METODI 2 a.a. 2007-8
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Funzioni che mettono in relazione una variabile
indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la
derivata di quest’ultima ( es. y’ = f’ (x) ).

ESEMPIO
y '  F ( f ( x), x)
Ordine: massimo grado di derivazione che compare
nell’equazione differenziale.

SOLUZIONI

Generale
ogni equazione differenziale ha infatti infinite soluzioni
che differiscono per una costante.
Particolare
Si ottiene applicando la condizione iniziale alla
soluzione generale trovata
APPLICAZIONI ECONOMICHE

Considereremo sistemi DINAMICI in cui avremo:
t : var. indipendente ( tempo )
 x( t ): var. dipendente (var. economica che si evolve nel tempo)

Variabile di stato
 Useremo questa notazione:
x(t)  Ax(t)  Bu(t)
I SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
NELLE APPLICAZIONI ECONOMICHE
x(t)  Ax(t)  Bu(t)
Saggio di variazione
della variabile x al
variare del tempo
“ cause del
variare di x ”
TERMINE DI
CONTROLLO
•Se B  0  •sistema NON OMOGENEO
• soluzioni diverse da quella banale
•si può “guidare” la variabile x con opportuni interventi
•Altrimenti  •sistema OMOGENEO
•ammette almeno la soluzione banale
•la variabile x è incontrollabile
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI OMOGENEI
x(t)  Ax(t)
(1)
La cui soluzione è del tipo
x(t) ξe
λt
In forma esplicita…
 x1 (t)
 ξ1 
 x (t)
ξ 
2


 2
 x3 (t)   ξ 3  e λt




...
...






 x4 (t)

ξ 4 

(2)
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI OMOGENEI
Se la (2) è soluzione del sistema 
t
( A  I )e  0
Il sistema omogeneo avrà soluzioni diverse da quella banale
se:
 det( A  I )  0
EQUAZIONE
CARATTERISTICA
DELLA MATRICE
 infinite soluzioni diverse da
quella banale
Cercare le soluzioni non nulle
del sistema equivale a
cercare gli autovalori di A e
gli autovettori corrispondenti
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI OMOGENEI
Quindi le soluzioni del sistema saranno
 ξ (1 )e λ1t 
 x (1 )(t)
 (2 ) λ2t 
 (2 )

e
ξ

 x (t)
 x (3 )(t)   ξ (3 )e λ3t 




...


 ... 
ξ (n )e λnt 
 x (n )(t)




1, 2, 3, …, n sono gli autovalori e (1), (2),
(3)…(n) sono gli autovettori corispondenti.
dove
ESEMPIO
Dato il sistema
 x1  1 1  x1 
 x   4 1  x 
 2 
 2 
Calcoliamo autovalori e corrispondenti autovettori di A ponendo
1 
1
2
det( A  I ) 
 (1   )  4  0
4 1 
da cui otteniamo due autovalori con molteplicità algebrica pari a 1
1  1
2  3
ESEMPIO
Troviamo gli autovettori associati a
valore in
(A  λ1I)ξ  0
ottenendo
 l’autovettore fondamentale è
1 =-1 sostituendo tale
2 1 1  0
4 2    0

 2   
1 
 2
 
Analogamente l’autovettore fondamentale di
2 sarà
1 
2
 
ESEMPIO
Ponendo 1 e 2 pari a 1 le soluzioni particolari del sistema
saranno dunque
t
x
(t)
1

 1    t
e 
 x (t)   2 e  
t 
 2   
 2e 
Per 1
 x1 (t )  1 3t  e 
 x (t )  2e   3t 
 2   
2e 
Per 2
3t
SOLUZIONI
Se un sistema di equazioni differenziali omogeneo ammette
soluzioni non nulle   infinite soluzioni perché trovatane
una se ne possono ricavare infinite attribuendo a  valori
arbitrari.

Se  due o più soluzioni linearmente indipendenti  una
qualunque loro combinazione lineare è a sua volta
soluzione del sistema.


Se è data una condizione iniziale  la soluzione  è unica
CONDIZIONI INIZIALI
Se  una condizione iniziale
x(t0) = x0 

la soluzione del sistema  ed è unica

Si possono determinare c1 e c2

Graficamente si identifica una sola tra il fascio di possibili
curve identificate dall’integrale generale.
x(t)
x0
t0
t
ESEMPIO
L’integrale generale nell’esempio precedente era
 et 
 e3t 
x(t)  c1 
 c2  3t 
t 
 2e 
2e 
Se  la condizione iniziale in t0=o
5 
x(0)   
6 
Applicando tale condizione all’integrale generale
 e0 
 e0 
1
 1  5 
x(0)  c1 
 c2  0   c1    c2     
0
  2
2 6 
 2e 
2e 
Da cui
c1  1
c2  4
ESEMPIO
Sostituendo i valori trovati nell’integrale generale troviamo
la soluzione particolare
 e t   e3t   e t  4e3t 
x(t)  1
 4  3t   
t 
t
3t 
 2e  2e   2e  8e 
soluzione che:
•È unica
•Muta se cambia la condizione iniziale.
MATRICE FONDAMENTALE DELLE
SOLUZIONI
 Si ottiene affiancando i vettori delle soluzioni particolari
in un sistema con due sole equazioni differenziali sarà:

