A.A
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2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.- Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Meccanica Quantistica
Ingredienti per una nuova meccanica quantistica – ondulatoria
 Nuove costanti universali: velocità della luce c e costante di Plank h
 Quantizzazione; relazione tra energia e frequenza: E = hn
 Relazione tra quantità di moto e lunghezza d’onda: p = h/l
 Dualismo onda – particella
 Onda di materia associata alla probabilità di presenza di una particella
in un punto dello spazio (tempo)
 Interazione tra stato osservato ed apparato di osservazione
 Osservabili collegate da un principio di indeterminazione
 Bontà della Fisica Classica quando v << c e h  0
1
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Velocità di Gruppo
- la velocità di propagazione dipende solo dalle caratteristiche del mezzo:
elasticità, densità ... (NB.: vero, a rigore, per mezzi non dispersivi)
- il mezzo, però, può reagire con diverse caratteristiche alle diverse frequenze con
cui viene sollecitato: mezzo dispersivo.
- in tal caso si avranno velocità di fase v f ( )   k diverse per diverse
frequenze, perché la relazione di dispersione    ( k ) - non - è lineare
il che pone il problema se abbia senso chiedersi quale sia la velocità
di un “gruppo” o “pacchetto” di onde in un mezzo dispersivo
la risposta e’ si’, almeno in alcune situazioni
2
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Battimenti
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esempio: somma di due onde armoniche piane progressive con la stessa ampiezza e con fase iniziale nulla
1 ( x, t )  Asen(k1 x  1t )
si ha
e
2 ( x, t )  Asen(k2 x  2t )
T ( x, t )  A  sen(k1 x  1t )  sen(k2 x  2t ) 
T  1   2
1
1
sfruttando l’ identita’ trigonometrica: sen  sen  2 sen (   )  cos ( -  )
2
2
ponendo:
riesce
ovvero
k  k1  k2  2ks


  1  2  2s
T ( x, t )   2 A cos(
km 
k1  k2
2
e
k
 
x
t )  sen(k m x  mt )
2
2

T ( x, t )   2 A cos(ks x  st )  sen(km x  mt )
si e’ ottenuta un’onda la cui ampiezza non e’ piu’ costante ma “modulata in ampiezza”
m 
1  2
2
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la modulazione dell’ampiezza
o, passando agli infinitesimi,
k
 


A  2 cos(
x
t )  si propaga con la velocita’ vg 
2
2


k
d
vg 
dk
contemporaneamente, si ha la propagazione di un’onda armonica, detta “portante” che si propaga con
velocita’ di fase

vf 
m
km
alla somma di un gran numero di onde si da’ il nome di “ pacchetto d’onda”
Vg e’ detta velocita’ di gruppo ed e’ la velocita’ con cui si propaga l’ inviluppo delle onde o “pacchetto
d’onda”
vale la relazione
vg  v f  k
dv f
dk
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onde armoniche di diversa ampiezza
   A1  A2  cos  k s x  s t  sin  km x  mt  
k s   k1  k2  / 2
s  1  2  / 2
  A1  A2  sin  k s x  s t  cos  km x  mt 
km   k1  k2  / 2
m  1  2  / 2
espressione che si riduce alla
  2 A cos  ks x  s t  sin  km x  mt 
nel caso in cui le due onde armoniche abbiano uguale ampiezza
l’equazione si può interpretare come un’onda sinusoidale progressiva, che si propaga
vm  m km e la cui ampiezza varia da punto a punto ed istante
per istante secondo la legge AS  2 A cos  ks x  s t 
con velocità di fase
in particolare, se
2 1  
e
v1 = v2
(i = v ki,)
mezzo non dispersivo
vg  s ks   k
vg = velocita’ di gruppo
invece se
v1  v2
(i = vi ki,)
mezzo dispersivo
vg = velocità della modulazione dell’ampiezza
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la velocità di gruppo è la velocità del punto in cui tutte le differenze di fase delle singole
onde che lo compongono si mantengono nulle.
   k1  k2  x  1  2  t
vg  s ks   k
consideriamo ora n onde monocromatiche con pulsazioni equidistanziate tra 1 e 2,
fase iniziale nulla e uguale ampiezza, che si propagano nella stessa direzione
relativamente ad un punto x0 fissato, che supponiamo per semplicità coincidente con
l'origine, tali onde possono essere rappresentate nel piano complesso da n vettori
ruotanti con pulsazioni distanziate d:
d 
2  1
n 1
 1  n  1 d  t   2t
 1  n  2  d  t
 1 2d  t
 1 d  t
1t

