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Alla ricerca della forma ideale
La sezione aurea
Progetto realizzato da
IIS “Maserati” - sezione associata “Baratta”
Classe 3BG
Docenti:
Prof. Donatella Cabrini
Prof. Antonella Dabusti
Prof. Maria Lagomarsini
Sommario
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Introduzione
La sezione aurea in matematica
– Definizione
– La sezione aurea nell’algebra
– Esempi di sezione aurea nella geometria
– Luca Pacioli
La sezione aurea nella natura
– La sezione aurea nella natura:ammoniti
– La sezione aurea nella natura:fillotassi
– La sezione aurea nella natura:numeri di Fibonacci
– La sezione aurea nella natura:pigne
– La sezione aurea nella natura:l’orecchio
La sezione aurea nell’arte
– Le Proporzioni armoniche...
– Il canone nel corpo umano
– Il modulor
– Sezione aurea nella pittura…
– La sezione aurea nell’architettura...
– … e il tempio di Atena a Paestum
– La costruzione di…
Introduzione
Nel corso dei secoli la parola “Proporzione” è stata sinonimo
di Sezione Aurea (termine che utilizzò Leonardo) come di
Divina proporzione (nome che gli attribuì Luca Pacioli).
Queste definizioni suggeriscono qualcosa di veramente bello
come già pensavano i “Pitagorici”, coloro che la utilizzarono
nel VI secolo circa.
Uno dei motivi della sua bellezza è certamente il fatto che la
sezione aurea interviene nella costruzione del pentagono
regolare e dunque del dodecaedro.
Il pentagono non costituisce la pianta di molti edifici a causa
della sua difficoltà nella costruzione.
Al contrario la ritroviamo in figure e proporzioni auree
già a partire dagli Egizi e dai Greci.
La più nota figura in proporzioni è la stella pitagorica, si
tratta di una stella a cinque punte che si ottiene
tracciando le diagonali di un pentagono regolare.
Il primo campo in cui la sezione aurea si è mostrata è la
Matematica.
Successivamente anche gli artisti hanno subito il fascino
di questi oggetti.
Anche in natura, sia fra gli animali che fra le piante, è
facile riscontrare la presenza della “sezione aurea”.
I greci pensavano che il rapporto aureo rappresentasse la
proporzione "ideale" tra parti del corpo come il viso e il
torso, o tra gli arti e il corpo intero. La sezione aurea fu
perciò usata come guida per riprodurre accuratamente il
corpo umano nella pittura e nella scultura.
Vista la sua diffusione in natura, veniva considerato
esteticamente piacevole e di buon auspicio, perciò veniva
usato anche per le creazioni umane.
Diversi dipinti sono stati composti secondo la sezione aurea;
edifici, giardini e monumenti sono stati progettati con rettangoli
aurei (per esempio il Partenone di Atene e la Grande Piramide a
Giza).
Moltissimi artisti rinascimentali, tra i quali Leonardo da Vinci,
Piero della Francesca e Leon Battista Alberti (autore del trattato
“De Architectura”), si dedicarono allo studio e alla teorizzazione
delle proporzioni applicandole nelle loro composizioni,
proseguendo una tradizione già intrapresa da Vitruvio.
La sezione aurea continua ad essere utilizzata, architetti come Le
Corbusier o in Italia Terragni l'anno usata nella progettazione di
alcuni edifici razionalisti. Altre applicazioni si trovano nel design,
e studi recenti mostrano che continua ancora a giocare un ruolo
importante nella nostra percezione della bellezza.
La sezione aurea in
matematica
Definizione
Dato un segmento AB si dice sua sezione aurea il
segmento AC,
Con C compreso fra A e B, medio proporzionale fra il
segmento
AB e il segmento CB.
AB : AC = AC : BC
La sezione aurea di un segmento AB si costruisce con il
seguente
procedimento:
• Dall’estremo B del segmento AB si traccia la
perpendicolare ad
AB; su questa perpendicolare si prende il punto O
tale che OB
sia congruente a metà di AB;
• Si traccia la circonferenza con centro in O e raggio
OB;
• Detti E ed F i punti in cui la retta O interseca la
circonferenza
(E compreso fra A e O), si ha che il segmento AE è
congruente
alla sezione aurea richiesta; questa si ottiene, quindi,
trasportando
col compasso AE sul segmento AB.
