a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Successioni e serie numeriche
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Successioni numeriche
Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita in un
insieme del tipo {n ∈ N | n ≥ n0 }, con n0 numero naturale.
Esempio:
la relazione f (x) = x 2 , x ∈ [0, +∞), definisce una funzione;
la relazione f (x) = x 2 , x ∈ N, definisce una successione.
Parlando di successioni, solitamente denotiamo
• la variabile indipendente con n
• il valore che la successione assume in un numero naturale n con il
simbolo an (oppure bn , xn , . . . ), chiamato termine n -esimo della
successione
• l’immagine della successione con {an }n∈N (oppure {an })
Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati
di coordinate (n, an ), con n ∈ N, n ≥ n0 .
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Esempi di successioni numeriche
1.2
1
(1) an =
1
n
0.8
a_n
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
–0.2
1.2
1
n−1
(2) an =
n
0.8
a_n
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
–0.2
3 / 60
1
a_n
(−1)n
(3) an =
n
0.5
0
2
6
4
8
10
12
14
16
18
n
–0.5
–1
1
a_n
n
0.5
(4) an = (−1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n
–0.5
–1
4 / 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
–100
(5) an = −n
2
–200
a_n
–300
–400
180
160
140
120
(6) an = n!
100
a_n
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
n
5 / 60
Prolungamento di una successione
Diciamo che una funzione f è un prolungamento della successione
{an } se f è definita nell’intervallo [n0 , +∞) e si ha
per ogni n ≥ n0 .
f (n) = an
Esempi
La funzione f : [1, +∞) → R tale che f (x) = 1/x è il prolungamento
naturale della successione an = 1/n , ottenuto sostituendo la variabile
discreta n con la variabile continua x .
1.2
a_n
1.2
1
1
0.8
0.8
f(x)
0.6
0.4
0.2
0
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
1
x
La successione an = (−1)n non ammette prolungamento “naturale”
(perché?) ma ammette prolungamento; per esempio, la funzione
f : [1, +∞) → R tale che f (x) = cos(πx).
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Successioni limitate
Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di
successioni
• limitate inferiormente
• limitate superiormente
• limitate
nonché di
• estremo inferiore ed estremo superiore
• minimo e massimo
di una successione.
Esempio
Stabilire per ognuna delle successioni (1)–(6) se è limitata e
determinarne estremo inferiore e superiore, precisando se sono minimo
e massimo.
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Successioni monotone
Rileggendo la definizione di funzione monotona nel caso di una
successione otteniamo, per esempio, che una successione è crescente
se per ogni m, n interi, con m < n , si ha am ≤ an .
In realtà, per verificare se una successione è monotona basta
confrontare tra loro termini consecutivi.
Precisamente, una successione {an } è
• crescente se e solo se an ≤ an+1 per ogni n
• strettamente crescente se e solo se an < an+1 per ogni n
• decrescente se e solo se an ≥ an+1 per ogni n
• strettamente decrescente se e solo se an > an+1 per ogni n
Esempio
Studiare la monotonia delle successioni (1)–(6).
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Osservazioni
Se una funzione prolungamento di una successione è monotona,
anche la successione lo è. Vale il viceversa?
Si potrebbe erroneamente pensare che la presenza del termine
“oscillante” (−1)n implichi mancanza di monotonia;
non è detto che sia cosı̀.
(−1)n
. Verificare . . .
Esempio: an = n +
n