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Esempio: n = 4
 (t )
all‘ istante iniziale gli n vettori saranno tutti
sovrapposti e, quindi, l'ampiezza del risultante
Y sarà la massima possibile.
Col passare del tempo i vettori si apriranno a
ventaglio così che Y ruoterà e diminuirà in
lunghezza.
 (0)
si giungerà così all'istante tm,1 nel quale le punte
degli n vettori occuperanno ciascuna uno dei
vertici di un poligono regolare di n lati, così che
l'angolo fra un vettore e il successivo sarà dato da
2
n
2 n  1
n 1 1
tm,1 



n 2  1
n n 2 n 1
d  tm,1 
… e sarà Y = 0.
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e' a questo punto facile rendersi conto che si avrà un risultante nullo in tutti gli istanti di tempo t m,l tali che
d  tm,l  l
2
n
t m ,l  l
2 n  1
n 1 1

l

n 2  1
n n 2 n 1
l =1, 2, 3,…,n-1
la prima volta, dopo l'istante iniziale, che l'ampiezza di Y tornerà ad essere massima sarà nell'istante nel
quale gli n vettori saranno di nuovo sovrapposti; ciò capiterà quando l'angolo fra due vettori consecutivi
sarà 2, e cioè al tempo tM,1 tale che
d  tM ,1  2
tM ,1  2
n 1
n 1

2  1 n 2 n 1
lim t 
n 
2

lim tM ,1  
n 
in funzione del tempo l’andamento di Y
apparirà circa come nel grafico, dove il
parametro t = tm,1 caratterizza la “larghezza”
temporale del pacchetto e tM,1 la distanza
temporale tra due pacchetti.
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Principio di indeterminazione
conclusione dalla precedente analisi:
lim t 
2

lim tM ,1  
lim x 
2
k
lim xM ,1  
n 
in modo del tutto analogo si può analizzare
l’evoluzione di Y nello spazio (in ogni
dimensione) in un istante t = t0 fissato e, con
ovvio significato dei simboli, si arriva alla
conclusione:
vg  d dk
n 
n 
n 
Velocità di gruppo
si arriva inoltre alle importanti relazioni di indeterminazione tempo – energia e posizione –
impulso.
t    2
 t  E  h
x  k  2
 x  px  h
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Onde di materia
proprietà delle Onde di Materia
anche la materia è caratterizzata da una funzione d’onda con lunghezza d’onda,
frequenza, velocità, ampiezza.
la funzione d’onda è chiamata ampiezza di probabilità
 (r , t )
la funzione d’onda dovrà soddisfare l’equazione di D’Alembert:
2
1


2
  2 2 0
v t
con soluzione, ad esempio, di onda piana monocromatica:


r r
r r
i  k r  t 
r
 (r , t )   0cos k  r   t   0e
v fase 

k
k̂
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quali relazioni tra le grandezze caratteristiche di onde e particelle?
 0 , k ,     p, E , m ?


partiamo dall’energia di un fotone, e proviamo a generalizzarla per l’energia di una
particella di massa m, tenendo conto della relatività ristretta:
E  hn   
mc 2
1  2
 
identifichiamo v con la velocità di
gruppo del pacchetto d’onde
associato alla particella:
3
dv
2 2
 1   
dk m
 dk 
m
  h 2 
mc 2
1  2
NB.: assumere la costante h
dei fotoni è una ipotesi, poi
suffragata dagli
esperimenti.
 v c
3
d d d v m
2 2 d v
v

 v 1   
dk d v dk
dk
3
2 2
1   
dv
k
1
mv
1 
2

p k
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E 
due equazioni fondamentali:
alcuni modi di esprimere l in funzione
delle grandezze della particella in moto:
l
E  T  mc  T  E0
2
l

hc
 E  E0  E  E0 
h
2mT

hc
T T  2 E0 
2 E0
h

T  2 E0
2mT
h h 1  2
h
l 


l

 0
p
mv
mv
hc

pc
hc
E   mc
2

2 2

l
mc 2  E
hc
E

1
1
p k
T
2mc 2

l
T  mc 2
h
mv
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Meccanica Quantistica
proprietà delle Onde di Materia
Riassumendo:
ha energia concentrata  particella
Un oggetto massivo:
è diffratto
 onda
 Le sue interazioni possono essere caratterizzate da entrambi gli aspetti
(diffrazione e impatti localizzati).
 L’onda associata ha un significato probabilistico: P (r , t )dV    r , t  dV
2
 La rappresentazione ondulatoria è inconciliabile con la individuazione di una
traiettoria.
 Stato dinamico di una particella  r  r (t )