Fai clic sull’immagine per visualizzare la costruzione
La sezione aurea nell’algebra
Nella figura precedente consideriamo il segmento
AB unitario e scriviamo la proporzione:
1 : x = x : (1-x)
Applichiamo ora le proprietà delle proporzioni
otteniamo x2 = 1.(1-x) .
Risolviamo ora l’equazione precedente:
x
2
= 1− x
x
2
+ x −1 = 0
−1 ±
x =
2
x2
1 − 4 ⋅ (− 1 )
−1−
x1 =
2
5
−1+
=
2
5
Teniamo conto del valore positivo perché stiamo
cercando la dimensione di un segmento.
Dai calcoli troviamo che ….
x = 0,618….
Dato che Φ= 1/x otteniamo il valore
approssimato
Φ = 1,618….
Esempi di sezione aurea nella
geometria
La configurazione di pentagoni si presta a scoperte
meravigliose dove è possibile incontrare il numero
d’oro a ogni passo.
Nella figura seguente possiamo notare che l’interno di
un pentagono stellato rappresenta,ridotto il pentagono
convesso; i lati prolungati ricostituiscono un
ingrandimento del poligono
stellato.
Nel pentagono rappresentato sotto individuiamo i punti
E,J e B, e notiamo che J divide il segmento EB in modo
che il rapporto tra il segmento stesso e il segmento EJ ci
dia il numero che viene chiamato numero d’oro o più
semplicemente Φ(fi).
Luca Pacioli
(1445-1514).
Pubblicò nel 1494 la “Somma de
aritmetica, geometria, proportioni et proportionalità”
compilazioni di materiali appartenenti all’aritmetica,
algebra, geometria euclidea e registrazione a partita
doppia.
Pacioli pubblicò altri due libri sulla geometria.Uno di
questi “De Divina Proportione”parla di poligoni e solidi
regolari, include molti disegni di alta qualità che
vengono distribuiti a Leonardo.
Nel “De Divina Proportione”viene studiato il rapporto
che in epoca successiva sarà denominato “Sezione
Aurea”.
Alle spalle di Luca Pacioli
si trova un dodecaedro
pentagonale e il pollice e
l’indice della mano sinistra
formano un rettangolo
aureo il rapporto delle cui
dimensioni forma il
numero d’oro.
Quindi nel ritratto viene
rappresentato in molteplici
modi il numero aureo.
DODECAEDRO1_P2.cg3
Leonardo Pisano (1180-1250) detto Fibonacci perché
figlio di un mercante italiano.
Nel 1202 Fibonacci pubblica un libro in cui descrive
il sistema di numerazione con cifre indo-arabiche
cioè l’utilizzo delle nove cifre e dello zero (da
zephirum) al posto della più scomoda numerazione
romana: stiamo parlando del “Liber abaci”
Esso ha però un titolo inesatto: “Liber abaci” in
realtà non
parla dell’abaco, ma parla di metodi e problemi
algebrici.
Nel Liber abaci fra i vari problemi proposti c’è un problema
famoso che era stato suggerito da un altro problema contenuto
nel papiro di Ahmes:
Sette vecchie donne andavano a Roma; ciascuna donna aveva
sette muli; ciascun mulo portava setti sacchi, ciascun sacco
conteneva sette forme di pane; e con ciascuna forma di pane
v’erano sette coltelli; ciascun coltello era infilato in sette
guaine.
Il problema del Liber abaci che ispirò i futuri matematici
era il seguente:
Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a
partire da un’ unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia
dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a
partire dal secondo mese?
Questo problema origina la “Serie di Fibonacci”:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …., un ,…., dove, un = un –1 + un –2
dove ciascun termine dopo i primi due è la somma dei
due termini precedenti.
Tale serie ha molte proprietà significative: fra queste
ricordiamo
se n diventa molto grande il rapporto fra due termini
successivi è il numero aureo.
La sezione aurea nella natura
La sezione aurea
in natura
Che cosa hanno in comune
una galassia,
l'accrescimento di alcune conchiglie
la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo
la disposizione dei semi di girasole?
