XIII
CAPITOLO
E SERIEDI FUNZIONI
SUCCESSIONI
1.
Convergenza
Sia { f"i
sot.toinsieme
puntuale
ed uniforme
di
una successione
I di R.
funzioni
definite
in
un
DEFINIZfONE 1 . Se per ogni xe I la successione numerica
che denot iamo con f (x ) s i
un .r"lot"
{ f" (x ) } converg e
"
i
alla
eonverge puntualmente
dice che la successione
{f-}
f.
funzione
nf-
E S E M P I O1 . P o s t . o f - ( x ) : d x c o n x e | 0 , 1 l
t
risulta
e xel0r1l
lim f.(x) :f (*) : I
n-)+6
t
e x : 0
puntuale di una succesTale esempio mostra che il limite
continue potrebbe non essere una funzione
sione di funzioni
che
Più in senerale si può verificare
continua.
(1)
rim (lim fn (x) ) * rim (rim f, (x) )
x-)Xe
\n-++-
/
n-++-
\x-+x6
|
dove *o è un punto di accumulazione per I. La (1) mette quindi
invert.ire
in evidenza il fatto
che non sempre è possibile
Perché ciò sia lecito
due successive operazioni di linite.
introdurre
un tipo di convergenza
è necessario
convergenza puntuale.
della ordinaria
piu
forte
DEFINIZIONE 2. Si dice che la successione
{ f"} converge
un indice v
ad f in I se per ogni- e>0 esiste
uniformemente
tale che per ogni n>v e per ogni xe r risulti
lr" (*)-f (*)l<€.
quet la
con
di
defini zione
tale
confronta
Se s i
convergenza puntuale si osserva che la novità sta nel fatto
v puÒ essere scelto in modo tale da risultare
che I'indice
dal punto xe I.
indipendente
immediatamente che la
2 discende
Dalla
Definizione
Successione {f-} converge uniformemente ad f Se e solo Se
risulta
(2)
(::rlr^(*)-f (")ll: o.
IIII,I.
I
n+@
In base a tale osservazione la successione {f"} riportata
funzione f
1 non converg,e unif ormemente alla
nell'Esempio
con la (2) , si ha
dat momento che, j-n contrasto
-f (x)l:1.
l
r
.
(
"
)
.3là1,,
E S E M P I O2 .
Sia
f-(x) :nox(1-x')",
con c[ numero reale positivo.
puntualmente
{ f" } converge
nulla . D' altra parte
Itld,.^,
xe[0,1]
È evidente che Ia successione
identicamente
funzione
alla
{ z n f;
€
6;i/
rn
xe [0,1]
quindi
Iim
n-ìÉ
f'):0<+
Lffi:,
O(
1
2
49L
Se it
uniformemente
converge
la
Successione
Pertanto
casi Ia convergenza
p a r a m e t r o C rè m i n o r e d i L / 2 ; n e g l i a l t r i
non è uniforme.
alla nozione di convergenza uniforme vale
In relazione
di convergenza
noto come Criterio
il
seguente risultato
uniforme di Cauchv:
P R O P O S I Z I O N E1 . C o n d i z i o n e n e c e s s a r i a e s u f f i c i e n t e
ché fa successione {f"} converga uniformemente in
un indice V tal-e che pér ogni
per ogni S>O esrsta
per ogni x€ I risul-ti
affinI è che
n' m>V e
l r " { * )- f * ( x ) l < e
(3)
Procedendo come nel caso del Crit.erio di Cauchy per le suc'7
si dimostra che l-a
cess.ioni numeriche (cfr .
, Cap. VII)
condizione è necessaria. Per quanto rig:uarda l-a suf f icienza
xeI, la Successione
che, fissato
osserviamo innanzit.utto
nrrmari r-a { f- (x) } è convergente sempre in base al Crit.erio
numeriche;
di conver genza di Cauchy per le successioni
'ooniamo
Ir
qrLrvr
À
vu
L
!__
lim f
n-+€
Fissando I'indice
nito si ottiene
n nella
:f
"(x)
(x).