Per “farsi un’idea” dell’andamento di una successione è utile
esplicitarne i primi termini; tuttavia, ciò non è sufficiente a stabilire
che la successione sia monotona.
10n
Vedi pagina seguente
Esempio: an =
n!
9 / 60
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(I valori di
10n
n!
10.00
50.00
166.67
416.67
833.33
1388.98
1984.13
2480.16
2755.73
2755.73
n
11
12
13
14
15
..
.
20
..
.
25
..
.
10n
n!
2505.21
2087.68
1605.90
1147.07
764.72
..
.
41.10
..
.
0.64
..
.
10n
sono arrotondati alla seconda cifra decimale.)
n!
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Proprietà vere definitivamente
Diciamo che una proprietà Pn è vera definitivamente se
Pn è vera per tutti gli n sufficientemente grandi,
cioè se esiste ν ∈ N tale che la proprietà Pn sia vera per ogni n ≥ ν .
Esempi
I termini della successione {n − 5} sono definitivamente positivi.
I termini della successione {(−1)n } non sono definitivamente positivi.
I termini della successione
{n2 } sono definitivamente maggiori di 25.
n
10
La successione
è definitivamente decrescente.
n!
Osservazione
Se le proprietà Pn e Pn0 sono entrambe vere definitivamente, allora
anche la proprietà Pn ∧ Pn0 è vera definitivamente. Spiegare . . .
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Successioni infinitesime
Una successione {an } di numeri positivi si dice infinitesima se
per ogni ε > 0 la disuguaglianza an < ε è vera definitivamente.
Esplicitare . . .
Esempi
La successione costante an ≡ 0 è infinitesima.
1
Se p > 0, la successione an = p è infinitesima.
n
3n + 1
La successione
non è infinitesima.
2n
Una successione {an } di numeri qualsiasi si dice infinitesima se
la successione |an | è infinitesima. Esplicitare . . .
Esempio
(−1)n
è infinitesima.
La successione
n2
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Successioni convergenti
La successione {an } si dice convergente se esiste a ∈ R tale che
la successione {an − a} sia infinitesima. Esplicitare . . .
In tal caso diciamo che {an } converge ad a .
Esempi
La successione costante an ≡ a converge ad a .
n−1
La successione
converge a 1.
n
Osservazione
Una successione non può convergere a due numeri distinti.
Verifica . . .
Osservazione
Ogni successione infinitesima è convergente. A quale numero?
13 / 60
Interpretazione grafica
Esplicitiamo ulteriormente la definizione della pagina precedente:
{an } converge ad a se per ogni ε > 0 esiste νε ∈ N tale che la
disuguaglianza a − ε < an < a + ε sia vera per ogni n ≥ νε .
Da un punto di vista grafico, la disuguaglianza significa che il punto
(n, an ) si trova nella striscia orizzontale Sa,ε delimitata dalle rette di
equazione y = a − ε e y = a + ε.
Pertanto, la successione {an } converge ad a se e solo se, per ogni
ε > 0, il suo grafico è racchiuso nella striscia Sa,ε , a partire da un
certo punto in poi.
1.3
1.15
1
1
0.85
a_n
a_n
0.7
ε = 0.3
νε = 4
ε = 0.15
νε = 8
0
0
n
n
14 / 60
Successioni divergenti
Si dice che la successione {an } diverge positivamente se
per ogni M > 0 la disuguaglianza an > M è vera definitivamente.
Si dice che la successione {an } diverge negativamente se
per ogni M > 0 la disuguaglianza an < −M è vera definitivamente.
Interpretazione grafica?
Esempi
La successione
n+1
n
non diverge positivamente.
Se p > 0, la successione {np } diverge positivamente.
La successione
ln
1
n
diverge negativamente.
15 / 60
Successioni regolari e loro limiti
Una successione si dice regolare se è convergente oppure divergente.
Una successione non regolare si dice irregolare o indeterminata.
Se la successione {an } è
e scriviamo

