SUCCESSIONI e SERIE NUMERICHE
 SUCCESSIONE NUMERICA  Si chiama successione
numerica ogni funzione reale definita in un insieme
del tipo {𝑛 ∈ ℕ|𝑛 ≥ 𝑛0 }, con 𝑛0 numero naturale.
Parlando di successioni, solitamente denotiamo:
- La variabile indipendente con 𝑛;
- Il valore che la successione assume in un numero
naturale 𝑛 con il simbolo 𝑎𝑛 chiamato termine nesimo della successione.
- L’immagine della successione con {𝑎𝑛 }𝑛∈ℕ
(oppure {𝑎𝑛 })
Il grafico di una successione è costituito da infiniti
punti isolati di coordinate (𝑛, 𝑎𝑛 ), con 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑛0 .
 PROLUNGAMENTO DI UNA SUCCESSIONE Diciamo
che una funzione 𝑓 è un prolungamento della
successione {𝑎𝑛 } se 𝑓 è definita nell’intervallo
[𝑛0 , +∞) e si ha 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 per ogni 𝑛 ≥ 𝑛0 .
 SUCCESSIONE MONOTONA  Per verificare se una
successione è monotona basta confrontare tra loro
termini consecutivi. Più nel dettaglio, una
successione {𝑎𝑛 } è:
- CRESCENTE se e solo se 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 per ogni 𝑛;
- STRETTAMENTE CRESCENTE se e solo se 𝑎𝑛 <
𝑎𝑛+1 per ogni 𝑛;
- DECRESCENTE se e solo se 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 per ogni 𝑛;
- STRETTAMENTE DECRESCENTE se e solo se 𝑎𝑛 >
𝑎𝑛+1 per ogni 𝑛;
Facciamo delle osservazioni:
 Se una funzione prolungamento di una
successione è monotona, anche la successione
lo è.
 Si potrebbe erroneamente pensare che la
presenza del termine “oscillante “(-1)n implichi
mancanza di monotonia; non è detto che sia
così.
 Per “farsi una idea” dell’andamento di una
successione è utile esplicitarne i primi termini;
tuttavia, ciò non è sufficiente a stabilire che la
successione sia monotona.
 SUCCESSIONI LIMITATE  Dato che ogni successione
è una funzione, ha senso parlare di successioni
limitate inferiormente, limitate superiormente e
limitate, nonché di estremo inferiore ed estremo
superiore e di minimo e massimo di una successione.
 PROPRIETÀ VERE DEFINITIVAMENTE  Una
proprietà 𝑃𝑛 è vera definitivamente se 𝑃𝑛 è vera per
tutti gli n sufficientemente grandi, cioè se esiste 𝜈 ∈
ℕ tale che la proprietà 𝑃𝑛 sia vera per ogni 𝑛 ≥ 𝜈.
 SUCCESSIONI INFINITESIME  Vediamo due casi:
- NUMERI POSITIVI  Una successione {𝑎𝑛 } di
numeri positivi si dice infinitesima se per ogni 𝜀 >
0 la
disuguaglianza
𝑎𝑛 < 𝜀
è
vera
definitivamente.
- NUMERI QUALSIASI  Una successione {𝑎𝑛 } di
numeri qualsiasi si dice infinitesima se la
successione {|𝑎𝑛 |} è infinitesima.
 SUCCESSIONI CONVERGENTI La successione {𝑎𝑛 }
si dice convergente se esiste 𝑎 ∈ ℝ tale che la
successione {𝑎𝑛 − 𝑎} sia infinitesima. In tal caso
diciamo che {𝑎𝑛 } converge ad 𝑎.
 SUCCESSIONI DIVERGENTI  Vediamo due casi:
- DIVERGE POSITIVAMENTE  Si dice che la
successione {𝑎𝑛 } diverge positivamente se per
ogni 𝑀 > 0 la disuguaglianza 𝑎𝑛 > 𝑀 è vera
definitivamente.
- DIVERGE NEGATIVAMENTE  Si dice che la
successione {𝑎𝑛 } diverge negativamente se per
ogni 𝑀 > 0 la disuguaglianza 𝑎𝑛 < −𝑀 è vera
definitivamente.
 SUCCESSIONI REGOLARI e LORO LIMITI 
- Una successione si dice regolare se è convergente
oppure divergente.