L'elemento comune è rappresentato dalla spirale
logaritmica detta anche "spirale aurea", attraverso la
quale lo sviluppo armonico della forma è legato alla
necessità di accrescere "secondo natura“e in maniera
ottimale e meno dispendiosa possibile.
In un breve viaggio nella natura tenteremo
di scoprire dove l’armonia matematica della
spirale aurea è stata utilizzata.
Iniziamo il nostro percorso partendo dalla nostra
galassia.
La Via Lattea é una galassia a spirale che si trova
insieme ad altre 20 nell’ammasso locale. Contiene
centinaia di miliardi di stelle, polveri e gas. Ha un
diametro di 100000anni luce. Tutte le stelle dei bracci
ruotano intorno al centro della galassia e anche il
sole,che si trova nel braccio inferiore, compie questo
movimento in 225 milioni di anni.
Circa 4500 milioni di anni fa si è formata la terra che,insieme
a 9 pianeti, formano il sistema solare .
Sulla terra , grazie alla presenza dell’atmosfera, si possono
formare gli uragani.
Il fenomeno interessa esclusivamente i mari caldi e solo in
alcuni periodi dell'anno,quando la temperatura del mare
supera i 27 gradi Celsius su una profondità di 80 metri e l'aria
dell'alta atmosfera è fredda .L'aria calda, più leggera, si alza e
aspira in alto l'umidità del mare formando delle nuvole.
Quando il ciclone è in pieno sviluppo i venti descrivono
spirali quasi perfette, antiorarie nell’emisfero boreale e
orarie in quelle australi.
La vita sulla terra comparve circa tre miliardi di anni fa
con organismi procarioti (batteri ed alghe azzurre).
Successivamente (300 milioni di anni fa ) comparvero
i primi protozoi ,come i foraminiferi con guscio calcareo
o siliceo, responsabili della formazione della sabbia a
foraminiferi.
In questi organismi per la prima volta appare la spirale
Aurea formata dalla deposizione dei Sali di calcio.
Nel Giurassico ( 204-130 milioni di anni fa)
comparvero le ammoniti, molluschi provvisti di
conchiglia concamerata a spirale, che con la loro rapida
diffusione ed altrettanto rapida estinzione nel cretaceo
vengono utilizzati come fossili guida per la datazione
delle rocce.
La sezione aurea nella natura:ammoniti
La sezione aurea nella natura: molluschi
Sempre nel girurassico comparvero molluschi più
complessi come il nautilo,cefalopode tetrabranchiato
marino, dotato di una conchiglia esterna avvolta a
spirale con cavità interna concamerata.
La vita conquistò le terre emerse grazie agli esseri
autotrofi che modificarono la composizione
dell’atmosfera rendendola ricca di ossigeno.
Così animali e piante occuparono tutti gli ambienti
adattandosi alle varie esigenze e utilizzando ancora
la spirale e la serie dei numeri di Fibonacci.
La sezione aurea nella natura:fillotassi
Nel regno vegetale venne sfruttata la
disposizione a spirale delle foglie su
di uno stelo in modo che la luce
potesse arrivare a tutte le foglie in
uguale quantità.
FILLOTASSI
I pistilli sulle corolle dei fiori spesso sono messi
secondo uno schema preciso formato da spirali il cui
numero corrisponde ad una delle serie di Fibonacci.
I pistilli sono disposti secondo questi schemi in modo
da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla e non
troppo ammassati al centro.
La sezione aurea nella natura:numeri di Fibonacci
Sulla testa di un tipico girasole, per
esempio, il numero delle spirali rientra
molto spesso in questo schema: 89 spirali
che si irradiano ripide in senso orario; 55
che si muovono in senso antiorario e 34
che si muovono in senso orario ma meno
ripido. Il più grande girasole che si sia
mai conosciuto aveva 144, 89 e 55 spirali.
La sezione aurea nella natura:pigne
. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di
spirali dal ramo verso l'esterno - una in senso orario e
l'altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000
pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98 per
cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle
spirali che si diramavano in ogni direzione. Inoltre, i
due numeri erano adiacenti, o alternati, nella sequenza
di Fibonacci - per esempio 8 spirali in un senso e 13
nell'altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell'altro.
Le scaglie degli ananas
presentano un'aderenza
ancora più costante ai
fenomeni di Fibonacci:
non una sola eccezione fu
trovata in un test compiuto
su 2000 ananas.