a



+∞
lim an =
n→+∞



−∞
↑
regolare, diciamo che {an } ha limite
se {an } è convergente e converge ad a
se {an } diverge positivamente
se {an } diverge negativamente
si legge: limite
per n che tende
a più infinito di an
Notazione alternativa: an → ` (si legge: an tende a ` )
Osservazione
Il limite di una successione regolare è un elemento di R. Precisare . . .
16 / 60
Esempio (da ricordare)
Sia q ∈ R.
La successione {q n }n∈N si chiama progressione geometrica
di ragione q .
(Per q = 0 si pone il primo termine uguale a 1 .)
Se q ≤ −1, la progressione geometrica è irregolare.
Se q > −1, la progressione geometrica è regolare e si ha


 0 se −1 < q < 1

n
1 se q = 1
lim q =
n→+∞



+∞ se q > 1
Verifica . . .
17 / 60
Proposizione (Limiti e limitatezza)
Sia {an } una successione regolare.
{an } converge =⇒ {an } è limitata
{an } diverge positivamente =⇒ {an } è illimitata superiormente
{an } diverge negativamente =⇒ {an } è illimitata inferiormente
Dimostrazione: immediata
Osservazione
Le implicazioni precedenti non possono essere invertite, in quanto
• esistono successioni limitate che non convergono,
• esistono successioni illimitate superiormente che non divergono
positivamente,
• esistono successioni illimitate inferiormente che non divergono
negativamente.
Esempi?
18 / 60
Teorema (Regolarità delle successioni monotone)
Ogni successione monotona è regolare.
Precisamente:
(1) {an } crescente
=⇒
(2) {an } decrescente =⇒
lim an = sup an
n→+∞
lim an = inf an
n→+∞
Dimostrazione di (1) . . .
Corollario del teorema RSM
Supponiamo che la successione {an } sia monotona.
Allora:
{an } converge ⇐⇒ {an } è limitata
{an } diverge ⇐⇒ {an } è illimitata
Confrontare con
la proposizione
di pagina 18 . . .
19 / 60
Osservazioni
La monotonia è una condizione sufficiente ma non necessaria affinché
una successione sia regolare. Esempio?
Se una successione è definitivamente monotona, essa è regolare;
non è detto però che il limite coincida con l’estremo superiore
[inferiore] se la successione è definitivamente crescente [decrescente].
Il teorema RSM e il suo corollario dipendono dalla proprietà
dell’estremo superiore e non valgono in Q.
In particolare, non è detto che una successione monotona e limitata
di numeri razionali abbia limite razionale.
Esempi (vedere anche pagina 32)
x1 = 0.1
x2 = 0.101
x3 = 0.101001
x4 = 0.1010010001
..
.
1 n
=: e
lim
1+
n→+∞
n
numero
di Nepero
20 / 60
Limiti e operazioni algebriche
Teorema (Operazioni con successioni convergenti)
Supponiamo an → a ∈ R e bn → b ∈ R. Allora:
an + bn → a + b
regola della somma
an − bn → a − b
regola della differenza
λ an → λ a
regola del multiplo
(λ ∈ R)
an bn → a b
regola del prodotto
1
1
→
an
a
(a 6= 0)
regola del reciproco
an
a
→
bn
b
(b 6= 0)
regola del rapporto
Dimostrazione della regola della somma e del prodotto . . .
21 / 60
Esempi
Verificare che le seguenti successioni sono convergenti e determinarne
i rispettivi limiti.
1 n−1
an = 2 + 4
n
n
1 n
1+
n
bn =
1
3+
n
3
2n
cn = √ + n
n 3
22 / 60
Proposizione (Reciproco di una successione infinitesima)
Sia {an } una successione infinitesima. Allora:
{an } ha segno costante
(definitivamente)
{an } non ha segno costante
(definitivamente)
n1o
diverge,
an
positivamente o negativamente
a seconda del segno di an
n1o
non ha limite
=⇒
an
=⇒
Verifica . . .
Esempi . . .
23 / 60
Teorema (Operazioni con successioni divergenti)
Siano {an } e {bn } successioni divergenti.
• Se le due successioni divergono con lo stesso segno,
la successione somma {an + bn } diverge con lo stesso segno.
• Se λ 6= 0, la successione multiplo {λ an } diverge,
con lo stesso segno di {an } se λ > 0,
con segno opposto se λ < 0.
E la differenza?
• La successione prodotto {an bn } diverge,
positivamente se le due successioni divergono con lo stesso segno,
negativamente se le due successioni divergono con segni opposti.
n1o
è infinitesima.
E il rapporto?
• La successione reciproco
an
Verifica . . .
Esempi
3
n
3
n
3
Calcolare i limiti di {n + 2 }, {n 2 }, {−4n },
1
3
n + 2n
24 / 60
Limiti e relazione d’ordine
Teorema (Permanenza del segno)
Sia {an } una successione, sia a ∈ R e si supponga an → a .
(1) a > 0 =⇒ an > 0 definitivamente
a < 0 =⇒ an < 0 definitivamente
(2) an ≥ 0 definitivamente =⇒ a ≥ 0
an ≤ 0 definitivamente =⇒ a ≤ 0
Dimostrazione . . .
Osservazioni
Le implicazioni in (1) valgono anche se a = +∞ e a = −∞,
rispettivamente.
Le conclusioni in (2) sono le stesse anche se si suppone
definitivamente an > 0 e an < 0, rispettivamente. Esempio?
25 / 60
Esercizio
Dimostrare la seguente generalizzazione del teorema PS-(2):
Siano {an } e {bn } due successioni e siano a, b ∈ R. Allora:

an → a

bn → b
 =⇒ a ≤ b.
an ≤ bn definitivamente
Suggerimento:
applicare il teorema PS e la regola della differenza alla successione
cn := an − bn .
26 / 60
Teorema (Confronto, o convergenza obbligata, o dei Carabinieri)
Siano {an }, {bn }, {cn } tre successioni tali che
• an ≤ bn ≤ cn definitivamente,
• {an } e {cn } convergono a uno stesso limite a .
Allora: anche {bn } converge ad a .
Dimostrazione . . .
(−1)n
Esempi
2
−
n
sin(n) 3 + (−1)
n2
Calcolare il limite delle successioni
,
,
2
3
n
n
n
Generalizzando:
{an } limitata, {bn } infinitesima =⇒ {an · bn } infinitesima
na o
n
{an } limitata, {bn } divergente =⇒
infinitesima
bn
Perché?
27 / 60
Teorema (Divergenza obbligata)
Siano {an } e {bn } successioni tali che an ≤ bn definitivamente.
Allora:
{an } diverge positivamente =⇒ {bn } diverge positivamente,
{bn } diverge negativamente =⇒ {an } diverge negativamente.
Dimostrazione: immediata
Esempi
Calcolare il limite delle successioni
n3 + sin(n),
(−1)n − n4 ,
(−1)n (n2 − 4) 2 +
,
n
2n3 − 5
cos(n)
+3
n2
Generalizzando:
{an } divergente, {bn } limitata =⇒ {an ± bn } divergente
{an } divergente, {bn } convergente e non infinitesima
=⇒ {an · bn }, {an /bn } divergenti
Perché?
28 / 60
Esempi
Calcolare il limite delle successioni (n3 + n)(2 + cos(n)),
2n3 − 5
sin(n) − 3
Generalizzando:
{an } divergente, {bn } “lontana da 0”
Perché?
=⇒ {an · bn }, {an /bn } divergenti
Esempio
Calcolare il limite della successione
Generalizzando:
2n3 + n2 − 5
sin(n)2
n2
{an } divergente
{bn } infinitesima con segno costante
=⇒
na o
n
bn
divergente
Perché?
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Forme di indecisione
Né le regole algebriche né le loro generalizzazioni permettono di
determinare a priori il limite nei seguenti casi, che chiamiamo
forme di indecisione:
• differenza di successioni che divergono con lo stesso segno
(forma +∞ − ∞)
• prodotto di una successione infinitesima per una divergente
(forma 0 · ∞)
• rapporto di due successioni divergenti (forma ∞/∞)
• rapporto di due successioni infinitesime (forma 0/0)
Le forme di indecisione vengono in genere risolte manipolando
algebricamente le espressioni assegnate per ricondursi a successioni
alle quali sia possibile applicare le regole algebriche e le loro
generalizzazioni.
30 / 60
Esempi
Per ciascuno dei seguenti limiti, individuare e risolvere la forma di
indecisione:
lim
n→+∞
3n4 − 2n3 − n2 + 1
(2n + 1)(n + 2)
n→+∞
3n2 + 3n
lim
lim
n→+∞
√
n+1−
√ n
arctan(n) 2
3
n
+
+
1
n→+∞
n4
n5
lim
arctan(n) 4
3
n
+
+
1
n→+∞ n2 + 1
n2
lim
2n2 + 10n
n→+∞ n! + 3n
lim
???
31 / 60
Successioni definite per ricorrenza
(1) Verificare che la successione {an } definita ponendo

 a1 = 1
1
 an+1 = an + 2
an
è strettamente crescente e diverge positivamente.
(2) Verificare che la successione {an } definita ponendo

 a1 = 2
1
an
+
 an+1 =
2
an
è limitata e strettamente decrescente. Determinarne il limite.
32 / 60
Serie numeriche
Sia {an }n∈N una successione di numeri reali.
Definiamo la somma parziale (o ridotta) n -esima ponendo
S0 := a0
S1 := a0 + a1
..
.
n
X
Sn := a0 + a1 + · · · + an =
ak .
In alternativa, per ricorrenza:
S0 := a0
Sn := Sn−1 + an ∀n ≥ 1
k=0
La successione {Sn } si chiama serie di termine an .
Nota
Se la successione {an } è definita solo per n ≥ n0 , conveniamo di porre
an = 0 per n < n0 . Ne segue che in quanto diremo non sarà restrittivo
supporre che la successione {an } sia sempre definita per ogni n ∈ N.
33 / 60
Per definizione, la serie di termine an non è altro che la successione
delle somme parziali Sn costruite a partire da an .