- Una successione non regolare si dice irregolare o
indeterminata.
- Se la successione {𝑎𝑛 } è regolare, diciamo che
{𝑎𝑛 } ha limite e scriviamo:
𝑎 𝑠𝑒 {𝑎𝑛 } è convergente
lim 𝑎𝑛 = { +∞ 𝑠𝑒 {𝑎𝑛 } diverge positivamente
𝑛→∞
−∞ 𝑠𝑒 {𝑎𝑛 } diverge negativamente
 LIMITI e LIMITATEZZA: NON CONFONDIAMOLI  Sia
{𝑎𝑛 } una successione regolare.
- {𝑎𝑛 } converge ⟹ {𝑎𝑛 } è limitata.
- {𝑎𝑛 } diverge positivamente ⟹ {𝑎𝑛 } è illimitata
superiormente.
- {𝑎𝑛 } diverge negativamente ⟹ {𝑎𝑛 } è illimitata
inferiormente.
OSSERVAZIONE: Le implicazioni non possono essere
invertite, in quanto:
 Esistono successioni limitate che non
convergono;
 Esistono successioni illimitate superiormente
che non divergono positivamente;
 Esistono successioni illimitate inferiormente che
non divergono negativamente.
 TEOREMA: REGOLARITÀ DELLE SUCCESSIONI
MONOTONE  Ogni successione monotona è
regolare. Precisamente:
1. {𝑎𝑛 } crescente ⟹ lim 𝑎𝑛 = sup 𝑎𝑛
𝑛→+∞
2. {𝑎𝑛 } decrescente ⟹ lim 𝑎𝑛 = inf 𝑎𝑛
𝑛→+∞
C’è un COROLLARIO il quale afferma che:
 Supponiamo che la successione {𝑎𝑛 } sia
monotona. Allora:
1. {𝑎𝑛 } converge ⟺ {𝑎𝑛 } è limitata;
2. {𝑎𝑛 } diverge ⟺ {𝑎𝑛 } è illimitata.
 LIMITI E OPERAZIONI ALGEBRICHE  Supponiamo
𝑎𝑛 → 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏𝑛 → 𝑏 ∈ ℝ. Allora:
- REGOLA DELLA SOMMA: 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 → 𝑎 + 𝑏
- REGOLA DELLA DIFFERENZA 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 → 𝑎 − 𝑏
- REGOLA DEL MULTIPLO: 𝜆𝑎𝑛 → 𝜆𝑎 (𝜆 ∈ ℝ)
- REGOLA DEL PRODOTTO: 𝑎𝑛 𝑏𝑛 → 𝑎𝑏
1
1
- REGOLA DEL RECIPROCO: → (𝑎 ≠ 0)
- REGOLA DEL RAPPORTO:
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑏𝑛
→
𝑎
𝑎
𝑏
(𝑏 ≠ 0)
 PROPOSIZIONE: RECIPROCO DI UNA SUCCESSIONE
INFINITESIMA  Sia {𝑎𝑛 } una successione
infinitesima. Allora:
1. {𝑎𝑛 } ha segno costante (definitivamente) ⇒
1
{ } diverge, positivamente o negativamente, a
𝑎𝑛
seconda del segno di 𝑎𝑛 .
2. {𝑎𝑛 } non ha segno costante (definitivamente) ⇒
SERIE NUMERICHE
 SOMMA PARZIALE (o RIDOTTA) + SERIE DI TERMINE
an  Sia {𝑎𝑛 }𝑛∈ℕ una successione di numeri reali.
Definiamo la somma parziale (o ridotta) n-esima
ponendo:
- 𝑆0 ≔ 𝑎0
- 𝑆1 ≔ 𝑎0 + 𝑎1
- …
- 𝑆𝑛 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘
La successione {𝑆𝑛 } si chiama serie di termine 𝑎𝑛 .
NOTA  Se la successione {𝑎𝑛 } è definita solo per
𝑛 ≥ 𝑛0 , conveniamo di porre 𝑎𝑛 = 0 per 𝑛 < 𝑛0 . Ne
segue che in quanto diremo non sarà restrittivo
supporre che la successione {𝑎𝑛 } sia sempre definita
per ogni 𝑛 ∈ ℕ.
 SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI Sn  La serie
di termine 𝑎𝑛 non è altro che la successione delle
somme parziali 𝑆𝑛 costruite a partire da 𝑎𝑛 . Pertanto,
la locuzione la serie di termine 𝒂𝒏 è
convergente/divergente positivamente/divergente
negativamente/regolare/indeterminata equivale alla
locuzione la successione delle somme parziali 𝑺𝒏
costruite a partire da 𝒂𝒏 è convergente/divergente
positivamente/divergente negativamente/regolare/
indeterminata.
Se la serie è regolare, il limite della successione {𝑆𝑛 }
prende il nome di somma della serie e si denota con
il seguente simbolo:
+∞
∑ 𝑎𝑛
1
{ } non ha limite.
𝑎𝑛
 OPERAZIONI CON SUCCESSIONI DIVERGENTI 
Siano {𝑎𝑛 } e {𝑏𝑛 } successioni divergenti:
- Se le due successioni divergono con lo stesso
segno, la successione somma {𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 } diverge
con lo stesso segno.
- Se 𝜆 ≠ 0, la successione multiplo {𝜆𝑎𝑛 } diverge,
con lo stesso segno di {𝑎𝑛 } se 𝜆 > 0, con segno
opposto se 𝜆 < 0.
- La successione prodotto {𝑎𝑛 𝑏𝑛 } diverge,
positivamente se le due successioni divergono
con lo stesso segno, negativamente se le due
successioni divergono con segni opposti.
1
- La successione reciproco { } è infinitesima.
𝑎𝑛
 TEOREMA: PERMANENZA DEL SEGNO  Sia {𝑎𝑛 }
una successione, sia 𝑎 ∈ ℝ e si supponga 𝑎𝑛 → 𝑎.
𝑎 > 0 ⇒ 𝑎𝑛 > 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
1.
𝑎 < 0 ⇒ 𝑎𝑛 < 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎 ≥ 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑎 ≥ 0
2. 𝑛
𝑎𝑛 ≤ 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑎 ≤ 0
Facciamo delle osservazioni:
 Se 𝑎 = 0, non si può dire nulla sul segno di 𝑎𝑛 .
 Le implicazioni in (1.) valgono anche se 𝑎 = +∞
e 𝑎 = −∞ rispettivamente.
 Le conclusioni in (2.) sono le stesse anche se si
suppone definitivamente 𝑎𝑛 > 0 e 𝑎𝑛 < 0
rispettivamente.
 TEOREMA: CONFRONTO, O CONVERGENZA
OBBLIGATA, O DEI CARABINIERI  Siano {𝑎𝑛 }, {𝑏𝑛 },
{𝑐𝑛 } tre successioni tali che:
- 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 definitivamente;
- {𝑎𝑛 } e {𝑐𝑛 } convergono a uno stesso limite a.
Allora anche {𝑏𝑛 } converge ad a.
GENERALIZZANDO:
 {𝑎𝑛 } limitata, {𝑏𝑛 } infinitesima ⇒ {𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 }
infinitesima;
 {𝑎𝑛 }
limitata,
{𝑏𝑛 }
divergente
𝑎
⇒ { 𝑛}
𝑏𝑛
infinitesima;
 TEOREMA: DIVERGENZA OBBLIGATA  Siano {𝑎𝑛 } e
{𝑏𝑛 } successioni tali che 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 definitivamente.
Allora:
- {𝑎𝑛 } diverge positivamente ⇒ {𝑏𝑛 } diverge
positivamente;
- {𝑏𝑛 } diverge negativamente ⇒ {𝑎𝑛 } diverge
negativamente;
GENERALIZZANDO:
 {𝑎𝑛 } divergente, {𝑏𝑛 } limitata ⇒ {𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 }
divergente.
 {𝑎𝑛 } divergente, {𝑏𝑛 } convergente e non
infinitesima ⇒ {𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 }, {𝑎𝑛 /𝑏𝑛 } divergenti.
 FORME DI INDECISIONE  Né le regole algebriche né
le loro generalizzazioni permettono di determinare a
priori il limite nei seguenti casi, che chiamiamo
FORME DI INDECISIONE:
- Differenza di successioni che divergono con lo
stesso segno (forma +∞ − ∞);
- Prodotto di una successione infinitesima per una
divergente (forma 0 ⋅ ∞);
- Rapporto di due successioni divergenti (forma
∞/∞);
- Rapporto di due successioni infinitesime (forma
0/0).
