Equazioni del 2. ordine
omogenee a coeff. costanti
Hanno la forma
• Ricordiamo che la soluzione dell’equazione
e’
• Pertanto cerchiamo le soluzioni sempre sotto
forma di esponenziali.
y  ay  by  0
Try y  Ce
y  Ce
x
x
y   Ce
2
x
 (  a  b) Ce  0
2
   a  b  0
2
x
Bisogna risolvere
l’equazione
  a  b  0
2
A seconda del segno del discriminante
abbiamo:
• 2 radici reali,
• 2 radici complesse coniugate
• una radice reale doppia
1. Caso – Radici reali distinte
(∆>0)
• La soluzione e’
y  c1e
1 x
 c2e
2 x
2. Caso– Radici complesse coniugate
(∆<0)
• La soluzione e’
1  a  i
2  a  i 
y  e ( A cos x  B sin x)
ax
3. Caso – Radice reale doppia
(∆=0)
• La soluzione e’
y  c1  c2 x e
x
Sistemi di equazioni
differenziali
• Molti problemi sono governati non da una
sola equazione differenziale ma da un
sistema di equazioni differenziali.
• Ad esempio questo succede se si vuole
descrivere un sistema ecologico di due
popolazioni.
Esempio
in forma matriciale
e’ un sistema lineare omogeneo a
coefficienti costanti
Strategia di soluzione
• Come nel caso di una singola equazione
supponiamo la soluzione sia del tipo
esponenziale
y   Ay
Solve
y  ce
t
y    ce
2
t
  ce  Ace
2
t
  A
2
t
Risolvo y’=Ay
y=xet
y’=x et
x et =A xet
x vettore
• Ora non si puo’ dividere per x,
perche’ x e’ un vettore
dividiamo per ex
Questo e’ il problema degli autovalori
Quindi, la soluzione del sistema e’ stata
ridotta a trovare autovalori e autovettori
di una matrice. Abbiamo l’equazione
caratteristica
Ax  x
 ( A   )x  0
 det( A  I)  0
Esempio:
In questo caso autovalori ed autovettori
1 
sono:
1  1, x1   
 2
2
2  6, x 2   
 1
Ogni coppia autovalore/autovettore
produce una soluzione:
La soluzione generale e’ una
combinazione lineare delle soluzioni
Autovalori reali distinti:
Autovettori:
La soluzione generale e’:
Autovalori complessi
Autovettori:
Le soluzioni sono allora
combinazione lineare di
Autovalori doppi:
• Se ho 2 autovettori indipendenti:
• altrimenti e’ complicato
Visualizziamo le soluzioni dei
sistemi di eq. differenziali
• Visualizziamo le soluzioni nel
Piano delle fasi
• Il piano delle fasi e’ il disegno di
(y1,(t), y2 (t)) (come curve soluzione)
Le curve soluzione sono le traiettorie del
campo (y1,’, y2 ‘)
Esempio: disegnamo il campo per il sistema
Scriviamo alcuni vettori del campo
Se facciamo questo per un gran numero di
vettori otteniamo il seguente disegno
le traiettorie sono
Si possono ovviamente disegnare le traiettorie
partendo dalla soluzione generale. Ad esempio
per la soluzione generale:
1  2t
 1   4t
y  c1   e  c2   e
1
 1
Example phase plot
1.5
1
y2
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
-0.5
0
-1
-1.5
y1
0.5
1
1.5
Analizziamo il piano delle fasi in
questo caso
All’aumentare del tempo, le soluzioni di
muovono verso l’origine (cioe’ il punto di
equilibrio del sistema e’ y1=y2=0).
Nodo stabile o improprio
• Nell’esempio si ha un nodo stabile in
quanto tutte le curve del piano delle fasi
convergono verso l’origine
Nodi propri o instabili
• In un nodo instabile c’e’ una curva
soluzione che esce in ogni direzione :
1 t
0  t
y  c1   e  c2   e
0 
1
Nodi
• I sistemi lineari hanno nodi se hanno
autovalori reali con lo stesso segno
Stabili se positivi / instabili se negativi
• Nell’esempio per il nodo stabile gli
autovalori erano –2 e –4.
• Nell’esempio di nodo instabile gli
autovalori erano 1 (doppio).
Punti a sella
• I punti a sella si presentano nel caso di
autovalori reali con segni opposti (uno
positivo e uno negativo).
Punti a sella
y2
• Nei sistemi che hanno punti a sella ci
sono solo 2 curve che vanno verso il
punto (nel caso in figura la retta y1=0) e
due che escono dal punto (la retta
Saddle
y2=0).
-10
-5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
y1
5
10
Centri o vortici
• Se l’ equazione ha autovalori
immaginari puri, le curve del piano
delle fasi sono ellissi “centrate
nell’origine”
Centri o vortici: esempio
• Consideriamo il sistema di equazioni
differenziali
 0 1
y 
y

  4 0
'
• Gli autovalori sono:
  1 
2
det( A  I)  


40

 4  
 1  2i 2  2i
Centri o vortici: esempi
• Gli autovettori sono:
1  1 
2i  ,  2i  cioe’
  

• La soluzione generale del sistema e’:
• E’ piu’ conveniente scriverla nella forma:
Centri o vortici: esempio
• Si possono scrivere le curve del piano
delle fasi eliminando il tempo tra le
equazioni...
Spirali o fuochi
• Per sistemi di equazioni che hanno
autovalori complessi (ma non
immaginari puri) le curve del piano delle
fasi sono spirali o fuochi.
y2
Spiral
-0.5
-0.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0.1
y1
0.3
0.5
Stabili:
Nodo stabile:
Fuoco stabile:
Autovalori reali <0 Autovalori complessi
con parte reale <0
Instabili:
Sella:
sempre
instabile
Nodo instabile:
Autovalori reali di segno
Autoval. reali >0
opposto
Fuoco instabile:
Autovalori complessi
con parte reale >0