mc 2
 Stato dinamico di un’onda      r , t 
 
1  2

 Relazioni frequenza – energia, numero d’onda – impulso: 
 k  mv

1  2

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Il problema fisico
In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario:
1) identificare le grandezze che lo descrivono
2) determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi
compresa la loro evoluzione temporale)
L’impostazione “classica”:
1.
posizione, momento (quantità di moto), momento angolare (momento della
quantità di moto), energia cinetica e potenziale …
2.
F= m a, equazioni cardinali, ecc.
Approfondimenti da questa slide in poi: Corso di Sistemi Quantistici – Enrico Silva – Università Roma 314
http://webusers.fis.uniroma3.it/~silva/sisquant.html
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L’approccio della Meccanica Quantistica
secondo le indicazioni degli esperimenti e le interpretazioni date, si postula che:
esista una funzione   r , t  , detta funzione d’onda, che
contiene tutta l’informazione sul sistema in esame
tale funzione d’onda deve render conto dei dati sperimentali, e quindi deve poter:
• rappresentare enti dotati di lunghezza d’onda e frequenza
• soddisfare una equazione d’onda
• rappresentare una (densità di) probabilità
• rappresentare “particelle”
il primo passo è quindi determinare le equazioni cui la funzione d’onda deve sottostare
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Equazione di Schrödinger, 1925
la funzione d’onda dovrà soddisfare l’equazione di D’Alembert:
1  2
  2 2 0
v t
2
da notare che :
1) la derivata seconda spaziale assicura la simmetria “onda progressiva – onda regressiva”
2) la derivata seconda temporale fa si che non si mescolino parte reale e parte immaginaria,
come richiesto se la grandezza fisica è data dalla parte reale di Y
dato che la grandezza
fisica direttamente rappresentata da Y è la densità di
2
probabilità   r , t  dV , possiamo rinunciare al secondo dei due requisiti
consideriamo ancora come funzione di base ortonormale l’onda piana complessa:
  r , t   Ae 
i k r t

 2  r , t   k 2  r , t     p 2

  r , t   i  r , t   i  E
t
2
  r , t 
  r , t 
De Broglie
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 2  r , t   
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p2
 r ,t 
2
meccanica NON relativistica
E  T V
1 2 p2
T  mv 
2
2m

E
  r , t   i   r , t 
t
p  mv
p 2  2m  E  V 
Equazione di Schrödinger

2
   r , t   V  r , t   E  r , t 
2
2m
… indipendente dal tempo
p 
2
notare la
corrispondenza
2
2
2m