X (t )  x (t ) x (t )
(1)
( 2)

È quadrata perché il numero delle soluzioni è sempre
uguale al numero delle equazioni del sistema.
MATRICE DI TRANSIZIONE
Ponendo il vettore delle costanti pari a c possiamo riscrivere
l’integrale generale nel modo seguente
x(t) X(t)c
Applicando le
condizioni iniziali
si ricava c
x(t0 )  X(t0 )c
Sostituendo la (2) nella (1)
 (t, t0 )
(1)
 c  X (t0 ) x(t0 ) (2)
-1
x(t)  X(t)X (t0 )x(t0 )
-1
MATRICE DI
TRANSIZIONE
MATRICE DI TRANSIZIONE
Così chiamata perché il suo effetto è quello di portare il
vettore iniziale x(t0) al vettore al tempo t x (t).
x(t)
x(t0)
t0
t
t
ESEMPIO
La matrice fondamentale delle soluzioni è
 e t
X (t )  
t

2
e

e3t 
3t 
2e 
Data la condizione iniziale
 1 1
X (t0 )  

  2 2
La matrice di transizione allora sarà
 e t
 (t , t0 )  
t

2
e

 1 2
3t  
e  1 2
e
3t
 1 4
1 4 

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA
MATRICE DI TRANSIZIONE
1).
 (t0 , t0 )  I
2).
 (t, t0 )   (t, t1 ) (t1, t0 )
x(t)
x(t0)
t0
t1
t
t
PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA
MATRICE DI TRANSIZIONE
3).
 (t, t0 )
1
  (t0 , t )
x(t)
x(t0)
t0
4).
t
t
(t , t0 )  A (t , t0 )
 Anche la matrice di transizione è una soluzione del sistema
ESEMPIO 2
Dato il sistema
1  x2  x3
x

 2  x1  x3
x
x
 3  x1  x2
con
0 1 1
A  AT 1 0 1
1 1 0
calcoliamo gli autovalori imponendo
det( A  I )  0
L’equazione caratteristica diventa
   3  2  0
Le cui soluzioni sono
(autovalori di A)
1  2  1
m.a. = 2
3
3  2
m.a. = 1
ESEMPIO 2
Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2= -1 risolvendo il sistema
( A  ( 1) I )  ( A  I )  0
1 1 1 1  0
1 1 1    0
In forma matriciale 
 2   
1 1 1 3  0
Da cui
1   2  3

 2   2
  
3
 3
1  2  3  0
 n-r = 2 soluzioni, dove
n ordine di (A- I)
r rango di (A- I)
ESEMPIO 2
• Se

• Se
 2  1

 3  0
x (1)   (1) e 1t

 et 
1
 t 
t


  1 e   e 
 
 0 
 0 


 2  0

 3  1
x ( 2 )   ( 2 ) e 2t
 (1)
0  ( 1)
 1 
    1
 
1




0





 0 

Prima
possibile
soluzione per
1 = 2= -1
analogamente avremo
 et 
1 


  0  e t   0 
 
  e t 
  1


Seconda
possibile
soluzione per
1 = 2= -1
ESEMPIO 2
Cerchiamo ora gli autovettori per 3= 2 risolvendo il sistema
( A  2 I )  0
ossia
Da cui
 2
 1


 1
1
2
1
1   3

 2   3
  
3
 3
1  1  0
1   2   0
   
 2

 3 
 
0

quindi,
se 3 =1
 1  22  3  0
 
1  1 2  23  0
x ( 3)   ( 3) e 3t
2t


1
e

 2t 
2t


 1 e  e 

e 2 t 
1
 
possibile soluzione per 3= 2
ESEMPIO 2
Le tre soluzioni trovate sono linearmente indipendenti 
possiamo scrivere l’integrale generale come segue
x (t )  c1 x (1) (t )  c2 x ( 2 ) (t )  c3 x ( 3) (t )
La matrice fondamentale delle soluzioni sarà
 et
 t
X (t )    e
 0

et
0
 e t
e2t 
2t 
e 
e 2 t 
ESEMPIO 4
 Dato il sistema
 x1  3
 x   5
 2 
L’equazione caratteristica sarà
 2  x1 
* 