All’apice della complessità evolutiva vi è l’uomo,
ma ancora una volta l’armonia della sezione aurea si
può scoprire nel complesso apparato uditivo dove
nell’orecchio interno vi è la cloclea o chiocciola
che racchiude il delicato organo del Corti
responsabile della trasduzione dei suoni trasformandoli da
Onde sonore ad impulsi nervosi che arrivano alla
corteccia cerebrale uditiva.
La sezione aurea nella natura:l’orecchio
In questo breve viaggio abbiamo visto come
la natura ha saputo sfruttare le rigide leggi
matematiche e geometriche per raggiungere un
equilibrio e una armonia che noi dobbiamo
rispettare e conservare.
La sezione aurea
nell’arte
Le Proporzioni armoniche...
Dall’analisi delle opere dei diversi periodi storici risulta
evidente la ricerca della proporzione.
Il termine Proporzione è usato generalmente per stabilire un
criterio o un metodo per rapportare le parti di un insieme
secondo determinati schemi geometrici o aritmetici, o in base
a un modulo riferito alla figura umana, a un dipinto, a una
statua od ancora un edificio architettonico.
Il concetto di proporzione esprime il rapporto armonico delle
singole parti di una figura con il tutto, per conseguire un ideale
di bellezza.
Di conseguenza l’analisi geometrica delle opere coincide
spesso con la ricerca dei rapporti armonici.
Nell’arte egizia, la figura umana era rappresentata basandosi
su un reticolo geometrico che assicurava la conservazione di
un preciso rapporto tra le diverse parti del corpo
gli egiziani conoscevano, oltre al canone per dimensionare le
figure, anche sistemi geometrici di proporzionamento basati
sui rettangoli armonici e la sezione aurea
Il tracciato geometrico costruito su un bassorilievo di epoca tolemaica
La seziona aurea è presente nei rapporti proporzionali sottesi
alle forme di numerosi manufatti di vasai greci.
In un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametro maggiore
sta al diametro del collo come 1:0,618; il listello all'altezza dei
manici divide l'altezza totale in una proporzione aurea, che si
riduce anche nel rapporto tra la fascia decorata a figure e la
parte superiore del vaso.
Clicca sull’immagine per vedere la ricostruzione
geometrica delle proporzioni auree di un vaso greco
Ricostruzione geometrica delle proporzioni auree di un vaso greco
IL CANONE NEL CORPO UMANO
L’arte classica ha presupposto che in ogni opera esista un canone,
vale a dire una forma a cui l’ artista è vincolato.
Il canone è una legge formale: un sistema di relazioni proporzionali
tra l’ insieme dell’ opera e le sue singole parti, e tra l’opera e lo
spazio.
Nelle opere d’arte dell’ epoca ateniese, l’arte greca esprimeva
fermamente questi ideali.
All’epoca si ricercava una misura che esprimesse la relazione fra gli
elementi divino,naturale e sociale.
L’uomo, viene rappresentato attraverso la combinazioni di forme
geometriche ideali.
La definizione dell’ ideale della figura umana si deve allo scultore
greco Policleto il Vecchio.
Policleto, indicò come ideale supremo da perseguire la simmetria
anatomica della figura umana, maschile e femminile, equilibrata
nelle sue parti.
Egli scrisse un canone in cui dava
le misure perfette e assolute della
figura umana:
questa era concepita salda,
atletica, armoniosa, con la testa
piccola e la fronte larga, nella
ricerca geometrica strutturale per
la resa delle parti del corpo,
vincolate tra loro da un rapporto
dimensionale e di simmetria: la
metà del corpo deve essere
nell’attacco delle gambe, il piede è
un settimo della lunghezza del
corpo, la testa un’ ottavo, e la
faccia un decimo. Il risultato, dice
in un frammento rimasto di quest’
opera letteraria di Policleto,
dipende
da
una
piccolezza
decisiva in mezzo ai rapporti di
proporzione.
