A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
Effetto tunnel
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
con “effetto tunnel” ci si riferisce al fenomeno tipicamente quantistico secondo il quale una particella e’ in grado di filtrare
attraverso una barriera di potenziale che classicamente non potrebbe sormontare perche’ la sua energia totale
(potenziale piu’ cinetica) e’ inferiore all’energia potenziale della barriera.
Classicamente:
Quantisticamente?
E = T + V = energia meccanica della particella,
V0 = altezza della barriera di potenziale
se E > V0 il carrello sara’ in grado
di superare la collina ossia la
particella classica sara’ in grado di
sormontare la barriera di potenziale
e proseguire oltre
E
V0
se E < V0 il carrello non sara’ in
grado di superare la collina e
ritornera’ indietro, ossia la particella
classica verra’ “ riflessa ” dalla
barriera di potenziale
Barriera di potenziale
“turning point” = posizione in cui si ha E = V0
ossia posizione nella quale l’energia cinetica del
carrello si annulla
1
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
1
2
V(x) = V0 per 0 < x < L
V(x) = 0 per x < 0 e x>L
3
 e  x continue
nei punti di discontinuità di V
0
L
per risolvere il problema occorre calcolare e raccordare fra di loro le soluzioni stazionarie per


 V  E
2
2m x
2
2
… 3 regioni spaziali …
1

2

3
0  E  V0
E  V0
… x 2 regioni energetiche = 6 soluzioni
2
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
Effetto tunnel
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Stati di riflessione: E < V0
Secondo la meccanica quantistica, la particella può passare nella regione con x > L, cioè esiste una
probabilità finita che l’onda di materia ad essa associata penetri attraverso la barriera, giungendo nella
regione x > L
quindi, la particella non solo puo’ venire riflessa (unico risultato possibile classicamente) ma puo’
anche essere trasmessa oltre la barriera.
tale situazione viene denominata effetto tunnel
10 eV
5 eV
5A
1A
Onda
stazionaria
Onda
piana
http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Potential_Barrier.htm
3
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
Caso analogo (uguale!!) alla buca di potenziale finita, ma diverso dal caso classico:
x  0 (I )
 0

V ( x)  V0 0  x  L ( II )
 0
x  L ( III )

V(x)
V0
0
I
x
L
II
III
supponiamo di avere a sinistra una sorgente di elettroni con E < V0
 ( x, t )  ei ( kx t )
è l'onda iniziale (x < 0), con E 
 , k  2mE /
classicamente la particella rimarrebbe nella zona I perche’ rimbalza in x = 0
quantisticamente il sistema è descritto dalle stesse equazioni della buca di potenziale:
unica differenza: -V0  +V0
per le soluzioni (x) dell’ equazione di Schroedingr indipendente dal tempo si ha
 II ( x)  Ceik x  Deik x con k   2m( E  V0 ) /
(
se E  V0 )
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
soluzione generale per E < V0:
 Ae ikx  Be ikx

 ( x)  Ce  x  De  x
 ikx

Fe

x  0 (I )
k  2mE /
0  x  L ( II ) con
  2m(V0  E ) /
x  L ( III )
( )
condizioni al contorno in 0 e in L  4 relazioni: fisso B,C,D,F
non ho alcuna relazione di quantizzazione!
R  B / A  f1 ( E , L,V0 )
2
definisco: probabilità di riflessione dell’onda
probabilità di trasmissione dell’onda
T  F / A  f 2 ( E , L,V0 )
2
svolgendo i conti:
posto
si ottiene:
 2m( E  V0 ) 
  sin 
L


e
2
R

 
e T

 
2

EE
  4   1
V0  V0 
(T  R  1)
2
|ψ(x)|
V0
0
I
x
L
II
III
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
Effetto tunnel
Stati di riflessione: E < V0
x<0
0<x<L
x>L
Zona
2


