diverses dimensions de En, que nous nommerons Z-variétés et qui jouissent des
propriétés suivantes: toute Z-variété de E est, au point de vue intrinsèque, un
i?-espace dont les /-variétés sont les l-variétés de E qui y sont contenues; l'intersection de deux /-variétés est une /-variété; l'espace des Z-variétés d'espèce donnée de E contenant une Z-variété donnée est un i?-espace; l'ensemble vide est
une /-variété. De plus, si nous associons au it!-espace E = C[27'] (v. plus haut) le
schéma obtenu en marquant d'un signe distinctif les sommets de la figure de
Schläfli du système 27 qui appartiennent à 27', des règles simples permettent de
déduire immédiatement de ce schéma quelles sont les diverses espèces de /-variétés de E et leurs relations d'inclusion, la structure intrinsèque des Z-variétés,
la structure des /-variétés d'espèce donnée contenant une /-variété donnée, . . .
Toute i?-espace E = G [27'] peut être plongé d'une infinité de manières
dans un espace projectif de telle façon que les éléments de G considérés comme
des transformations de E s'étendent en des projectivités; un tel plongement est
déterminé, à un isomorphisme près, par un système d'entiers positifs associés
aux racines de27'. Tout plongement cp de E dans un espace projectif P détermine
par restriction, des plongements des /-variétés de E dans des v.l. de P ; les
systèmes d'entiers caractéristiques de ces plongements se déduisent aisément du
système d'entiers caractéristiques de cp.
21 AV. VICTOR EMMANUEL
III,
UCCLE, BELGIQUE.
PROBLEMI INTEGRALI SULLE TRASFORMAZIONI PUNTUALI
MARIO VILLA
1. Sono state svolte recentemente ricerche riguardanti la determinazione
di trasformazioni puntuali tra spazi lineari che, nell'intorno del 2° ordine di una
coppia generica di punti corrispondenti, si comportano in modo particolare.
Sorgono ora ricerche analoghe di caratterizzazione di trasformazioni
puntuali che si comportano in modo particolare nell'intorno del 3° ordine di
una coppia generica di punti corrispondenti. E ciò offre notevole interesse per
le trasformazioni puntuali fra due piani in quanto per queste si hanno invarianti (proiettivi) solo a partire appunto dall'intorno del 3° ordine.
Nelle ricerche svolte col possente metodo del riferimento mobile intervengono in modo essenziale le omografie tangenti, e con esse le corrispondenze
linearizzanti di CECH, collegate a loro volta a certe due forme differenziali
quadratiche Qx, Q2.
496
Da tempo, nelle ricerche locali sulle trasformazioni puntuali,- io ho studiato
le trasformazioni quadratiche osculatrici, che svolgono nell'intorno del 2°
ordine un ufficio analogo a quello delle omografie tangenti per l'intorno del
1° ordine. Mi parve quindi assai probabile che nelle nuove ricerche integrali,
relative all'intorno del 3° ordine, col metodo del riferimento mobile dovessero
pure svolgere un'azione importante tali trasformazioni quadratiche.
Ciò si verifica appieno come viene provato dalla presente comunicazione.
Apparirà come le omografìe tangenti, la corrispondenza linearizzante di CECH,
le forme Qx, Q2 trovano perfetto riscontro nelle trasformazioni quadratiche
osculatrici, in una nuova corrispondenza (analoga a quella di CECH) relativa
a quest'ultime, in certe forme differenziah cubiche &v ©2. E i nuovi enti si
presentano, nel metodo del riferimento mobile, in modo analogo e con la stessa
spontaneità dei primi.
UNIVERSITà,
BOLOGNA, ITALIE.
497