Le proporzioni del corpo umano secondo Vitruvio
Nel Libro Terzo del trattato De architectura Vitruvio descrive le
misure ideali del volto e del corpo umano. “Il centro naturale del
corpo umano è l’ombelico; infatti, se una persona si distendesse a
terra supina a braccia e gambe divaricate, puntando il compasso
sull’ombelico e tracciando una circonferenza, questa toccherebbe
entrambe le estremità dei piedi e delle mani. Nondimeno, com’è
possibile inscrivere il corpo in una circonferenza così se ne può
ricavare un quadrato; misurando la distanza dai piedi alla sommità
del capo e riportandola a quella che intercorre tra un estremo e
l’altro delle braccia aperte si costaterà che le misure in altezza e
larghezza coincidono come nel quadrato tracciato a squadra.”
(cit. da Marco Vitruvio Pollione, De Architectura Libri X, trad. di L. Migotto, Studio
Tesi, Pordenone 1990, pag. 127).
Leonardo nel “L’Uomo”, studia le proporzioni della sezione aurea secondo
i dettami del De architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del
numero aureo.
Famosa è la sua rappresentazione di Leonardo dell'uomo di Vitruvio in cui
una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato,
l'altezza dell'uomo (AB) è pari alla distanza (BC) tra le estremità delle mani
con le braccia distese . La retta x-y passante per l'ombelico divide i lati AB
e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. Lo stesso ombelico è anche il
centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe
aperte.
La posizione corrispondente all'ombelico è infatti ritenuta il baricentro del
corpo umano.
Meno famosa, ma non meno esplicita, è la figura dell'uomo di Rutilio
il Vecchio, nel quale la figura umana è inscritta in una stella a cinque
punte.
Una famosa rappresentazione della figura umana in
proporzioni auree è anche la di Venere di Botticelli nella
quale si possono individuare diversi rapporti aurei (1:1,618) .
Oltre all’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza
complessiva, è aureo anche il rapporto tra la distanza del
collo del femore al ginocchio e la lunghezza dell’intera
gamba o il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e
la lunghezza dell'intero braccio.
Luca Pacioli nel De Divina Proportione presenta l’idea,
risalente al mondo classico, di applicare la matematica all’arte,
formulando canoni estetici in termini di rapporti numerici, tra
cui, in primo luogo, la sezione aurea.
Questa proporzione, cui si riferisce il titolo, era già presente
nella filosofia di Pitagora e venne ripresa da Vitruvio.
Essa compare anche in molti poligoni regolari e poliedri
regolari ed archimedei.
Ecco alcuni esempi:
•I poliedri disegnati da Leonardo da Vinci
•Le proporzioni del viso
•Le proporzioni dei caratteri tipografici
Alcuni poliedri di Leonardo...
Un immagine di “de divina proportione” di Luca Pacioli
(Venezia 1509)
La lettera A da “de divina proportione” di Luca Pacioli (Venezia 1509)
Il modulor
Sin dall’antichità artisti e architetti hanno studiato dei moduli, ossia degli schemi
misurati sull’uomo, a cui poi si attenevano nel realizzare le loro opere.
Il modulor è il più moderno di questi schemi:
si chiama MODULOR, (module = unità di misura, section d’or = sezione aurea)
ossia modulo d’oro o modulo ideale, ed è stato concepito dall’architetto svizzero
Le Corbusier(1887-1965) intorno al 1940.
Le Courbusier ha usato il rapporto aureo per determinare un insieme di
dimensioni armoniche “a misura d’uomo”;
considera punti decisivi di riferimento:le altezze del peso, la testa e il braccio
alzato generano tre intervalli dimensionali progressivi, dai quali si possono
costruire rettangoli aurei.
Elaborato per creare architetture composte di spazi misurati sulle reali
dimensioni dell’uomo, ossia sulle reali esigenze, è servito per costruire vari
edifici.