classicamente proibita

 ( x)  Aeikx  Beikx

 ik  Aeikx  Be  ikx 
x
 ( x)  Ce x  De x
 ( x)  Feikx

  Ce x   De  x
x

 ikFeikx
x
6
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
Effetto tunnel
E  V0
19,3 eV
12 eV
10 eV
10 A
Vai al Physlets 2003/physletprob/ch5_overview/5.5.fig_33.html
7
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Effetto tunnel
l’effetto tunnel ha un ruolo in un numero
notevole di situazioni tra cui:
• decadimenti radioattivi dei nuclei
(decadimento -)
• Fusione nucleare
• Semiconduttori
l’effetto tunnel ha molte applicazioni
tecnologiche, tra cui:
• il diodo ad effetto tunnel in cui il
flusso di elettroni (che passa attraverso
il dispositivo per tunneling) può essere
interrotto o permesso con grande
rapidità (<5ps) variando l’altezza della
barriera di potenziale (molto importante
in applicazioni che richiedono risposte
rapidissime).
• il Microscopio a Scansione per
effetto Tunnel (STM)
www.iap.tuwien.ac.at/www/surface/STM_Gallery/stm_schematic.html
www.quantum-physics.polytechnique.fr/ Sez. 1.6
8
A.A
A.A
2010-2011
A.A.2010-2011
2009-2010
G.
-- N.
-- S.
G. Cambi
Cambi
M. Piccinini
Piccinini
N. Semprini
Semprini
S. Zucchelli
Zucchelli
G.-- M.
Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Effetto tunnel: microscopia ad effetto tunnel
l’effetto tunnel (R) dipende molto dall’ampiezza della zona
proibita classicamente
questa sensibilità e’ sfruttata nei microscopi ad effetto tunnel.
caratteristiche: sensore fatto con una punta conduttrice ( un
atomo!) posta a breve distanza dal campione (conduttore)
gli elettroni di conduzione passano dalla punta al campione per effetto tunnel.
l’intensità della corrente dipende dalla distanza atomo della punta-atomo del campione!
il moto della punta sulla faccia del campione permette la ricostruzione bidimensionale delle
posizioni degli atomi.
A.A
A.A
2010-2011
A.A.2010-2011
2009-2010
G.
--N.
--S.
G.Cambi
Cambi
M.Piccinini
Piccinini
N.Semprini
Semprini
S.Zucchelli
Zucchelli
G.--M.
Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Microscopia ad effetto tunnel
Costruzione di immagini con singoli atomi (IBM Labs)
posizionamento di 48 atomi di Fe su un substrato di Cu a 4K
Onde stazionarie di probabilità
recinto quantico
A.A
A.A.2010-2011
2009-2010
vai all’esercizio  decadimento alfa
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
Backup Slides
12
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Effetto tunnel
Stati di riflessione: E < V0
Si può calcolare il
Coefficiente di trasmissione:
F
 4k  4 a
T 
 2
e
2
A
k  
2
… e quello di riflessione:
R  1 T
2
Per il caso di un pacchetto d’onde si veda la
simulazione
/
Sez. 1.5
13
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Il LASER
http://www.colorado.edu/physics/PhysicsInitiative/Physics2000/lasers/lasers4.html
http://perg.phys.ksu.edu/vqm/laserweb/Ch-3/F3s5p1.htm
http://ww2.unime.it/weblab/ita/laser/laser_ita.htm
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html
14
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
Per le energie degli stati permessi si ottiene
 me4  1 R 13.6
En   
 2 
eV con n  1, 2,3, ...., 
2  2
2
n
n
 8 0 h  n
m= massa elettrone
n=numero quantico
I valori di energia permessi sono detti autovalori e le corrispondenti funzioni
d’onda  n autofunzioni
Il livello fondamentale (energia minima)
dell’elettrone si ha per n=1 e vale -13.6 eV.
Il livello fondamentale e quelli relativi ai
valori di n fino a 6 sono riportati a lato
Per n   si ottiene En  0 cioè
uno stato non quantizzato.
L’elettrone tende a restare nel suo stato
fondamentale. Può passare ad uno stato
eccitato solo assorbendo energia (ad
esempio un fotone di energia E  h
esattamente pari alla differenza dei valori
di energia dei due livelli
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Transizione tra livelli
Un elettrone che si trovi in uno stato eccitato tende a portarsi a valori di energia inferiori (ovviamente solo
quelli permessi). Facendo ciò emette fotoni con energie (e quindi frequenze e lunghezze d’onda) ben definite.
Le lunghezze d’onda delle onde emesse durante tali diseccitazioni (o transizioni tra i livelli) sono dette righe.
L’atomo di idrogeno è pertanto caratterizzato da ben definite righe di assorbimento e di emissione. Le varie
righe sono poi raggruppate in serie (di Lyman, di Balmer, di Paschen, ecc.)
E
n=3
-3.4
Serie di
Balmer
n=2
Serie di
Lyman
-13.6
n=4
n=1
La serie di Balmer da luce visibile
Perdita di energia per passaggio
tra due stati (transizione)
 1
1 
E  Ei  E f  R  2  2 
 n f ni 


L’energia è emessa sotto forma
di energia luminosa:
1 fotone di energia ΔE
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
Come si è visto, l’energia dell’elettrone nei vari stati possibili
all’interno dell’atomo di idrogeno dipende da un solo numero
quantico n, detto numero quantico principale E  13.6 eV
n
n2
Autovalori
Invece le funzioni d’onda che descrivono tali stati richiedono tre
numeri quantici (l’elettrone può muoversi in uno spazio tridimensionale, per
cui…vedi la trappola “scatola retta” )
n = numero quantico principale (indica l’energia dello stato)
= numero quantico azimutale (indica il valore assoluto del momento angolare)
m = numero quantico magnetico (orientamento spaziale del momento angolare)
n
può avere solo valori interi 1, 2, 3, …. , ∞
può avere solo valori, interi, tra 0 ed n-1
m può avere solo valori, interi, tra -
ed
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Si è già detto che le funzioni d’onda per l’atomo di idrogeno si
ottengono risolvendo, in modo rigoroso, l’equazione di
Schroedinger tridimensionale
 2
2
2 





(
x
,
y
,
z
,
t
)