 3  x2 
2  10  9  0
    1
Le cui soluzioni sono (autovalori di A)
1  i 2  i
ESEMPIO 4
Come si può notare sono numeri complessi e
coniugati.
Cerchiamo gli autovettori per 1 = i risolvendo il
sistema
( A  1I )  0
ESEMPIO 4
3  i  2  1  0
 5  3  i     0

 2   
Si noti che per costruzione il rango di (A- I)=0 è quindi
minore di 2 perciò questo sistema ha:



n r

1
=
soluzioni
Inoltre, il rango è maggiore di 0 perché non è una
matrice nulla.
Si evince perciò che la soluzione del sistema equivale a
quella di una delle sue equazioni.
ESEMPIO 4

Scegliamo la seconda:
51  3  i 2  0
3i
1 
2
5
Perciò un autovettore associato a

1
1  i
sarà:
3  i  5 2  3  i  5


2


2
1


 
ESEMPIO 4
Ponendo ad esempio 1  1 si ottiene una delle
possibili soluzioni del sistema dato:
X
1
3  i  5 it
 
e

1


Qualsiasi valore assuma  2 nel campo dei numeri reali,
l’autovettore relativo a 1 sarà sempre di tipo complesso e
potrà essere scritto nella forma che separa la parte reale da
quella immaginaria.
ESEMPIO 4
X
1
3 5 i 5  it
t        e
 1   0  
3 5 1 5  it
     i e
 1   0  
3 5
a 
1
Ponendo:
1 5
b 
0
ESEMPIO 4
Si ha:
x
1
t   a  bie
it
Ora possiamo calcolare l’ autovettore corrispondente a
2  i
e si ottiene:

2 
3  i  5
2 

 2    a  bi  2

1


e perciò l’autovettore corrispondente analogamente a quanto
fatto per l’altro valore sarà:
ESEMPIO 4
3 5 1 5  it
2 
it
x t        e  x t   a  bie
 1   0  
2 
Questi due autovettori non sono reali, né linearmente
indipendenti, caratteristiche essenziali per poter costruire
l’integrale generale del sistema di equazioni dato. E’ necessario
introdurre un metodo che permetta di passare da una
espressione non reale ad una reale.
ESEMPIO 4

Supponiamo di aver trovato due autovalori della
matrice A del tipo:
1    i
 2    i
In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori

1
 a  bi 1
Con a e b vettori reali

2 
 a  bi  2
ESEMPIO 4

Posto poi 1  1 , le corrispondenti soluzioni del
sistema di equazioni differenziali saranno:
x
x
2 
1
t   
t   
1
1t
e
2 
e
 2t
 a  bi e
 i t
 a  bi e
 i t
ESEMPIO 4

Consideriamo per ora solo la prima delle due
espressioni, la si può scrivere:
x
1
t   a  bi e
t it
e
Ricordando la formula di De Moivre
e  cos z  i sin z
iz
ESEMPIO 4


Possiamo scrivere:
x 1 t   a  bi e t cos t  i sin t  

 ae t  bie t cos t  i sin t  
 a cos t  b sin t e t  a sin t  b cos t e t i
In questo modo si è ottenuta l’espressione di x(t) in una
forma in cui il primo termine è reale ed il secondo è
formato da un coefficiente reale per un numero
immaginario.
ESEMPIO 4

Se poniamo:
t   a cos t  b sin t e
y 2  t   a sin t  b cos t et
y
1
t
Si può dimostrare che y(1) ed y(2) sono soluzioni reali e
linearmente indipendenti del sistema
  Ax
x
ESEMPIO 4

Riprendendo l’esempio visto:
Da cui si ricava:
1    i  i
2    i  i
 0
 1
Inoltre avevamo ricavato:
3 5
a 
 1 
1 5
b 
0
ESEMPIO 4

Possiamo scrivere subito le due soluzioni reali e
linearmente indipendenti
y
1
3 5
 0t
1 5
   cos t    sin t e
0
 1 

3 / 5 cos t  1 / 5 sin t 


cos t


ESEMPIO 4
y
2 
3 5
 0t
1 5
   sin t    cos t e
0
 1 

3 / 5 sin t  1 / 5 cos t 


sin t


ESEMPIO 4

Adesso posso calcolare
l’integrale generale,
posta la condizione
iniziale: t=0
1
xt  0    
1
Si può calcolare l’integrale generale come combinazione
lineare delle due soluzioni particolari :
3 / 5 cos t  1 / 5 sin t 
3 / 5 sin t  1 / 5 cos t 
xt   c1 
 c2 


cos t
sin t




ESEMPIO 4

Per trovare il valore di c si risolve il sistema:
1
3 5
1 5
xt  0     c1    c2   
1
1
0
3 5c1  1 5 c2  1  c1  1


c1  1

c2  2
ESEMPIO 4
 cos t  sin t 
xt   

cos t  2 sin t 