Pertanto, la locuzione
convergente




 divergente positivamente
divergente negativamente
la serie di termine an
è


regolare



indeterminata
equivale alla locuzione

convergente




la successione delle
 divergente positivamente
divergente negativamente
somme parziali Sn
è


regolare
costruite a partire da an



indeterminata
Se la serie è regolare, il limite della successione {Sn } prende il nome
+∞
X
di somma della serie e si denota con il simbolo
an . Motivazione?
n=0
34 / 60
Terminologia e osservazioni generali
Studiare il carattere di una serie significa stabilire se essa converge,
diverge o è indeterminata.
Se an = bn definitivamente, le serie di termine an e bn hanno lo
stesso carattere. Tuttavia, se entrambe convergono, in genere le
rispettive somme non sono uguali.
Nella pratica si usano i simboli
+∞
X
n=0
an ,
X
an
n
per denotare la serie di termine an , indipendentemente dal fatto che
essa sia regolare o no.
35 / 60
!!! Attenzione a non confondere
• la convergenza della serie di termine an con la convergenza
della successione {an },
• la somma della serie con il limite della successione {an }.
Le due nozioni sono legate tramite la seguente
Proposizione (Condizione necessaria per la convergenza di una serie)
Se la serie di termine an converge, allora la successione {an } è
infinitesima; l’implicazione contraria è falsa.
(In altre parole: la condizione an → 0 è necessaria ma non sufficiente
per la convergenza della serie di termine an .)
Verifica . . .
Esempi
n−1
Le serie di termine (−1)n e
non convergono.
n
1
La serie di termine
potrebbe convergere; per stabilire se converge
n
oppure no, occorre indagare ulteriormente.
36 / 60
Serie telescopiche
Una serie si dice telescopica se il suo termine può essere scritto nella
forma
an = bn − bn+1 , oppure an = bn+1 − bn .
In entrambi i casi, la somma parziale n -esima si ottiene facilmente:
Sn = (b0 − b1 ) + (b1 − b2 ) + . . . + (bn − bn+1 ) = b0 − bn+1 , oppure
Sn = (b1 − b0 ) + (b2 − b1 ) + . . . + (bn+1 − bn ) = bn+1 − b0 .
Esempi
La serie di termine an =
1
, detta serie di Mengoli, converge e
n(n + 1)
ha somma uguale a 1.
1
La serie di termine an = ln 1 +
diverge positivamente.
n
Cf. la proposizione di pagina 36 . . .
37 / 60
La serie geometrica
Sia q ∈ R. Si chiama serie geometrica di ragione q la serie di termine
an = q n , con n ≥ 0.
(Per q = 0 si pone il primo termine uguale a 1 .)
Proposizione
La serie geometrica di ragione q
• è indeterminata per q ≤ −1;
• diverge positivamente per q ≥ 1;
1
; in simboli:
• converge per −1 < q < 1 e la sua somma è
1−q
+∞
X
1
qn =
.
q ∈ (−1, 1) =⇒
1−q
n=0
Verifica . . .
Esempi: studiare il carattere delle serie
+∞
+∞
+∞
X
X
X
(−3)n
2n
(−1)n
4n
n=0
n=1
n=0
+∞
X
(−3)n
4n
n=2
38 / 60
Operazioni con le serie
Dai teoremi sulle operazioni algebriche per successioni si deducono le
seguenti proprietà:
Somma di serie
• Se la serie di termine an converge e ha somma A e la serie di
termine bn converge e ha somma B , la serie di termine an + bn
converge e ha somma A + B .
• Se la serie di termine an diverge positivamente e la serie di
termine bn converge o diverge positivamente, la serie di termine
an + bn diverge positivamente.
Multiplo di serie
• Se la serie di termine an converge e ha somma A e λ è una
costante, la serie di termine λ an converge e ha somma λ A.
• Se la serie di termine an diverge e λ 6= 0 è una costante, la serie
di termine λ an diverge, positivamente o negativamente a seconda
del modo in cui la serie di termine an diverge e del segno di λ.
39 / 60
Esempi
+∞ X
1
n
La serie
ln 1 +
+2
diverge positivamente.
n
n=1
La serie
+∞ X
n=1
La serie
+∞ X
n=1
3n+1
1
− n
n(n + 1)
2
2n
1
+ n+1
n(n + 1) 3
diverge negativamente.
converge e ha somma
5
.
3
Nota
Sotto opportune condizioni, si può definire il prodotto di due serie