U
(
x
,
y
,
z
)

(
x
,
y
,
z
,
t
)

i
 ( x, y , z , t )
 2
2
2 
2m  x y z 
t
2
o, in forma compatta: 
2
2m
 2  (r , t )  U (r ) (r , t )  i
Sfruttando anche il concetto di normalizzazione
 (r , t )
t
  (r )
2
dV  1
V
si ottiene, per lo stato fondamentale:
 (r ) 
1
a
3
e
2
r
a
a è una costante detta raggio di Bohr :
può essere assunto come il raggio efficace
dell’atomo di idrogeno. Esso vale:
h 2 0
a
 52.9 pm
2
 me
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Poiché  ( r ) (per lo stato fondamentale) dipende solo da r, assumiamo
degli elementi di volume di tipo strato sferico, cioè: dV  4 r 2 dr
Il termine  2 (r )dV , proporzionale alla probabilità che l’elettrone
si trovi in dV, diventa:
4 2 2 r a
2
 (r )dV  3 r e dr
a
Si definisce la densità radiale di probabilità P(r) in modo che:
P(r )dr   2 (r )dV
Si ha quindi:
4 2 2 r a
P(r )  3 r e
a
densità radiale di probabilità P(r) per lo stato fondamentale dell’idrogeno
Si osserva che la probabilità più elevata si
ha per un valore di r pari al raggio di Bohr.
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Stato fondamentale dell’atomo di idrogeno (n=1)
Per un elettrone in questo stato i valori permessi per i numeri quantici
principale, azimutale e magnetico sono:
n  1,
 0, m  0
Stati dell’atomo di idrogeno con n=2
Esistono quattro stati dell’atomo di idrogeno possibili in questo caso:
n  2,
 0, m  0
n  2,
 1, m  1
n  2,
 1, m  0
n  2,
 1, m  1
Per questi quattro stati l’energia
dell’elettrone è la stessa, poiché
questa dipende solo dal numero
quantico principale, come visto
con la:
13.6
En 
eV
2
n
(sono stati chiamati degeneri)
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
Backup Slides
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
The near field and far field, along with the transition zone are regions in the field of electromagnetic radiation that emanates from an
antenna. Certain behavior characteristics of electromagnetic fields dominate at one distance from the radiating antenna, while a
completely different behavior can dominate at another location. Defined boundary regions categorize these behavior characteristics. of
electromagnetic fields as a function of The regional boundaries are always measured as a function of a ratio of the distance from the
radiating source to the wavelength of the radiation.
Basically, the far-field, which extends from about two wavelengths distance from the antenna to infinity, is the region in which the field
acts as "normal" electromagnetic radiation. The power of this radiation decreases as the square of distance from the antenna, and
absorption of the radiation has no effect on the transmitter. By contrast, the near-field, which is inside about one wavelength distance
from the antenna, is a region in which there are strong inductive and capacitative effects from the currents and charges in the antenna,
which do not behave like far-field radiation. These effects decrease in power far more quickly with distance, than does the far-field
radiation power. Also, absorption of radiated power in this region does have effects which feed-back to the transmitter, increasing the
load on the transmitter that feeds the antenna by decreasing the antenna impedance that the transmitter sees. Thus, the transmitter
can sense that power has been absorbed from the near-field zone, and if this power is not absorbed, the transmitter does not draw as
much power. The transition zone between these regions is the distance from one to two wavelengths from the antenna, in which both
near and far field effects are important, and in which near field behavior dies out and ceases to become important, leaving far-field
effects as the dominant interaction. The image to the right shows these regions and boundaries.
It must be emphasized that such regions categorize field behaviors which vary, even within the region of interest. Thus, the boundaries
for these regions are approximate "rules of thumb", as there are no precise cutoffs between them (all behavioral changes with distance
are smooth changes). Even when precise boundaries can be defined in some cases, based primarily on antenna type and antenna
size, but even in such cases, experts may differ in nomenclature used to describe the regions.
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Evanescent wave applications
In optics and acoustics, evanescent waves are formed when waves travelling in a medium undergo total internal reflection at its
boundary because they strike it at an angle greater than the so-called critical angle
The physical explanation for the existence of the evanescent wave is that the electric and magnetic fields (or pressure gradients in
the case of acoustical waves) cannot be discontinuous at a boundary, as would be the case if there were no evanescent wavefield. In quantum mechanics the physical explanation is exactly analogous—the Schrödinger wave-function representing particle
motion normal to the boundary cannot be discontinuous at the boundary.
More generally, practical applications of evanescent waves can be classified in the following way.
(1) Those in which the energy associated with the wave is used to excite some other phenomenon within the region of space
where the original travelling wave becomes evanescent (for example, as in the total internal reflection fluorescence microscope.
(2) Those in which the evanescent wave "couples" two media in which travelling waves are allowed, and hence permits the transfer
of energy or a particle between the media (depending on the wave-equation in use), even though no travelling-wave solutions are
allowed in the region of space between the two media. An example of this is so-called wave-mechanical tunnelling