E  i
t

2
2m
 2  r , t   V  r , t   i

 r ,t 
t
… dipendente dal tempo
notare la linearità: se Y1 e Y2 sono
soluzioni, lo è anche Y = aY1 + bY2
da notare come E giochi il ruolo dell’ energia meccanica classica
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Interpretazione statistica
Nella fisica classica la“misura” ha senso come operazione che rivela (per una certa
grandezza), in un certo istante, lo stato preesistente di un sistema. La misura è ripetibile
, e subito prima della stessa lo stato del sistema è sostanzialmente uguale.
In meccanica quantistica la “misura” descrive uno dei tanti stati possibili. Non si può dire
nulla dello stato del sistema nell’istante immediatamente precedente.
Domanda: all’istante t si misura la posizione di una particella, che risulta essere x0 .
Dove si trovava la particella immediatamente prima?
La visione realistica (Einstein): Sicuramente si trova vicinissima a x0, ma la meccanica
quantistica non è in grado di dimostrarlo: esistono “variabili nascoste” nella teoria, che quindi è
incompleta.
La visione agnostica: Non ha senso chiedersi cosa succede “prima”, visto che non si è in
grado di misurarlo.
La visione ortodossa (Bohr): La particella non era in alcun punto particolare finché l’operazione
di misura l’ha costretta a presentarsi in un punto preciso.
ma allora, cos’è una misura e che ruolo hanno l’osservatore e l’apparato?
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La natura degli oggetti quantistici
secondo il principio di indeterminazione di Heisemberg non possiamo misurare con infinita precisione e
simultaneamente alcune proprieta’ correlate di una entita’ quantistica, ad esempio di un elettrone
E’ tuttavia e’ legittimo domandarsi che cosa sia un elettrone prima della misura:
è una particella localizzata, o un' onda distribuita nello spazio ?
Heisenberg a questo riguardo formulo’ la cosiddetta "interpretazione a disturbo“ : l'atto di misurazione induce un
disturbo nelle proprietà dell'oggetto osservato, disturbo che renderebbe impossibile la determinazione simultanea
di proprietà correlate
per esempio, l'atto di misurazione della posizione di un elettrone genererebbe un disturbo incontrollabile
della sua velocità e quindi della sua quantita’ di moto
nella fisica classica questi effetti di disturbo sarebbero trascurabili perché gli oggetti soggetti a misura sono
macroscopici, e il disturbo causato dallo strumento di misura può essere trascurato
ad esempio, l’impulso trasferito dai fotoni con cui illuminiamo un oggetto macroscopico soggetto a misurazione con una
lente d'ingrandimento può essere trascurato
ma nella fisica quantistica abbiamo a che fare con oggetti microscopici e secondo Heisenberg l'interazione
fra strumento di misura ed oggetto non può essere trascurata
e sarebbe proprio questa interazione a rendere impossibile la determinazione simultanea di proprieta’
correlate dal principio di indeterminazione
l'interpretazione a disturbo del principio di indeterminazione è epistemica : ha a che fare con le
limitazioni cui sono soggette le nostre misurazioni delle proprietà degli oggetti microfisici
Epistematico dal greco epistéme (conoscenza), epistematico significa deduttivo: scienza epistematica è quella che procede per deduzioni, in antitesi alla
scienza sperimentale o induttiva
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l’ interpretazione epistemica di Heisemberg vieta solamente che sia possibile conoscere
simultaneamente le proprietà correlate dal principio di indeterminazione con precisione arbitraria
nulla vieta nel contesto di questa interpretazione che questi oggetti possano possedere simultaneamente le
proprietà correlate al principio di indeterminazione, per esempio che una particella possegga
oggettivamente una posizione ed una velocità ben determinate a un istante dato
a questa interpretazione si contrappone I ‘interpretazione ontologica del principio di indeterminazione
In filosofia l'ontologia, branca fondamentale della metafisica, è lo studio dell'essere in quanto tale, nonché delle sue categorie fondamentali.
secondo questa interpretazione, sostenuta dai seguaci dell’ interpretazione ortodossa della meccanica
quantistica, la cosiddetta Scuola di Copenhagen, le particelle non possono possedere simultaneamente
proprietà correlate dal principio di indeterminazione
il mondo microfisico sarebbe costituito da micro-oggetti che non possono possedere simultaneamente e
in modo perfettamente definito tali proprieta’
possiamo prendere come esempio il comportamento degli elettroni nell’esperienza della doppia fenditura:
il fatto è che gli elettroni vengono rivelati come particelle all'atto della misurazione sullo schermo, ma non
sembra possibile attribuirgli caratteristiche particellari prima della misura
non sembra infatti possibile affermare che essi percorrano traiettorie continue nello spazio fra la
sorgente e il rivelatore
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se gli elettroni percorressero delle traiettorie e si avessero due fenditure
ciascun elettrone passerebbe o dalla fenditura 1 o dalla fenditura 2
con due fenditure uguali avremmo che il 50% degli elettroni passerebbero
dalla fenditura 1 (generando la curva di conteggio 1),
e il 50% passerebbe dalla fenditura 2 (generando la curva di conteggio 2)
il conteggio finale dovrebbe quindi dare la distribuzione 1 + 2
il che è confutato dall'esperienza
la situazione bizzarra e’ che :
• non è vero che ciascun elettrone passa dalla fenditura 1 o dalla
fenditura 2 (in questo caso avremmo la curva 1 + 2, e non la
curva 21);
• non è vero che ciascun elettrone non passa ne’ dalla fenditura 1
ne’ dalla fenditura 2 (in questo caso tutti gli elettroni sarebbero
schermati)
• non è vero che ciascun elettrone passa sia dalla fenditura 1 sia
dalla fenditura 2 (un elettrone è sempre rivelato come una
particella concentrata nello spazio e non può trovarsi
contemporaneamente in due punti distinti).
21
2
NO ! ?
in conclusione : non è possibile attribuire all‘ elettrone ad ogni istante una posizione e una velocità
ben definite e simultanee, non perché nel processo di misura disturbiamo il micro-oggetto, ma
perché una tale attribuzione è in contrasto con l'esperienza
le esperienze relative ad effetti di interferenza sarebbero in contrasto con l'affermazione che gli elettroni
percorrono traiettorie continue nello spazio
quindi secondo i fautori dell’interpretazione ontologica l'interpretazione a disturbo del principio di
indeterminazione non può essere considerata valida
1
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secondo l'interpretazione della scuola di Copenhagen non è possibile attribuire proprietà a una particella
prima della misura
secondo questa interpretazione la dinamica dell'equazione di Schródinger deve essere sospesa all'atto della
misura, atto in cui si ha la cosiddetta "riduzione del vettore di stato", o "collasso del pacchetto d'onde".