𝑛=0
 CARATTERE DI UNA SERIE  Studiare il carattere di
una serie significa stabile se essa converge, diverge o
è indeterminata. Se 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 definitivamente, le serie
di termini 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 hanno lo stesso carattere. Tuttavia,
se entrambe convergono, in genere le rispettive
somme non sono uguali. Si usano i seguenti simboli
per denotare la serie di termine 𝑎𝑛
(indipendentemente dal fatto che essa sia regolare o
no):
+∞
∑ 𝑎𝑛 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 ∑ 𝑎𝑛
𝑛=0
𝑛
 CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI
UNA SERIE  Se la serie di termine 𝑎𝑛 converge,
allora la successione {𝑎𝑛 } è infinitesima;
l’implicazione contraria è falsa.
[In pratica: la condizione 𝑎𝑛 → 0 è necessaria ma non
sufficiente per la convergenza della serie di termine
𝑎𝑛 ].
 SERIE TELESCOPICHE  Una serie si dice telescopica
se il suo termine può essere scritto nella forma 𝑎𝑛 =
𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 oppure 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛+1 − 𝑏𝑛 . La somma
parziale n-esima è 𝑆𝑛 = 𝑏0 − 𝑏𝑛+1 oppure 𝑆𝑛 =
𝑏𝑛+1 − 𝑏0 .
1
- L’esempio più importante è 𝑎𝑛 =
che
𝑛(𝑛+1)
prende il nome di SERIE DI MENGOLI; essa
converge ed ha somma uguale a 1.
 SERIE GEOMETRICHE Sia 𝑞 ∈ ℝ. Si chiama serie
geometrica di ragione 𝑞 la serie di termine 𝑎𝑛 = 𝑞𝑛
con 𝑛 ≥ 0. La serie geometrica di ragione 𝑞:
1. È indeterminata per 𝑞 ≤ −1;
2. Diverge positivamente per 𝑞 ≥ 1;
1
3. Converge per −1 < 𝑞 < 1 e la sua somma è
.
1−𝑞
 OPERAZIONI CON LE SERIE  Due operazioni:
- SOMMA DI SERIE 
Se la serie di termine 𝑎𝑛 converge ed ha
somma A e la serie di termine 𝑏𝑛 converge ed
ha somma B, la serie di termine 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
converge ed ha somma 𝐴 + 𝐵.
Se la serie di termine 𝑎𝑛 diverge
positivamente e la serie di termine 𝑏𝑛
converge o diverge positivamente, la serie di
termine 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 diverge positivamente.
- MULTIPLO DI SERIE 
Se la serie di termine 𝑎𝑛 converge e ha
somma 𝐴 e 𝜆 è una costante, la serie di
termine 𝜆𝑎𝑛 converge ed ha somma 𝜆𝐴.
Se la serie di termine 𝑎𝑛 diverge e 𝜆 ≠ 0 è
una costante, la serie di termine 𝜆𝑎𝑛 diverge,
positivamente o negativamente a seconda
del modo in cui la serie di termine 𝑎𝑛 diverge
e del segno di 𝜆.
1
 CRITERI DI CONVERGENZA  Siano 𝑆𝑛 ≔ ∑𝑛𝑘=1 e
1
1
1
𝑘
𝑇𝑛 ≔ ∑𝑛𝑘=1 2 . Le serie di termini
e 2 hanno
𝑘
𝑘
𝑘
caratteri diversi.
- Si stabilisce il carattere della serie attraverso un
argomento indiretto (“criterio”);
- Stabilito che la serie è convergente, si calcoa un
valore approssimato della somma (mediante una
“stima del resto”).
 RESTO n-ESIMO DI UNA SERIE  Supponiamo che la
serie di termine 𝑎𝑛 converga. Siano 𝑆𝑛 e 𝑆 la somma
parziale n-esima e la somma della serie. Definiamo il
resto n-esimo: 𝑅𝑛 ≔ 𝑆 − 𝑆𝑛 (= 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯ ).
