Istituzioni di Probabilità a.a. 2011-2012
prova in itinere del 6-6-2012
M. Isopi
Esercizio 1.
Sia X1 , X2 , . . . una successione di variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione
uniforme su (−1,
e mk una successione non decrescente di interi positivi.
P1)
n
Poniamo Sn = k=1 Xkmk . Dimostrare che
Sn − E(Sn )
p
Var(Sn )
converge in distribuzione a una normale standard se e s solo se
∞
X
1
= +∞
m
k
k=1
Soluzione
Osserviamo che se supk mk = M < ∞. allora la successione {mk } è definitivamente costante e quindi le Xkmk sono definitivamente i.i.id. e ci si riduce
all’usuale teorema limite centrale.
Abbiamo
1
µk = E(X mk ) =
2
Z
(
+1
xmk dx =
0
−1
E(X 2mk ) =
1
2
1
mk +1
Z
se k è pari
se k è dispari
+1
x2mk dx =
1
2mk + 1
1
Var(X mk ) = E(X 2mk ) − E(X mk )2 ∼
2mk
Posto
caso:
s2n
=
n
X
−1
Var(X mk ), scriviamo la condizione di Lindeberg nel nostro
k=1
n Z
1 X
(X mk − µk )2 dP → 0
2
sn k=1 {|X mk −µk |>εsn }
Dato che |X mk − µk | ≤ 2 q.c., se sn diverge l’insieme su cui si integra risulta
vuoto per ogni ε a patto di prendere n abbastanza grande. Quindila serie ha
1
solo un numero finito di addendi non nulli e la condizione di Lindeberg risulta
verificata.
Al contrario, se sn ha un limite finito, possiamo prendere ε abbastanza
piccolo in modo che risultino non nulli i primi addendi della serie e quindi
violare la condizione di Lindeberg.
Esercizio 2.
Un mazzo con 26 carte rosse e 26 carte nere viene mescolato. Successivamente le carte vengono scoperte una alla volta. In ogni istante un giocatore
può dire “la prossima” e se la successiva carta scoperta è rossa il giocatore
vince, altrimenti perde. Se il giocatore non parla, vince o perde a seconda se
l’ultima carta del mazzo è rossa o nera. Sia Rn il numero di carte rosse che
rimangono nel mazzo, dopo n estrazioni.
a) Calcolare E(Rn+1 | R1 , . . . , Rn )
b) Trovare f (n) in modo che f (n)Rn risulti una martingala.
c) Sia N il numero di carte girate prima che l giocatore dica“la prossima”.
Mostrare che N è un tempo di arresto.
d) Calcolare P(vincita | RN ), E[f (N )RN ] e discutere l’esistenza di una strategia che massimizzi la probabilità di vincita.
Soluzione
a)
E(Rn+1 | R1 , . . . , Rn ) = Rn −
51 − n
Rn
=
Rn
52 − n
52 − n
b) Imponendo E(f (n + 1)Rn+1 | R1 , . . . , Rn ) = f (n)Rn , si trova
f (n) =
1
52 − n
c) La decisione se puntare o no sulla carta successiva può basarsi solo sul
passato. Pertanto gli eventi del tipo {N = k} appartengono alla
σ-algebra generata da R1 , . . . , Rk . Inoltre P(N < 52) = 1. Pertanto N
è un tempo di arresto limitato.
2
d)
E
RN
52 − N
=
R0
1
=
52
2
Sia poi X = I{vittoria} .
E(X) = E(E(X | RN )) = E
RN
52 − N
=
1
2
Indipendentemente dal criterio di arresto. Di conseguenza qualunque
strategia dà la stessa probabilità di vittoria.
Esercizio 3.
Siano p e q due probabilità su N con p 6= q e q(x) > 0 per ogni x ∈ N.
Sia poi X1 , X2 , . . . una successione di variabili i.i.d a valori in N con legge q.
Definiamo
n
Y
p(Xk )
Yn =
q(Xk )
k=1
a) Mostrare che Yn è una martingala positiva.
b) Mostrare che Yn tende quasi certamente a 0.
c) Yn converge in L1 ?
Soluzione
a) Poniamo Fn = σ(X1 , . . . Xn ). Dato che Xn+1 è indipendente da Fn ,
n
Y
p(Xk )
p(Xn+1 )
p(Xn+1 )
E(Yn+1 | Fn ) =
E
| Fn = Yn E
q(Xk )
q(Xn+1 )
q(Xn+1 )
k=1
X
X
p(Xn+1 )
p(x)
E
=
q(x) =
p(x) = 1
q(Xn+1 )
q(x)
x∈N
x∈N
b) Yn è una martingala positiva, quindi converge quasi certamente a una
variabile aleatoria Y∞ .
Calcoliamo
n
p Y
E
Yn =
E
s
k=1
3
p(Xk )
q(Xk )
s
!
=E
p(X1 )
q(X1 )
!n
Poi
s
E
p(X1 )
q(X1 )
!
s p(X1 )
< E
=1
q(X1 )
per la disuguaglianza di Jensen, che risulta stretta in quanto p 6= q.
Dalla disuguaglianza di Markov
s
!n
1
p(X
)
1
P (Yn > ε) ≤ ε− 2 E
q(X1 )
n
q
P
p(X1 )
Quindi n P (Yn > ε) < ∞, dato che E
< 1. Per il lemma
q(X1 )
di Borel-Cantelli Yn → 0 q.c.
c) E(|Yn |) = 1 per ogni n, ma E(|Y∞ |) = 0. Quindi Yn non converge in L1 .
4