Serie Numeriche Analisi Matematica I Natali Mattia Serie Numeriche ⎛⎜⎝∑ a ⎞⎟⎠
∞
n
n =0
 Serie Notevoli: ∞
1
 Serie Armonica generalizzata: ∑ α (α > 0). n =1 n


€
Converge con α > 1. Diverge con α ≤ 1. ∞
 Serie Geometrica: €q
∑
n
. n =0



q = ragione. (q ∈ R). Diverge con |q| ≥ 1. Converge € con |q| < 1. •

1
(N.B. La serie deve partire da n = 0!!) 1−q
La somma della serie (quando converge) è S =
Irregolare con q ≤ -­‐1. ∞
 Serie di Mengoli (Telescopica): 1
. ∑ n(n +1)
€
n =0

Converge. 
La somma della Serie si può trovare con il metodo già utilizzato con gli integrali (
€
termini “si mangiano a vicenda”, i rimanenti sono il risultato della somma. A
B
): i +
n n +1
 Condizione necessaria per la convergenza: lim an = 0 . n→∞
€
 Serie a termini non negativi:  Criterio del Confronto (si u€sa spesso con senx e cosx): ∞

Siano ∞
∑a
n
n =0
e ∑b
n
serie a termini non negativi tali che 0 ≤ an ≤ bn ∀n ∈ N. Allora n =0
∞

Se €
∞
n =0
n =0
€
∞
∞
•
∑a
n
è divergente, allora n =0
€

∞
∑ bn è convergente, allora ∑ an è convergente ( ∑ an è minorante di una convergente). n =0
∞
∑b
n
diverge (
n =0
∑b
n
è maggiorante di una divergente). n =0
€ asintotico: riconduci, €
Criterio del Confronto attraverso il metodo asintotico, la serie da calcolare ad una nota per trarre delle conclusioni sul suo comportamento. €

∞
∞
∞
€
1€
(Esempio: ∑ an ~ ∑ [serie armonica] ∑ an diverge). n =0
n =0 n
n =0
Criterio del Rapporto (si usa spesso con i fattoriali): ∞
an +1
= l :  Sia ∑
€
€ an con an > 0. Calcola nlim
€
→∞ a
n
n =0
1 €
€
Serie Numeriche •
•
•

Analisi Matematica I Natali Mattia Se 0 ≤ l < 1  la serie converge. Se l > 1  la serie diverge. Se l = 1  la serie è indeterminata. Criterio della Radice (si usa spesso con xn): ∞

Sia ∑a
n
con an > 0. Calcola lim n an : n→∞
n =0
•
•
•
€
Se 0 ≤ l < 1  la serie converge. Se l > 1 la serie diverge. € è indeterminata. Se l = 1  la serie  Serie di segno alternato: 
Teorema della convergenza assoluta  vedi sotto. Se la serie non è assolutamente convergente usa criterio di Liebniz.  Criterio di Liebniz: ∞

Sia ∑ (−1)
n
an , la serie converge se: n =0
€
•
•
an ≥ 0. •
an +1 ≤ an verifica così  f’(x) < 0 con x > x0. lim an = 0 . n→∞
∀n ≥ n 0 . €
 Serie di segno qualunque: €
€
 Teorema della convergenza assoluta: ∞

Una serie ∞
∑a
si dice assolutamente convergente se la serie n
n =0
Se la serie n
converge, allora anche la serie ∑a
n
converge (non vale il contrario). n =0
€
 Resto: €
 Serie a termini alternati: 
converge. ∞
∑a
n =0

n
n =0
∞

∑a
€
an +1 = Rn +1 . €
Per calcolare la serie con un certo errore bisogna calcolare la serie fino a n che si trova dalla seguente disequazione an +1 < errore (Esempio errore = 1/100). €
€
2