Sia an una successione numerica positiva tale che la serie ∑ an converga;
che si può dire del carattere delle seguenti serie? Giustificare la risposta
citando teoremi o fornendo opportuni controesempi.
a) ∑(an)2
b) ∑sinan
f) ∑(-1)nan
g) ∑ ln(1+an)
c) ∑nan
h) ∑ ln(an)
d) ∑ enan
i) ∑ (an)n
e) ∑1 – e an
j) ∑[an]
1
a) Si tratta di serie numerica a termini positivi. La successione an , essendo termine generale di una serie numerica convergente, è infinitesima, ed essendo positiva, per ogni > 0
esiste un K (in genere dipendente da ) tale che, per ogni n≥K, risulti 0 < an ≤ ; assumendo in particolare = 1 si può affermare che, almeno definitivamente, risulta
( * ) 0 < an ≤ 1 .
Ne segue che, almeno definitivamente, risulta 0 < ( an )2 ≤ an , poichè per ogni t∈(0;1]
risulta 0 < t2 ≤ t ; la serie a) pertanto converge per il criterio del confronto.
b) Poiché, almeno definitivamente, sussiste la ( * ), la serie in questione è a termini definitivamente positivi; essendo an infinitesima, risulta sin(an) ∼ an, ed essendo la serie ∑an
convergente per ipotesi, la serie b) converge per il criterio del confronto asintotico.
c) La serie in questione è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.
Possono verificarsi entrambi i casi a seconda di an. Infatti, ricordando le serie armoniche
(generalizzate e non), si nota che: se an = 1/n2 la serie ∑an converge ma la serie ∑nan
diverge positivamente, mentre se an = 1/n3 convergono sia ∑an che ∑nan .
d) La serie in questione è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.
Anche per tale serie possono verificarsi entrambi i casi a seconda di an . Infatti se an =
1/n2 la serie ∑an converge ma la serie ∑enan diverge positivamente poiché il suo termine generale en/n2 non è infinitesimo, mentre se an = (1/4)n convergono sia ∑an che
∑enan perchè serie geometriche con ragione compresa fra -1 ed 1.
e) Siccome, almeno definitivamente, sussiste la ( * ), la successione e an è definitivamente
maggior o uguale ad 1, quindi la serie è a termini definitivamente negativi. Essendo an
infinitesima, risulta 1 – e an ∼ - an ed essendo la serie ∑an convergente per ipotesi, la serie e) converge per il criterio del confronto asintotico.
1
La scrittura [an] è da intendere “parte reale intera di an”.
f) Essendo an positiva per ipotesi, si tratta di una serie a termini a segno alterno; la serie
dei moduli associata è proprio la serie ∑an che converge per ipotesi, quindi la serie f)
converge assolutamente e quindi semplicemente.
g) Essendo an positiva per ipotesi e ricordando l’andamento della funzione logaritmica in
base e , si può dire che si tratta di serie a termini positivi. Essendo an infinitesima, risulta ln(1+an) ∼ an, ed essendo la serie ∑an convergente per ipotesi, la serie g) converge
per il criterio del confronto asintotico.
h) Poiché, almeno definitivamente, vale la ( * ) e ricordando l’andamento della funzione
logaritmica in base e , la serie in questione è a termini definitivamente negativi, quindi
essa o converge o diverge negativamente. Il suo termine generale non è infinitesimo
(tende a −∞ ) quindi la serie non può convergere, pertanto essa diverge negativamente.
( )
i) La serie in questione è a termini positivi; risulta li
li
che è minore di 1, quindi la serie converge per il criterio della radice.
j) Essendo an positiva, risulta [an] ≥ per ogni n, quindi si tratta di una serie a termini non
negativi. Ricordando la definizione di parte reale intera di un numero reale, si ha [an]≤an
per ogni n, quindi la serie j) converge per i il criterio del confronto.
Francesco Camia