Clicca sull’immagine per ingrandirla
Il modulor
• Mostra un uomo con un braccio alzato
• Punti decisivi di riferimento:
–
–
–
–
Pianta del piede
Plesso solare
Sommità del capo
Estremità delle dita della mano protesa verso l’alto
• Tali punti originano 3 intervalli decrescenti in reciproco
rapporto aureo
Il modulor: cos’è
• Deriva da module e section d’or
– Unità di misura
– Sezione aurea
• E’ una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti
antropometrici e principi matematici
• E’ un reticolo di proporzione, un sistema di dimensioni
armoniche riferite alla scala umana, universalmente
applicabile all’architettura e alla meccanica
Il modulor: come è
fatto
• Serie rossa
(altezza ideale dell’uomo)
1,829 m
• Serie blu
(uomo con braccio alzato)
2,260 m
Il modulor: a cosa serve
• Creare ambienti essenziali e conformi alle dimensioni
dell’uomo
• Riportare l’uomo e le sue dimensioni al centro
dell’architettura, solo da un punto di vista funzionale
• Misure finalizzate alla progettazione di spazi residenziali e
oggetti d’uso comune
Sezione aurea nella pittura…
Molte opere di artisti, da Leonardo da Vinci a Piero della
Francesca, da Sandro Botticelli a Salvador Dalì, sono
strutturati secondo una griglia di rettangoli aurei.
La sezione aurea affascinò altri pittori, come Botticelli
(1445-1510) e la rappresentò ne La Venere. Infatti
misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza
complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il
rapporto tra la distanza tra il collo del femore e il ginocchio
e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il
gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio.
Clicca sull’immagine per ingrandire
Nell'Annunciazione, di Piero della Francesca, la figura e la postura
dell'angelo sono in proporzione aurea rispetto alla sua distanza dalla
Vergine
Leonardo, utilizzò la sezione aurea nei suoi dipinti dopo il
soggiorno Milano, presso la corte sforzesca di Ludovico il
Moro, dove ebbe modo di conoscere il matematico Luca
Pacioli, al quale egli fu legato anche da profonda amicizia e da
reciproca collaborazione.
Infatti nella stesura del trattato "del Divina Proportione ", che il
Pacioli compose attorno al 1498, Leonardo collaborò con la
realizzazione di ben sessanta disegni esplicativi.
Analizziamo, qui di seguito,le opere in cui Leonardo utilizzò la "
divina proporzione"…
Nella Gioconda possiamo individuare la figura di un rettangolo
aureo:
-nella disposizione del quadro;
-nelle dimensioni del viso;
-nell’area che va dal collo a sopra le mani;
in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.
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Il volto della Gioconda
è racchiuso in un
rettangolo d'oro.
La figura può essere
racchiusa in un triangolo
aureo nel quale il braccio
destro segue la direzione
della bisettrice dell'angolo
di base, che, a sua volta,
divide il lato opposto in un
rapporto aureo.
Nell’Ultima cena, Gesù, il solo personaggio veramente divino, è
dipinto con le proporzioni divine, essendo racchiuso in un
rettangolo aureo.
Nella Donna scapigliata la testa
è racchiusa in un rettangolo
aureo ed il volto è in proporzione
aurea rispetto ai fascia dei
capelli.
Anche l'inclinazione del capo non
è casuale ma segue la diagonale
del quadrato
Nella "Belle Ferronnière" la particolare inclinazione del busto
ed il taglio del cornicione alla base fanno sì che, oltre al capo,
anche la figura della dama rientri in un rettangolo aureo.
Georges Seurat ha sempre avuto presente la sezione aurea
nella definizione della struttura dei suoi quadri. E' facile
individuare i molti rettangoli aurei di questa sua opera.
Clicca sull’immagine per
ingrandire
La Parade, 1888.
Salvador Dalì rappresenta il quadro “Il sacramento
dell'Ultima Cena” con le dimensioni di un rettangolo aureo e
altri rettangoli aurei compaiono nella disposizione delle
figure. La tavola inoltre, è sovrastata da un grande
dodecaedro le cui facce pentagonali ci riportano alla sezione
aurea.
Clicca sull’immagine per ingrandire
Il sacramento dell'Ultima Cena, 1955
Un altro interessante esempio di composizione basata sui rapporti
aurei può essere tratto dall’opera di Piet Mondrian.
L’artista si è concentrato sulla ricerca di struttura geometriche
armoniche, che queste sono diventate l’essenza stessa delle sue
opere. .
Piet Mondrian, New York city I, 1942. Sezione aurea e
oltre.
Anche Albers nelle sue composizioni in campo quadrato ha individuato
rapporti proporzionali armoniosi e vitali giocando sulle mediane del
campo quadrato.
La sezione aurea
nell’architettura...
Anche nell'architettura la sezione aurea è stata applicata sin dai
tempi più antichi.
La civiltà greca classica tentò di unire tutte le arti e le scienze a
secondo rapporti armonici inerenti all’universo.