(che non è la serie di termine an bn ); non ce ne occuperemo.
40 / 60
Cosa sono i criteri di convergenza e a che servono?
Siano Sn :=
n
n
X
X
1
1
e Tn :=
.
k
k2
k=1
k=1
La seguente tabella mostra i valori (troncati e arrotondati alla quinta
cifra decimale) di Sn e Tn per alcuni valori di n :
n
Sn
Tn
10
102
103
104
105
2.92897
5.18738
7.48547
9.78761
12.09010
1.54977
1.63498
1.64393
1.64483
1.64492
1
1
Si “intuisce” che le serie di termini
e 2 hanno caratteri diversi;
n
n
per verificarlo attraverso la definizione, occorre determinare
l’espressione esplicita di Sn e Tn . Ma come si fa?
41 / 60
Problema generale:
se non si riesce a scrivere esplicitamente la somma parziale n -esima
costruita a partire da una successione an ,
• non si può applicare la definizione di serie convergente,
divergente, indeterminata per stabilire il carattere della serie
di termine an ;
• ammesso che la serie sia convergente, non è possibile
determinarne la somma.
Soluzione:
• si stabilisce il carattere della serie attraverso un argomento
indiretto (“criterio”);
• stabilito che la serie è convergente, si calcola un valore
approssimato della somma (mediante una “stima del resto”).
42 / 60
Resto n -esimo di una serie
Supponiamo che la serie di termine an converga.
Siano Sn e S , rispettivamente, la somma parziale n -esima e la
somma della serie.
Definiamo il resto n -esimo:
Rn := S − Sn
= an+1 + an+2 + . . . )
Esso rappresenta l’errore che si commette sostituendo alla somma S
la somma parziale Sn .
Osservazione
Il resto n -esimo di una serie convergente tende a 0 per n → ∞.
Esempio
Sia |q| < 1. Il resto n -esimo della serie geometrica di ragione q è
+∞
n
X
X
1
1 − q n+1
q n+1
Rn :=
qn −
qk =
−
=
.
1−q
1−q
1−q
n=0
k=0
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Stima del resto n -esimo
In generale non siamo in grado di scrivere esplicitamente il resto
n -esimo di una serie convergente.
In alcuni casi riusciamo però a stimarlo in termini di una quantità nota;
ciò è sufficiente ad approssimare la somma della serie convergente
commettendo un errore controllato.
Precisamente: se per un certo intero N si ha |RN | ≤ α, allora
|S − SN | ≤ α, ossia
SN − α ≤ S ≤ SN + α.
(∗)
Dato che SN è esplicitamente calcolabile, (∗) fornisce un intervallo al
quale la somma S , incognita, appartiene.
Se riusciamo a stabilire in qualche modo che SN approssima S
per difetto [per eccesso], otteniamo una approssimazione migliore di
S , cioè un intervallo di ampiezza minore al quale S appartiene:
SN ≤ S ≤ SN + α
[SN − α ≤ S ≤ SN ]
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Serie a termini positivi
La serie di termine an si dice a termini positivi se an ≥ 0 per ogni n ;
si dice a termini strettamente positivi se an > 0 per ogni n .
Esempi?
Osservazione
Sia Sn la somma parziale n -esima costruita a partire da una
successione an ≥ 0. Risulta:
Sn = Sn−1 + an ≥ Sn−1 ,
cioè la successione delle somme parziali {Sn } è monotona crescente.
Conseguenze:
• una serie a termini positivi può solo convergere oppure divergere
positivamente; (teorema RSM)
• se la serie converge, la somma parziale Sn approssima per difetto
la somma S e il resto Rn è positivo.
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Proposizione
La serie (a termini positivi)
+∞
X
1
np
(∗)
n=1
converge se e solo se p > 1; in tal caso si ha
1
.
0 ≤ Rn ≤
(p − 1)np−1
Lo dimostreremo in seguito, nel capitolo sul calcolo integrale.
Per p = 1 la serie (∗) si chiama serie armonica;
per p 6= 1 si chiama serie armonica generalizzata di esponente p .
46 / 60
Esercizio
Per ciascuna delle seguenti serie, stabilire se essa converge.
In caso affermativo, scrivere una maggiorazione del resto n -esimo e
utilizzarla per determinare un intero N tale che approssimando la