Esso rappresenta l’errore che si commette
sostituendo alla somma 𝑆 la somma parziale 𝑆𝑛 .
 STIMA DEL RESTO n-ESIMO  Non siamo in grado di
scrivere esplicitamente il resto n-esimo di una serie
convergente. In alcuni casi riusciamo però a stimarlo
in termini di una quantità nota; ciò è sufficiente ad
approssimare la somma della serie convergente
commettendo un errore controllato. Se per un certo
intero N si ha |𝑅𝑁 | ≤ 𝛼, allora |𝑆 − 𝑆𝑁 | ≤ 𝛼, ossia
𝑆𝑁 − 𝛼 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑁 + 𝛼
Dato che 𝑆𝑁 è calcolabile, l’equazione fornisce un
intervallo al quale la somma S appartiene. Se
riusciamo a stabilire in qualche modo che 𝑆𝑁
approssima 𝑆 per difetto [o per eccesso], otteniamo
una approssimazione migliore di S, cioè un intervallo
di ampiezza minore al quale S appartiene:
[𝑆𝑁 − 𝛼 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑁 ]
𝑆𝑁 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑁 + 𝛼
 SERIE A TERMINI POSITIVI  La serie di termine 𝑎𝑛
si dice a termini positivi se 𝑎𝑛 ≥ 0 per ogni n; si dice
a termini strettamente positivi se 𝑎𝑛 > 0 per ogni n.
- Sia 𝑆𝑛 la somma parziale n-esima costruita a
partire da una successione 𝑎𝑛 ≥ 0. Risulta:
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑎𝑛 ≥ 𝑆𝑛−1
Cioè la successione delle somme parziali {𝑆𝑛 } è
monotona crescente.
Come conseguenze abbiamo:
Una serie a termini positivi può solo
convergere oppure divergere positivamente;
Se la serie converge, la somma parziale 𝑆𝑛
approssima per difetto la somma S ed il resto
𝑅𝑛 è positivo.
 SERIE ARMONICA  La serie (a termine positivi)
+∞
∑
𝑛=1
1
𝑛𝑝
Converge se e solo se 𝑝 > 1; in tal caso abbiamo:
1
0 ≤ 𝑅𝑛 ≤
(𝑝 − 1)𝑛𝑝−1
- Per 𝑝 = 1 la serie si chiama serie armonica.
- Per 𝑝 ≠ 1 la serie si chiama serie armonica
generalizzata di esponente 𝑝.
 CRITERIO DEL CONFRONTO  Siano {𝑎𝑛 } e {𝑏𝑛 } due
successioni tali che 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 per ogni 𝑛 ≥ 𝜈.
- Se la serie di termine 𝑏𝑛 converge, anche la serie
di termine 𝑎𝑛 converge e si ha:
+∞
+∞
∑ 𝑎𝑛 ≤ ∑ 𝑏𝑛
𝑛=𝜈
𝑛=𝜈
Inoltre, detti 𝑅𝑛 e 𝑅𝑛′ il resto n-esimo della serie
di termine 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 risulta 0 ≤ 𝑅𝑛 ≤ 𝑅𝑛′ .
- Se la serie di termine 𝑎𝑛 diverge, anche la serie di
termine 𝑏𝑛 diverge.
 DIGRESSIONE:
SERIE
NUMERICHE
e
RAPPRESENTAZIONE DECIMALE  Un allineamento
decimale è una espressione della forma ±𝑐0 ⋅
𝑐1𝑐2𝑐3 … dove 𝑐0 è un intero naturale e 𝑐1, 𝑐2, … ∈
{0, 1, 2, … , 7, 8, 9}. Se l’allineamento decimale è
infinito, otterremo:
𝑐1
𝑐2
𝑐3
± (𝑐0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ )
10
10
10
L’espressione appena scritta è la somma della serie
numerica di termine 𝑎𝑛 ≔ 𝑐𝑛 10−𝑛 .
Un numero reale è irrazionale se e solo se il suo
allineamento decimale è infinito non periodico.