Gli architetti e gli artisti greci apprezzavano il rettangolo aureo per
le sue proporzioni perfette che riproducevano geometricamente
un’infinità di volte.
Il rettangolo era usato per disegnare la pianta del pavimento e della
facciata dei templi: Il rapporto tra lunghezza e larghezza nei templi
greci era di preferenza 1:0,618 e il timpano era costruito come un
triangolo isoscele avente un angolo al vertice di 108°.
La sezione aurea si riscontra anche nell’architettura romana e in
quella gotica; anche nel rinascimento ritroviamo proporzioni auree
nell’altezza.
Esempi di questo genere non sono per altro limitati all’Europa; ma
compaiono soluzioni uguali anche nell’architettura del medio
oriente.
troviamo proporzioni auree nella struttura del Partenone
Il Partenone è un antico tempio greco costruito sulla cima di un
colle che domina la città di Atene, dedicato alla dea Atena,
protettrice della città, e fu costruito attorno al 440/430 a.C.
L’edificio ancora conserva, nonostante le distruzioni e le
spoliazioni, un miracoloso accordo di misure geometriche esatte.
Esso contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree
si riscontrano nelle statue in esso presenti.
La pianta del Partenone è un rettangolo con lati aventi rapporto
1:p5, ossia la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza.
La facciata è chiusa in un rettangolo aureo, tale cioè che il
lato più lungo diviso per quello più corto è uguale al numero
d'oro e nella sua struttura sono diverse le sezioni auree che
si possono osservare
Clicca sull’immagine per vedere l’applicazione del rapporto aureo nella struttura della facciata del Partenone.
applicazione del rapporto aureo nella struttura della facciata del Partenone.
La facciata del Partenone
risulta
inscritta
in
un
rettangolo aureo: l’altezza è
sezione aurea della base
La proiezione ortogonale
della facciata mostra come
essa sia stata costruita su un
rettangolo aureo
applicazione del rapporto aureo nella struttura della
facciata del Partenone.
La pianta del Partenone mostra che il tempio fu costruito su
un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia
pari alla radice di 5 volte la larghezza
Nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più
volte.
Altro esempio significativo sono le Korai dell’ Eritteo...
... il Tempio di Atena a Paestum
Le misure degli elementi della trabeazione, per esempio, furono
determinate dall'armonica proporzione (che si basava appunto sulla
sezione aurea e che fu una delle tre principali proporzioni scoperte
dalla scuola pitagorea, insieme alla proporzione aritmetica e a
quella geometrica), che può essere graficamente ottenuta partendo
dal quadrato ABCD.
... L’arco di Costantino a Roma...
Nell'arco di trionfo di Costantino, il più importante degli archi
trionfali romani, costruito nel 313 d.C per celebrare la vittoria
dell'imperatore Costantino su Massenzio l'altezza dell'arco
divide l'altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due
archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza tra la
base e il listello inferiore
... Castel del Monte...
Noto per la sua inconfondibile forma ottagonale,Castel del Monte
costituisce una delle principali mete turistiche della Puglia. ll disegno del
portale di Castel del Monte, esempio di architettura gotica in Puglia,
scaturisce dal pentagono stellato e dalla sua scomposizione secondo il
numero d'oro, 1.618, le sue potenze e le sue radici.
... Notre Dame di Parigi...
... il palazzo di vetro dell'ONU a New York...
La costruzione di...
….un rettangolo aureo e della sezione aurea di un segmento
Dato il segmento AB , costruire il suo punto medio M e,
successivamente, il triangolo rettangolo di cateti AB e BO = MB .
Costruire il punto medio E dell'ipotenusa AO e disegnare sul
segmento AB il segmento AC = AE .
AC è la parte aurea di AB , come si può dimostrare facilmente.
ABCD è un rettangolo aureo, poiché AD = AC per costruzione.
…...costruzione di un segmento data la sua sezione aurea
Dato il segmento AB, costruire il quadrato ABCD.
Dopo aver disegnato il punto medio M del segmento BC, tracciare il
segmento MD. Riportare MD sulla semiretta BC, ottenendo ME = MD. Il
segmento BE ha come sezione aurea AB.
Il rettangolo ABEF è aureo.