusioni del
1.3: I rendimenti di scala indicano come varia il livello di produzione a seguito di una variazione
equiproporzionale di tutti gli input. Vediamo quindi come varia q se facciamo variare entrambi
i fattori nella proporzione .
p
(a) q( L, K) = 2
2 L2
+
2K 2
p
=2
2 (L2
+ K 2) = 2
p
L2 + K 2 = q(L, K)
questa funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti perché moltiplicando entrambi i fattori per
(b) q( L, K) =
poiché
3/5
si ottiene esattamente
2/5 L2/5 1/5 K 1/5
<
=
3/5 L2/5 K 1/5
volte il livello di produzione iniziale.
=
3/5 q(L, K)
< q(L, K)
, la funzione presenta rendimenti di scala decrescenti: ad un aumento
equiproporzionale degli input, corrisponde un aumento meno che proporzionale dell’output.
(c) q( L, K) = (2/3)( L + K) = (2/3)(L + K) = q(L, K)
questa funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti.
1.4: Analogamente all’esercizio precedente avremo che:
(a) q( L, K) =
2 L2
+ 2 K 2 = ( L2 + 2K 2 ) > q(L, K)
questa funzione di produzione ha rendimenti di scala crescenti.
(b) q( L, K) =
poiché
1/2
p
L + 2 K = 1/2 L1/2 + 2 K = (L1/2 1/2 + 2K) < q(L, K)
p
1/2 < 1, la funzione presenta dunque rendimenti di scala
=
> 1 allora
decrescenti: ad un aumento equiproporzionale degli input, corrisponde un aumento meno
che proporzionale dell’output.
1.5: L’esercizio non fornisce le informazioni necessarie per individuare la combinazione di input
ottimale ma ci permette comunque di capire se l’impresa si trova in posizione ottimale o meno.
Per far questo dobbiamo confrontare il valore del saggio marginale di sostituzione tecnica con
quello del rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi. Il primo è pari al rapporto tra il prodotto
marginale del fattore lavoro e il prodotto marginale del fattore capitale:
M PL
1
=
M PK
2
il secondo è pari a 2.
Vale dunque che M RT SK,L < w/r (la pendenza della retta tan-
gente l’isoquanto in corrispondenza della coppia (L,K) in questione è minore della pendenza
dell’isocosto) ovvero siamo in punto in cui il prodotto dell’ultimo euro speso per retribuire il
fattore lavoro ( MwPL =
1
2)
è minore dell’ultimo dollaro speso per retribuire il fattore capitale
( M rPK = 21 ). L’impresa non si trova in corrispondenza di una combinazione ottimale di input.
6
Se volesse mantenere lo stesso livello di produzione (ovvero rimanere sullo stesso isoquanto) le
converrebbe inoltre aumentare l’impiego del fattore capitale a discapito el fattore lavoro dato che
in questo modo otterrebbe un risparmio in termini di costo.
1.6: Per risolvere l’esercizio é necessario impostare un sistema che include ancora la condizione
di tangenza tra isocosto e isoquanto e un vincolo sul costo totale che l’impresa vuole sostenere
al massimo (quindi includiamo la funzione di costo):
8
>
< K = 8 ! K = 8L
L
1
>
:CT = wL + rK = 8L + K ! 96 = 8L + K
sostituendo la condizione di tangenza al vincolo di costo (isocosto corrispondente a 96) otteniamo:
96 = 8L + 8L = 16L ! L⇤ =
96
=6
16
e sostituendo questa nella condizione di tangenza otteniamo K ⇤ = 48. La combinazione ottimale
di inputs sará allora la (f).
1.7: A riguardo del punto (a): la scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo
il problema di massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa
possa sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200. Il sistema da risolvere
in questo caso è:
8
>
<K =
L
4
9
>
:1200 = 4L + 9K
da cui si ottiene (procedendo analogamente all’esercizio precedente) L⇤ = 150 e K ⇤ = 66, 6̄. Per
quanto riguarda il punto (b) si noti che per determinare le curve di costo di lungo periodo occorre
innanzitutto determinare come si modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo
periodo non è piú un input fisso) in funzione del livello di produzione. Dato che abbiamo bisogno
di q, scriviamo il sistema sostituendo il vincolo di costo con la funzione di produzione.