l'equazione di Schroedinger che regola l'evoluzione nel tempo del vettore di stato non consente, infatti,
cambiamenti discontinui nell'evoluzione del vettore
tecnicamente si usa dire che l'elettrone, prima della misura che avviene sullo
schermo, si trova in uno stato di sovrapposizione
secondo il gergo della scuola di Copenhagen, all'atto della misura il vettore di stato
subisce un "collasso" ; ossia viene "ridotto" da uno stato di sovrapposizione di stati
ad un singolo stato ben definito
anche questa interpretazione pone pero’ questioni profonde
ad esempio : l'evoluzione temporale dell'elettrone è data dalla  che e’ soluzione dell'equazione di
Schroedinger inoltre sappiamo che la  può essere rappresentata come combinazione lineare di onde,
ciascuna delle quali rappresenta un possible stato dell'elettrone
lo si e’ visto per esempio quando si e’ costruito un pacchetto d'onde. Si era in quel caso prodotto una 
ben localizzata nello spazio sommando onde sinusoidali che rappresentavano la particella in uno stato di
momento ben definito
A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
si dice che la particella si trova in una sovrapposizione di questi stati puri
ma la particella non si trova in nessuno di questi stati
la meccanica quantistica ci dice solo qual è la probabilità che la particella si trovi - all'atto della
misurazione - in uno stato invece che in un altro.
il caso dello spin puo’ chiarire meglio il discorso : si può dimostrare che una particella preparata con spin
verticale Sz = +1 si trova in uno stato di sovrapposizione degli spin orizzontali, in modo tale che si ha il 50% di
probabiltà che venga misurato spin Sx = +1 e 50% di probabiltà che venga misurato spin Sx = -1
la particella non ha spin orizzontale a destra, non ha spin orizzontale a sinistra, non lo ha sia a destra che a
sinistra, e non lo ha ne’ a destra ne’ a sinistra
ma se misuriamo il suo spin orizzontale essa si rivelarà con uno spin ben definito (o a destra o a sinistra)
l'atto della misurazione fa quindi "precipitare" la particella da uno stato di
sovrapposizione di più stati puri in un ben preciso stato puro
si dice che l'atto di misurazione fa collassare, o riduce, il pacchetto d’onde
da notare come l'atto di misurazione abbia un carattere discontinuo ed irreversibile
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la misura interrompe bruscamente lo sviluppo continuo e deterministico della , sviluppo che
è regolato dalla equazione di Schroedinger
in altre parole, all'atto della misurazione la dinamica regolata dall'equazione di Schroedinger è
interrotta
queste assunzioni costituiscono un problema legato alla misurazione e fanno sorgere spontanee una
serie di questioni fondamentali :
• che cos'è una particella quantistica prima della sua misurazione (ovvero che cosa è uno stato di
sovrapposizione)?
• in che senso possiamo attribuire a una particella quantistica prima della sua misurazione delle
proprietà (per esempio, quella di passare o non passare dalla fenditura 1, o quella di avere, o non
avere, spin orientato a destra) ?
• che cosa avviene all'atto della misura ?
• l'equazione di Schroedinger vale universalmente, o i processi di misura sfuggono alla sua
applicazione ?
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Einstein critico’ decisamente l’interpretazione di Copenhagen non accettava in particolare l’idea che la
realta’ fisica microscopica fosse intrinsecamente probabilistica propendeva piuttosto per una visione del
mondo microfisico regolato dal determinismo dalla continuita’ spazio-temporale , dalla visuabilizzabilita’,
dalla separabilita’ e dalla localita’ e soprattutto voleva opporsi ad una concezione fisica secondo la
quale non e’ permesso di parlare di proprieta’ possedute dagli oggetti quantistici indipendentemente
dalle procedure di misura ( contestualita’ )
infine per Einstein era problematica l’idea della discontinuita’ indotta nella funzione d’onda dall’atto
della misurazione infatti nel collasso della funzione d’onda sembrava avvenire una interazione
istantanea a distanza, cosa questa negata dalla teoria della relativita’
nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen allo scopo di dimostrare l’incompletezza della meccanica
quantistica evidenziarono una condizione paradossale della interpretazione ortodossa della meccanica
quantistica, il cosiddetto paradosso EPR
Incompletezza della teoria quantistica significa che vi sono elementi di realta’ che il formalismo
della meccanica quantistica non e’ in grado di descrivere
questo dette origine alle teorie delle cosiddete “ variabili nascoste “ sviluppate negli anni ’60 da Bohm
il paradosso EPR prende le sue mosse partendo da stati quantici “ entangled
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– M. Piccinini
È stata proposta una interpretazione dell'entanglement conosciuta come teoria delle variabili nascoste ( Bohm et al. )
nella quale gradi di libertà sconosciuti causerebbero le correlazioni,
ma è stato mostrato nel 1964 da Bell che è comunque possibile distinguere la teoria quantistica da una teoria di variabili
nascoste locale, essendo in quest'ultimo caso le correlazioni presenti più deboli.
in termini del tutto generali Bell fu in grado di dimostrare che nessuna teoria fisica a variabili locali nascoste puo’
riprodurre le predizioni della meccnica quantistica
l’assunzione che le grandezze fisiche abbiano valori definiti indipendentemente dall’atto dell’osservazione e che gli effetti
fisici abbiano una velocita’ di propagazione finita impone restrizioni dette disuguaglianze di Bell su determinati fenomeni
che non sono richieste dalla meccanica quantistica ortodossa
dal 1972 ad oggi una serie di osservazioni sperimentali dimostra la violazione delle disuguaglianze di Bell in completo
accordo con l’interpretazione ortodossa della meccanica quantistica
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conseguenze : dobbiamo assumere che
la funzione d’onda evolve secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.
l’atto della misura “crea” la particella nella posizione x0
si dice che la funzione è collassata in x0 in seguito all’operazione di misura
(con i vincoli dati dalla funzione d’onda e dal soddisfacimento dell’equazione di Schrödinger)
Il sistema è cambiato in maniera irreversibile: una seconda misura dopo un brevissimo intervallo
deve dare un risultato molto vicino al primo.
La funzione d’onda è divenuta un pacchetto d’onde molto piccato a x0 (che naturalmente evolve
secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo).
L’atto della misura cambia radicalmente le condizioni al contorno.
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assumendo valida l’ interpretazione statistica di Born diremo che
la probabilità di trovare la particella rappresentata da Y(r,t) in un volume dV intorno al punto r, all’istante
t, è data da:
P  r , t   Y  r , t  dV
2
Y r ,t 
Y r ,t 
2