somma della serie con la somma parziale SN si commetta un errore
inferiore a 10−2 .
+∞
X
1
(a)
n
(c)
n=1
n=1
(b)
+∞
X
n=1
+∞
X
1
√
n n
(d)
1
√
n2 n
+∞
X
1
n5
n=1
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Soluzione dell’esercizio precedente
p
carattere
stima del resto
della serie
e condizione
da imporre
1
diverge
3/2
converge
Rn ≤
5/2
converge
Rn ≤
5
converge
minimo N
per cui vale
la condizione
SN
N = 40001
S40001 ' 2.60
1
2
< 2
3/2
10
3n
N = 17
S17 ' 1.33
1
1
< 2
4
4n
10
N=3
S3 ' 1.03
2
n1/2
Rn ≤
<
1
102
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Confronto tra gli esercizi (c) e (d): velocità di convergenza
X 1
X 1
n5
n5/2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
..
.
102
Sn
stima di Rn
1.00000
0.66667
1.17678
0.23570
1.24093
0.12830
1.27217
0.08333
1.29006
0.05963
1.30140
0.04536
1.30912
0.03600
1.31464
0.02946
1.31876
0.02469
1.32192
0.02108
1.32441
0.01827
1.32642
0.01604
1.32806
0.01422
1.32942
0.01273
1.33057
0.01148
1.34083
Sn
stima di Rn
1.00000
0.25000
1.03125
0.01562
1.03536
0.00309
1.03634
0.00098
1.03666
0.00040
1.03679
0.00019
1.03685
0.00010
1.03688
0.00006
1.03690
0.00004
1.03691
0.00003
1.03691
0.00002
1.03692
0.00001
1.03692
0.00001
1.03692
0.00001
1.03692
0.00000
0.00067
49 / 60
Teorema (Criterio del confronto)
Siano {an } e {bn } due successioni tali che
0 ≤ an ≤ bn per ogni n ≥ ν .
Vedremo anche il criterio
del confronto asintotico
• Se la serie di termine bn converge, anche la serie di termine
an converge e si ha
+∞
X
n=ν
an ≤
+∞
X
bn ;
n=ν
inoltre, detti Rn e Rn0 il resto n -esimo della serie di termine an
e bn , rispettivamente, risulta
0 ≤ Rn ≤ Rn0 .
• Se la serie di termine an diverge, anche la serie di termine
bn diverge.
50 / 60
Esempi
Stabilire se la serie assegnata converge. In caso affermativo, scrivere
una maggiorazione per il resto n -esimo e utilizzarla per calcolare un
valore approssimato della somma della serie con un errore inferiore a
10−3 .
+∞
X
n + ln(n)2
√
(a)
n
n
n=1
(b)
+∞
X
n=1
n
6
n +2
+∞
X
n sin(n)2
(c)
5n3 + 3
n=1
(d)
+∞
X
n sin
n=1
(e)
+∞
X
n=1
(f)
+∞
X
n=1
1
n4
| sin(t)| ≤ |t|
per ogni t ∈ R
3n
2n − n
2n
5n + 1
51 / 60
Digressione: serie numeriche e rappresentazione decimale
Ricordiamo che un numero decimale è un’espressione della forma
± c0 . c1 c2 c3 . . .
(∗)
dove c0 è un intero naturale e c1 , c2 , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 8, 9}.
Se il numero decimale è infinito, (∗) va intesa come
c2
c3
c1
+ 2 + 3 + ··· ;
± c0 +
10 10
10
l’espressione tra parentesi è la somma della serie numerica di termine
an := cn 10−n .
• Questa serie converge?
• Se il numero decimale è periodico, la somma è un numero
razionale? Quale?
Verifichiamo (e saldiamo un debito in sospeso, vedi “L’insieme dei
numeri reali”) . . .
52 / 60
Serie a segni alterni
Teorema (Criterio di Leibniz)
Supponiamo che la serie di termine an sia a segni alterni, cioè che
an = (−1)n bn , oppure an = (−1)n−1 bn = (−1)n+1 bn ,
con bn ≥ 0.
Se la successione {bn } è decrescente e infinitesima, allora la serie
di termine an è convergente.
Inoltre, detto Rn il resto n -esimo della serie, si ha
|Rn | ≤ bn+1 .
Idea della dimostrazione . . .
53 / 60
Esempio (da ricordare!)
La serie armonica alternata
+∞
X
1 1 1
1
(−1)n−1 = 1 − + − + . . .
n
2 3 4
n=1
converge.
Esempio
Stabilire in base al criterio di Leibniz che la serie
+∞
X
(−1)n+1
n=0
2n + 1
converge.
Scrivere una maggiorazione per il resto n -esimo e utilizzarla per
determinare un intero N tale che la somma parziale SN approssimi
la somma S a meno di 10−2 .
Stabilire se SN è una approssimazione per eccesso o per difetto di S .
Scrivere un intervallo al quale S appartiene.
54 / 60
Osservazioni sulle ipotesi del criterio di Leibniz
Se le ipotesi bn ≥ 0 e bn+1 ≤ bn sono soddisfatte definitivamente,