(3) e facendo tendere m ad infi-
l r , '( * ) - f ( x ) | < e ;
vale per ogni n>V e per ogrni
la precedente diseguaqlianza
a l -I a c o n v e r g e n z a u n i f o r m e .
x e I i -I c h e e q u i v a l e
funzioni
sia la
di
la successione
Nel caso in cui
di
somme parziali
delle
successione
{ S -} d i u n a s e r i e
€
funzi-onr
'
S
!
)
f, si di ce che taie
serie
converge
uniformenente
k=1
a d f i n I s e l a s u c c e s s i o n e d e l - l e s o f l l m ep a r z : - a L : - { S " } c o n v e r g e
di
uni f ormemente ad f in I . Vale ovviamente un crit.erio
convergenza uniforme di Cauchy che nel caso delle serie si
preferisce
enunciare nella forma seguente:
É
P R O P O S I Z I O N EL .
a
T a
us
^ ^ - : ^
uu44e
funzioni
di
I
fn converge
unifor-
n:l-
memente se e sol-o se per ogni e>0 esl-ste un indice
v tal_e
che per ogni f l ) V , p e r o g n i k > 0 e p e r o g n i x € I r i s u l _ t i
l -
|
l f " * 1( x ) + f " * , ( x ) + . . . * f . , * o ( x )l < e .
DEFrNrzroNE 3.
Data una serie
fu sj- dice
i
che essa è
k:l-
totalmente
{M*} tale
convergente
se esiste
una successione numerica
che lfo tx) I < Moper ogni x€ r inoltre
Per riconoscere
formemente risulta
I
M o( * o o .
se una serie di funzioni converge uniutile
it sesuente crit.erío:
P R O P O S I Z f O N E3 . U n a s e r i e d i f u n z i o n i
totaLmente
gente è assol-utamente convergiente ed uniformemente
gente .
L'assoluta
Per quanto riguarda
convergenza è ovvia.
convergenza uniforme,
essendo la serie
numerica i
.
rvrva! Yrvcr rr uou nr Tt a
r''er i1
ClaSSiCo
yr
per l-e serie numeriche
esj-ste un indice v tale
crit.eriO
di
COnVergenza
_ + M
^ + . . . + nM
. < 9 .
n+z
+i<
Si ha pertant.o
t -
lf,*,(x) + f"*, (x)
f
s l f , * , ( x ) | + 1 f , . 2( x ) tt
I
Dalla
prop.
la
t" con-
n=1
di
Cauchy
(cfr.
I, Cap. VIfI),
fissato
t>0
che per ogni n)V e k>0 rj_sult.a
n+I
-< M
^ -n+1
converconver-
+ M
+
"n+2
2 segue a]lora
Ll
r
+
"
E
'
+
. * *( x ) |
(
lf"**1")| <
. . + Mn + K. < t .
493
2.
uniforme
Convergienza
e continuità
In tale paragrafo faremo vedere che, diversamente dalla
la conveîgenza uniforme conserva la
convergenza puntuale,
il seguente risultato:
Sussiste infatti
continuità.
una succes sione uniformemente
PROPOSIZIONE 4. Sia { f"}
in
f- sono continue
converg;ente ad f in I; se f e funzioni
f .
xo€I tal-e è anche J-a funzione
Si ha quindi
f (x^) : lim f (x) ì
{lxo
può
reLazione
tale
forma seguente
scriversi
più
espressivamente
nella
("))= ]ll (*::r"("))
(*ir"
l::
(4)
La (4) è it primo significativo
di limite
due operazioni
Dimostrazione
del-La proposizione
P c r o c r n ' i -t ) 0 ,
tale che
!
v Y r r J
v !
ricord.and.o Ia
l r " { * )- f ( x ) l < e
(s)
esempio di
inversione
tra
4
un ind.ice
Def . 2 , esiste
V n > v ,V x e r .