Onda di probabilità

Densità di probabilità
Ricordare: Y(r,t) è complessa
Proprietà di normalizzazione
Le uniche funzioni d’onda che
hanno un significato fisico sono le
funzioni normalizzabili.



Y  r , t  dV  1
2
Y(r,t) deve annullarsi
all’  più velocemente
di 1/ r .
NB: Y(r,t) = cost; Y(r,t) = 1/r, non sono normalizzabili  non sono funzioni d’onda fisiche!
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A.A.
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Interpretazione statistica
2
 
Y
r
,
t
  dV


t
conservazione della proprietà di
normalizzazione,nel tempo:
Y r ,t   Y r ,t  Y r ,t 
2
*
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini


Y *
Y
2
*
Y   Y Y  
Y  Y*
t
t
t
t
quindi
ma
Y
i
i
2Y  V Y
t
2m
quindi

i
i
2
Y  i
 2 Y*Y  V Y*Y  Y*i
 2 Y  V Y *Y 
t
2m
2m
i
Y *
i
 i
2Y*  V Y*
t
2m
e
  2 Y *Y  Y * 2 Y   i
  Y *Y  Y *Y 
2m
2m

dove  e’ l’operatore gradiente
e   e’ l’operatore divergenza

  2
*
*

Y
dV

i


Y
Y

Y
Y  dV





t
2m
applicando il teorema della divergenza
i
deve essere = 0

2m 
  ( w) 
   Y*Y  Y*Y  dV  i

2m r 


w  dS     wdV
V
 Y*Y  Y*Y   dS  0


notare che occorre che Y(r,t) si annulli abbastanza velocemente all’infinito affinche’ l’integrale converga
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M. Piccinini
- N. Semprini
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G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
in una dimensione


  
  2
 * 
 * 
 * 
* 
Y
dx

i
Y
Y

Y
Y
dx

i
Y
Y

Y Y  0







t
2m
x  x
x
2m  x
x

 
in analogia con la conservazione della carica elettrica in elettromagnetismo , le equazioni

2
Y i
   Y *Y  Y *Y 
t
2m

2
Y
dV  i

V
t
2m
 Y Y  Y Y   dS
*
*
S
… rappresentano una legge di conservazione della (densità di) probabilità.
se si definisce la densità di “corrente di probabilità”:

2
Y  j  0
t
j  i
 Y *Y  Y *Y 

2m 
legge di conservazione della probabilità
in conclusione nell’equazione di Shroedinger e’ implicitamente contenuta la legge di conservazione della
probabilita’ (equazione di continuita’) associata al moto del sistema quantistico
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- N. Semprini
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G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
il valore “aspettato” o “di aspettazione” della posizione di una particella nello stato Y(x,t)
x 


x Y  x, t  dx
2
rappresenta il valore medio di numerose
misure effettuate su altrettanti sistemi tutti preparati allo
stesso modo ossia tutti nello stesso stato Y
ma se si effettua una singola misura la funzione d’onda “collassa” su una certa posizione in
modo del tutto casuale e non prevedibile ( esattamente come per il lancio di un dado)
postuliamo che la velocità della particella sia data dalla derivata di <x>:
v 
d x
dt

 lim


x Y  x, t  t  dx  
2


x Y  x, t  dx
2
t
t 0



x
2

Y  x, t  dx
t
sfruttando l’ equazione di Shroedinger e le relazioni ricavate in precedenza si ottiene:
v  i

m 
Y*
Y
dx
x
se ne deduce che la funzione d’onda in effetti “contiene” la velocità
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A.A.
2009-2010
v  i
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini

m 
Y*
dY
dx
dx
l’ “impulso” sara’ dato dalla espressione
m v  i



Y*

Y
  
dx   Y * 
 Ydx

x
 i x 
l’operatore
momento

i x
agisce sulla funzione d’onda ed e’ l’operatore che fornisce la quantità di moto dello stato Y
nella Meccanica Quantistica le grandezze della dinamica sono rappresentate da operatori.
ogni grandezza fisica può essere espressa come combinazione dei due operatori:
Posizione
x  x
Momento
p 

i x
Q  Q  x, p 

 

Q  x, p    Y *Q  x,
 Ydx

 i x 
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A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
La dinamica
Grandezza Fisica
Operatore
x
xx
Momento
p

p
i x
Energia
cinetica
p2
T
2m
2
T 
2m x 2
Posizione
Energia
totale
p2
H
 V ( x)
2m
2
Valore aspettato

x   Y* xYdx

m v 


  
Y* 
 Ydx
 i x 
T  x, p   
2

2m 
2Y
Y
dx
x 2
*
2


2
2
*
H

Y


V
(
x
)
H 

V
(
x
)
 Ydx
  2m x 2
2m x 2

2
Hamiltoniana
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A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
come si ottiene la funzione d’onda di un sistema?
supponiamo che:
 V sia indipendente dal tempo;
 si possa scrivere Y(x,t) = f(t)(x)  separazione delle variabili
(notare l’uso di Y maiuscola e y minuscola)
sotto queste ipotesi l’equazione
2Y
Y