ossia per n ≥ ν , si può ancora concludere che la serie di termine
(−1)n bn converge. Inoltre, la stima del resto è valida per n ≥ ν .
Se i termini bn non sono (definitivamente) positivi, oppure la
successione {bn } non è (definitivamente) decrescente, il criterio
non è applicabile e la serie va studiata con altri strumenti.
Se {bn } non è infinitesima, neppure {an } lo è (perché?) e quindi si
può concludere che la serie di termine an non converge.
Per provare la monotonia di {bn } non basta guardare i primi termini!
Possibili strategie:
• ricorrere alla definizione, cioè verificare che la disuguaglianza
bn+1 ≤ bn è vera (definitivamente), oppure
• applicare il test di monotonia a una funzione prolungamento di
↑ lo vedremo in seguito
{bn }.
55 / 60
Convergenza assoluta
Si dice che la serie di termine an converge assolutamente se la serie
di termine |an | converge.
Osservazione
Per le serie a termini di segno costante la nozione di convergenza
assoluta coincide con quella di convergenza.
Teorema (Legame tra convergenza e convergenza assoluta)
Se la serie di termine |an | è convergente, anche la serie di termine
an lo è e si ha
+∞ +∞
X X
disuguaglianza triangolare
an ≤
|an |
con infiniti addendi
n=0
n=0
Il viceversa non è vero, cioè esistono serie che convergono ma non
convergono assolutamente.
Esse si chiamano condizionalmente convergenti.
Dimostrazione . . .
56 / 60
Esempi
Stabilire se le serie assegnate sono assolutamente convergenti,
condizionalmente convergenti, non convergenti.
+∞
X
sin(n)
n3 + 1
n=1
+∞
X
(−1)n−1
n
n=1
Osservazione
Per studiare la assoluta convergenza della serie di termine an
possiamo applicare alla serie di termine |an | i criteri per le serie a
termini positivi (del confronto, già visto; del confronto asintotico e
dell’integrale, che vedremo).
Se, in base a questi criteri, la serie di termine |an | non converge,
la serie di termine an potrebbe convergere o meno; ciò va stabilito
caso per caso tramite opportune considerazioni.
In alcuni casi il carattere della serie può essere determinato tramite
il criterio del rapporto. Vedere pagina seguente . . .
57 / 60
Teorema (Criterio del rapporto)
Sia an 6= 0 definitivamente e supponiamo che esista (finito o infinito)
lim
n→+∞
|an+1 |
=: L.
|an |
Se L ∈ [0, 1), la serie di termine an converge assolutamente.
Se L ∈ (1, +∞) ∪ {+∞}, la serie di termine an non converge.
Dimostrazione . . .
Esempio
Studiare la convergenza delle serie
+∞
X
(−2)n
3n + n
n=1
+∞
X
(−3)n
2n + n
n=1
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Osservazione
Il criterio del rapporto può ovviamente essere applicato anche alle serie
a termini positivi. In questo caso, le conclusioni diventano:
se L ∈ [0, 1), la serie di termine an converge;
se L ∈ (1, +∞) ∪ {+∞}, la serie di termine an diverge positivamente.
Esempio: studiare la convergenza delle serie
+∞
+∞
X
X
2n
2n
en − n
n2 + n
n=1
n=1
Osservazione (Caso di indecisione nel criterio del rapporto)
Se nel criterio del rapporto è L = 1, non si può concludere nulla sul
carattere della serie.
X 1
Per esempio, per la serie armonica generalizzata
si ha L = 1
np
indipendentemente da p ; tuttavia, per alcuni valori di p essa converge
e per altri diverge.
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Un criterio per determinare se una successione è infinitesima
Corollario del criterio del rapporto
Sia {an } una successione tale che an 6= 0 definitivamente. Se
lim
n→+∞
|an+1 |
< 1,
|an |
allora la successione {an } è infinitesima.
Esempi (da ricordare)
Le seguenti successioni sono infinitesime:
n np o
n an o
(p
∈
R,
|a|
>
1)
(a ∈ R)
an
n!
n np o
p n
n a
(p ∈ R, |a| < 1)
(p ∈ R)
n!
n n! o
nn
Risolviamo la forma di indecisione in sospeso di pagina 31 . . .
60 / 60