 SERIE A SEGNI ALTERNI (CRITERIO DI LEIBNIZ) 
Supponiamo che la serie di termine 𝑎𝑛 sia a segni
alterni, cioè che 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 𝑏𝑛 oppure 𝑎𝑛 =
(−1)𝑛+1𝑏𝑛 con 𝑏𝑛 ≥ 0. Se la successione {𝑏𝑛 } è
decrescente e infinitesima, allora la serie di termine
𝑎𝑛 è convergente. Detto 𝑅𝑛 il resto n-esimo della
serie, otteniamo |𝑅𝑛 | ≤ 𝑏𝑛+1.
 SERIE ARMONICA ALTERNATA  La serie armonica
alternata converge:
+∞
∑(−1)𝑛−1
𝑛=1
1
1 1 1
= 1− + − +⋯
𝑛
2 3 4
 OSSERVAZIONI SUL CRITERIO DI LEIBNIZ 
Facciamo alcune osservazioni:
- Se {𝑏𝑛 } non è infinitesima, neppure {𝑎𝑛 } lo è e
quindi si può concludere che la serie di termine
𝑎𝑛 non converge.
- Se i termini 𝑏𝑛 non sono (definitivamente)
positivi, oppure la successione {𝑏𝑛 } non è
(definitivamente) decrescente, il criterio non è
applicabile e la serie va studiata con altri
strumenti.
- Se le ipotesi 𝑏𝑛 ≥ 0 e 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 sono soddisfatte
definitivamente, ossia per 𝑛 ≥ 𝜈, si può ancora
concludere che la serie di termine (−1)𝑛 𝑏𝑛
converge. La stima del resto è valida per 𝑛 ≥ 𝜈.
- Per provare la monotonia di {𝑏𝑛 } non basta
guardare i primi termini! Possibili strategie:
 Ricorrere alla definizione (cioè verificare che
la disuguaglianza 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 è vera);
 Applicare il test di monotonia a una funzione
prolungamento di {𝑏𝑛 }.
 CONVERGENZA ASSOLUTA  Si dice che la serie di
termine 𝑎𝑛 converge assolutamente se la serie di
termine |𝑎𝑛 | converge.
- Se la serie di termine |𝑎𝑛 | è convergente, anche
la serie di termine 𝑎𝑛 lo è e si ha:
+∞
+∞
|∑ 𝑎𝑛 | ≤ ∑|𝑎𝑛 |
𝑛=0




𝑛=0
Il viceversa non è vero, cioè esistono serie che
convergono ma non convergono assolutamente.
Si chiamo condizionalmente convergenti.
CASO DI INDECISIONE NEL CRITERIO DEL RAPPORTO
 Se nel criterio del rapporto è L=1, non si può
concludere una mazza sul carattere della serie. Per
1
esempio, per la serie armonica generalizzata ∑ 𝑝 si
𝑛
ha 𝐿 = 1 indipendentemente d p; tuttavia, per alcuni
valori di p essa converge e per altri diverge.
CRITERIO DEL RAPPORTO  Sia 𝑎𝑛 ≠ 0
definitivamente e supponiamo che esista (finito o
infinito)
|𝑎𝑛+1|
lim
=: 𝐿
𝑛→+∞ |𝑎𝑛 |
Se 𝐿 ∈ [0, 1), la serie di termine 𝑎𝑛 converge
assolutamente. Se 𝐿 ∈ (1, +∞) ∪ {+∞}, la serie di
termine 𝑎𝑛 non converge.
CRITERIO PER DETERMINARE SE UNA SUCCESSIONE
È INFINITESIMA  Sia {𝑎𝑛 } una successione tale che
𝑎𝑛 ≠ 0 definitivamente. Se:
|𝑎𝑛+1|
lim
<1
𝑛→+∞ |𝑎𝑛 |
Allora la successione {𝑎𝑛 } è infinitesima.
FORMA DI INDECISIONE PER IL CALCOLO DEL LIMITE
 Per le seguenti successioni, il calcolo del limite
presenta una forma di indecisione; applicando il
corollario del criterio del rapporto possiamo
verificare che sono tutte infinitesime:
𝑝>0
𝑛𝑝
- { 𝑛}
𝑎
|𝑎| > 1
𝑝>0
- {𝑛𝑝 𝑎𝑛 }
|𝑎| < 1
𝑎𝑛
|𝑎| > 1
- { }
𝑛!
𝑛𝑝
- { }
𝑛!
𝑛!
- { 𝑛}
𝑛
𝑝>0