V
Y

i
2m x 2
t
2
 2  2
 2m x 2  V  E


E
i t

f
i
 Ef  f  t   e
  t
stati stazionari:
diviene
Equazione di Schrodinger indipendente
dal tempo
Y  x, t     x  e
l’evoluzione temporale non dipende da V, se
V non dipende da t
E
i t
hanno energia
ben definita
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A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Proprietà delle soluzioni separabili:
Y  x, t     x 
2
1. Densità di probabilità indipendente dal tempo
2
2.Posizione indipendente dal tempo ( momento = 0)
iE

x    e x e
*

iE


dx    * x dx

 2

 V  E
2
2m x
2
3.Energia definita

iE
H    e H e

la soluzione generale:
*

iE

 H  E

dx    E dx  E   * dx  E
*


Y gen  x, t    cn n  x  e
n 1

i
En
t
non ha energia definita
univocamente
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A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Equazioni agli autovalori
Q Y  qY
 le funzioni Y che soddisfano l’equazione per un dato operatore si chiamano
autofunzioni o autostati di Q
 i valori q possono essere discreti o continui, finiti o infiniti: si chiamano
autovalori di Q.
 l’equazione di Schrödinger è l’equazione agli autovalori dell’operatore
Hamiltoniano o dell’energia totale
 si conosce un sistema quando si conoscono autofunzioni ed autovalori di un
insieme completo di operatori (Þ insieme completo di autofunzioni).
 la funzione d’onda più generale del sistema sarà allora una combinazione
lineare (sommatoria o integrale, finita o infinita) di tali autofunzioni.
 se V è costante, il problema si riduce a trovare un insieme completo di
autofunzioni – autovalori per l’E. di S. indipendente dal tempo.
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A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
soluzione generale:
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini

Y gen  x, t    cn n  x  e
i
En
t
n 1
dato un certo sistema (ovvero data una hamiltoniana):
• si trovano gli stati stazionari (autofunzioni dell’energia);
• si trovano i valori permessi dell’energia (autovalori);
• si costruisce la soluzione generica come combinazione lineare, ed infine
• si cercano i valori di cn che soddisfano le condizioni al contorno.
tutto ciò comporta risolvere solo l’equazione non dipendente dal tempo: la soluzione
generale viene costruita dalle proprietà generali “appendendo” a ciascuna autofunzione
dell’energia il termine esponenziale.
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A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Riepilogo
Esiste una funzione   r , t  , detta
funzione d’onda, che
contiene tutta l’informazione sul
sistema in esame.
La grandezza fisica
direttamente rappresentata da
Y è la densità di probabilità
Soddisfa l’Equazione di
Schroedinger

Y  r , t  dV
Y gen  x, t    cn n  x  e
2m
2Y  V Y  i

Y
t
2
Se V è indipendente dal tempo
Equazione di Schrodinger
indipendente dal tempo.
Soluzione
generale:

2
 2

 V  E
2
2m x
2
i
n 1
Sovrapposizione di
autofunzioni dell’energia
En
t
Stati stazionari
Y  x, t     x  e
E
i t
hanno energia ben definita
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A.A 2010-2011
A.A.
2009-2010
G. Cambi
M. Piccinini
- N. Semprini
- S. Zucchelli
G.-Cambi
– S. Zucchelli
– M. Piccinini
Appendice – altre proprietà della funzione d’onda
1. Le (x) possono essere scelte reali
2. Si hanno soluzioni normalizzabili della equazione di Shroedinger
indipendente dal tempo solo se E – V(x) > 0 .
3. Se V(x) è “pari” [V(x) = V(-x)], allora le (x) possono essere scelte pari
o dispari.
39
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
Backup Slides
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
l’ entanglement (intreccio) o correlazione quantistica è un fenomeno quantistico in cui ogni
stato quantico di un insieme di due o più sistemi fisici dipende dagli stati di ciascuno dei sistemi che
compongono l'insieme, anche se questi sistemi sono separati spazialmente
in italiano si puo’ tradurre con 'non-separabilità', in quanto uno stato entangled implica la presenza di
correlazioni tra le quantità fisiche osservabili dei sistemi coinvolti
l’ entanglement è un fenomeno prettamente quantistico , privo di analogo classico
per esempio, è possibile realizzare un sistema costituito da due particelle il cui stato quantico sia tale che qualunque sia il valore di una certa proprietà osservabile assunto da una delle due particelle - il
corrispondente valore assunto dall'altra particella sarà opposto al primo, nonostante i postulati dell meccanica
quantistica, secondo cui predire il risultato di queste misure sia impossibile
in presenza di entanglement la misura effettuata su un sistema sembra influenzare istantaneamente lo
stato di un altro sistema: in realtà, è facile mostrare che la misurazione non c'entra niente; quanto detto
ha significato solamente in relazione al risultato della misurazione, non all'atto del misurare
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
A.A. 2009-2010
Entanglement
due stati puri, inizialmente separati, che vengano ad interagire per un periodo di
tempo, anche breve, e vengano poi nuovamente separati conservano una forte correlazione
quantistica che non ha analogia in meccanica classica
tratto da : http://plato.stanford.edu/entries/qt-entangle/
“ John Bell, who devised a lot of the theory for testing the existence of entanglement, covered it in a
paper called “Bertlmann’s Socks and the Nature of Reality.”
Reinhold Bertlmann, a colleague of Bell’s, always wore socks of different colors.
Bell pointed out that, if you saw one of Bertlmann’s feet coming around the corner of a building and
it had a pink sock on, you would instantly know the other sock wasn’t pink, even though you had
never seen it.
The color difference was programmed in when Bertlmann put his socks on “
l'entanglement quantistico è alla base di tecnologie emergenti come i computer quantistici e la
crittografia quantistica, ed ha permesso esperimenti relativi al teletrasporto quantistico.
Teletrasporto
vedi il sito : http://plato.stanford.edu/entries/qt-entangle/
sito di Stanford su quantum computing etc.
Crittografia quantistica vedi il sito http://www.everything2.com/index.pl?node=quantum%20cryptography
Computer quantico vedi il sito http://www.everything2.com/index.pl?node=quantum%20computer
Qubit
vedi il sito http://www.everything2.com/index.pl?node_id=160492
42
A.A. 2009-2010
G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
L'entanglement è una delle proprietà della meccanica quantistica che portarono Einstein e altri a
essere insoddisfatti della teoria.
Nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen formularono il paradosso EPR dimostrando, facendo uso
dell'entanglement, che la meccanica quantistica è una teoria non locale.
È comunque vero che la meccanica quantistica si è dimostrata in grado di produrre corrette
previsioni sperimentali fino ad una precisione mai raggiunta prima e che le correlazioni
associate al fenomeno dell'entanglement quantistico sono state osservate.
È stata proposta una interpretazione dell'entanglement conosciuta come teoria delle variabili
nascoste ( Bohm et al. ) nella quale gradi di libertà sconosciuti causerebbero le correlazioni,
ma è stato mostrato nel 1964 da Bell che è comunque possibile distinguere la teoria quantistica
da una teoria di variabili nascoste locale, essendo in quest'ultimo caso le correlazioni presenti
più deboli.
Nel 1999 una serie di esperimenti, svolti da Alain Aspect e altri, hanno provato che le
correlazioni misurate seguono le previsioni della meccanica quantistica.
Sebbene non si possa trasmettere informazione attraverso il solo entanglement, l'utilizzo di un
canale di comunicazione classico in congiunzione con uno stato entangled permette il
teletrasporto di uno stato quantistico, il quale sarebbe impossibile con il solo canale classico, dato
che uno stato quantistico richiede una infinita quantità di informazione per essere determinato.
All'atto pratico, come conseguenza del teorema di no-cloning quantistico, questa informazione non può
comunque essere letta integralmente. Tuttavia questa ricchezza di informazione può essere comunque
messa a frutto
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G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini
L'entanglement quantistico costituisce una difficoltà, dal punto di vista epistemologico, per la teoria
quantistica, in quanto è incompatibile con il principio apparentemente ovvio e realistico della
località, per il quale il passaggio di informazione tra diversi elementi di un sistema può avvenire
soltanto tramite interazioni causali successive, che agiscano spazialmente dall'inizio alla fine.
ad esempio, secondo il principio di località, il mio pugno può colpire il tuo naso solo se io sono abbastanza
vicino a te, o se sono in grado di mettere in moto meccanismi che, passo dopo passo, giungano fino al tuo
naso. Differenti interpretazioni del fenomeno dell'entanglement portano a differenti interpretazioni della
meccanica quantistica.
recentemente si e’ iniziato ad analizzare la meccanica quantistica nei termini dell'informazione
quantistica contenuta in un sistema
con questo approccio, l'entanglement e altri comportamenti tipici dei sistemi
quantistici sono derivazioni di teoremi sull'informazione contenuta nei sistemi stessi
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Inizialmente si abbiano due sistemi quantistici separati tra loro e di cui si conoscano separatamente gli stati
quantistici,
successivamente si facciano interagire fisicamente tra loro i due sistemi quantistici, anche per un periodo di
tempo breve, ossia si eserciti tra i due sistemi una forza dovuta ad un potenziale noto.
Infine si separino di nuovo i due sistemi quantistici
dopo la separazione i due sistemi non possono piu’ essere descritti come due entita’ separati ed indipendenti
come era prima della mutua interazione: i due sistemi hanno acquisito una ( forte ) correlazione quantistica
a causa della mutua interazione i due stati quantici sono diventati indissolubilmente intrecciati tra loro
non c’e’ equivalente nella meccanica classica a questa correlazione quantistica detta “entanglement”
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Supponiamo di avere due sistemi quantistici
se il primo sistema è nello stato
e il secondo è nello stato
lo stato del sistema composto è
stati di questo tipo vengono detti separabili
date due basi i
Ae
i
B
associate alle osservabili ΩA e ΩB è possibile scrivere gli stati puri di cui sopra come
per una certa scelta dei coefficienti complessi ai and bj. Questo non è lo stato più generale di
il quale ha la forma
se questo stato non è separabile è detto entangled