Fissat.o n)V, essendo la funzione f- continua
un E>O tale che, se lx-x^l<E e xe r r TLsulta
in
x^, esiste
It"{r) - f,,(xo)1.e.
(6)
Pertanto
sempre per lx-x"l<E e xe I dalle
( 5) e ( 6) s i h a
lrtxl - f (x.)ll
< l r t " l - f " ( x )I + l r " 1 x ; - f " ( * " ) l +l f . { x . ) - f ( x " )l < 3 e;
V
C.i e discende
dall' arbítrarietà
supponiamo
Più in generale
^ ^ h Ì r ^ rgnr Yngnr +r L J -
\-\Jrrv
.i
-i L n
rr
^vo
ry r\ ,rrrr nr t .- t -g
I' asserto .
che le funzioni
pef
aCCUmUlaZiOne
di
f
dirs i sul comport.amento di
seguente risultato:
in
x ^o ? V a l e
in
Ir.
f,, siano
COSa
propos ito
pUò
it
5. S:a if") uniformemente convergente in I-{x.}
PROPOSIZIONE
ad una funzione f; se ogni funzione fn Converge in xo, al-l-ora
anche f converqe in x^ e vaJ-e l-a ( 4 ) .
Posto
1,,: lim f, (x)
x-lxo
dalla
nella
(7)
ipotesi
di convergenza uniforme, passando al
(3) per x che tende ad Xo, si ha
l t " - t * <l e
Vn,m)V;
'l
crrrinrJi a successione {f-} è convergente: sia
per continuità
le funzioni
Prolunghiamo
iirit..
ponendo
v
s+rrs4
(x)
I
i1 suo
f,, in Xo
se x*x
{i
"
9 , ,( x ) :
limite
se x=x
Ò
Mostriamo che la successione
{ 9 " } c o n v e r g e uni fo rmement e
prolungando
la runz r_one r r_n
funzione che si ottiene
alla
funzione
X o p o n e n d o l a u g u a l e a d t c i o è alla
g (x) :
f (x)
se xtx
I
SE
{
Fissato e>0 basta osservare
si ha
(8)
che per
l q "( * ) - g . ( x ) , < t
X:
XO
rl, nì abbast anza grandi
VxeI
;
495
la (8) coincide con Ia (3) se x*x / con la
infatti
continua
x:Xo. Per Ia prop. 4 la funzione I risulta
si ha cioè
rim (riil f,, tx) ) :
n_+€
\x_ìxo
I
l i m I . : I : l i m t p( x ) : I i m
x-+xo
x-)xo
n-a€
(7) se
in xo,
(*:: r" (x))
cioè la (4) .
per le serie
riscrivj-amo
Per comodità del lett.ore
appena ottenuti.
gti' enunciati
dei risultati
funzioni
di
@
P R O P O S I Z I O N E6 .
una serie
f"(*)
Sia I
di
funzioni
conver-
n=l-
f,, sono continue
gente unif ormemente ad f . Se Le funzioni
f. Se più in generale Ie
in Xo tafe è anche fa funzione
fn convergono in Xo e J-a serie è uniformemente
funzioni
i n I - { x o\ a l l - o r a a n c h e f è C o n v e r g e n t e i n X o e
convergente
sr- ha
(e)
lim
X-àX6
E S E M P I O3 .
r"(*)
): à H*r,'rx)).
É
Si consideri
la
serie
ó
--1
2
x>0.
l-+n x
uni-f ormemente in
e quindi
Tale serie converg:e t otalmente
ogni intervallo
lar+""I con a>0 in quanto la serie risulta
con la serie numerica convergente
ivi maggiorabile
i-+
n=1 1*n'a
non converge uniformemente in l0r+""I in
La serie peraltro
i n b a s e a l l a p r o p . 6 , l a s o l l ì m ad e l l a s e r i e
quanto altrimenti,
la (9 ) .
in zeTo e dovrebbe valere
d.ovrebbe convergere