8
>
<K = 4
L
9
>
:q = K 1/2 L1/2
da cui, sostituendo la condizione di tangenza (K = 49 L) nella funzione di produzione, ricaviamo
le domande ottimali di K e L in funzione di q:
3
2
L = q; K = q
2
3
7
la curva di costo totale di lungo periodo é quindi:
3
2
CT (q) = w · L + r · K = 4 · q + 9 · q = 12q
2
3
e nel lungo periodo AC = M C = 12.
1.8: Punto (a): Se il fattore di produzione lavoro è fisso nel breve periodo, la funzione di
produzione diventa:
p
q = 2K 1/2 L̄1/2 = 2K 1/2 31/2 = 2 3K 1/2
quindi la domanda dell’input variabile K in funzione dell’output é:
✓
◆2
q
q2
p
K=
=
12
2 3
il costo totale di breve periodo è quindi:
CTB = 1 ·
q2
12
questo è il costo economico per l’impresa, ovvero il costo per l’acquisto dei fattori variabili nel
breve periodo (in questo caso il capitale). La spesa totale nei fattori comprende invece anche
il costo per il fattore che nel breve periodo è fisso per l’impresa (il lavoro), ma che non rientra
nei costi economici in quanto il fattore fisso non ha un impiego alternativo (e quindi un costo
opportunità) nel breve periodo. Il costo marginale e il costo medio di breve periodo sono:
q
q
M CB = ;ACB =
6
12
Punto (b): Nel lungo periodo tutti gli input sono variabili, quindi per ricavare la funzione di
costo di lungo periodo occorre determinare prima le funzioni di domanda di entrambi i fattori in
funzione dell’output:
quindi, dato che M RT SL,K =
ovvero
8
>
<M RT SL,K =
K
L
w
r
>
:q = 2K 1/2 L1/2
il sistema diventa:
8
>
<K = 2
L
>
:q = 2K 1/2 L1/2
8
>
< K = 2 ! K = 2L
L
>
:q = 2(2L)1/2 L1/2 = 2p2L
8
da cui si ricava che le funzioni di domanda dei due fattori in funzione del livello di produzione
sono:
p
p
2
2
L=
q;K =
q
4
2
quindi la funzione di costo di lungo periodo é:
p
p
p
2
2
CT (q)L = r · K + w · L = 1 ·
q+2·
q = 2q
2
4
I costi marginali e medi associati a questa funzione di costo di lungo periodo sono:
M CL =
p
2;ACL =
p
2
Il fatto che i costi medi di lungo periodo sono costanti indica che la funzione di produzione in
oggetto ha rendimenti di scala costanti.
1.9: Il costo fisso è la componente della funzione di costo che non varia al variare di q, nel
nostro caso sarà quindi F C = 600. Il costo variabile è invece la componente chevaria al variare
di q, e sarà V C = 4q 2 . Per ottenere il costo medio è invece necessario dividere l’intera funzione
di costo per la quantità:
AC =
TC
600 + 4q 2
600
=
=
+ 4q
q
q
q
Sostituendo q = 60 nelle definizioni di costo marginale e medio siamo in grado di capire se ci
troviamo in corrispondenza della quantità che minimizza il costo medio. Abbiamo che M Cq=60 =
8 · 60 = 480 e ACq=60 =
600
60
+ 4 · 60 = 10 + 240 = 250. Dato che M Cq=60 > ACq=60 l’impresa
dovrà ridurre la produzione per minimizzare il costo medio.
1.10: In questo caso abbiamo che F C = 1.600, V C = q 2 + 8 · q e T C =
1600
q
+ q + 8. In
corrispondenza di q = 20 all’impresa conviene aumentare la produzione dato che M Cq=20 =
48 < 108 = ACq=20 .
9