LAB 2:
iterativi + SVD
Metodi iterativi: forma generale
Costruiamo una successione tale che:
Matrice di iterazione
Osservazioni

Il raggio spettrale è il massimo autovalore in
modulo. Deve essere minore di 1 perché
l’errore si riduca (CNS per la convergenza)

Possiamo ottenere un metodo iterativo
esprimendo la matrice A come somma di:
Metodo di Jacobi
(D è facile da invertire)
Metodo di Jacobi: convergenza

CS: se A è a dominanza diagonale stretta per
righe Jacobi converge

Criterio d’arresto: residuo normalizzato<toll
ESERCIZIO 1
Data A calcolare B e il suo raggio spettrale
Risolvere il sistema con il metodo di Jacobi dato b:
ESERCIZIO 1: comandi
>>A=[…];
>>D=diag(diag(A));
>>EF=D-A; %la somma di E+F
oppure:
>>E=-tril(A,-1);
>>F=-triu(A,1);
>>EF=E+F;
>>B=inv(D)*EF
>>Rho=max(abs(eig(B))) %raggio spettrale
Metodo di Gauss-Seidel

D-E è triL quindi facile da invertire
Metodo di GS: convergenza
CS: se A è a dominanza diagonale stretta per
righe o simmetrica definita positiva GS
converge
 Le componenti di
non sono calcolate
tutte indipendentemente come in Jacobi

ESERCIZIO 2

Con A e b dell’esercizio 1, risolvere il sistema
con il metodo di Gauss-Seidel.

Se utilizziamo lo stesso vettore x0, cosa si può
dire della velocità di convergenza?
Confronto prestazioni
Se A è tridiagonale con elementi diagonali non
nulli vale la seguente relazione:
quindi GS e Jacobi convergono o divergono
entrambi.
Se convergono GS converge più rapidamente di
Jacobi. Verificarlo nell’esercizio 1.
Singolar value decomposition
E’ una fattorizzazione di matrici in generale
rettangolari. Applicazioni:
Calcolo della pseudoinversa
 Determinazione del rango
 Applicazioni pratiche come la compressione di
immagini

Singolar value decomposition
U, V sono ortogonali, S diagonale (elementi non
negativi)
Colonne di U: autovettori di AA’
Colonne di V: autovettori di A’A
Valori singolari: radice degli autovalori di A’A
Pseudoinversa
Solo se σ è
diverso da zero!
Altrimenti
metto uno 0
Se A è invertibile è uguale all’inversa “classica”
ESERCIZIO 3
Calcolare la SVD di A e B, e le pseudoinverse.
Verificare che pinv(B)=inv(B) (è =all’inversa
classica!)
Pseudoinversa (2)
Se A è a rango pieno ma rettangolare invece
Calcolare:
equivale a trovare la soluzione ai minimi quadrati
infatti
Pseudoinversa (3)
Se non è a rango pieno la soluzione non è unica;
con la pseudoinversa trovo quella di norma
minima.