METODI 2 2005-6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Funzioni che mettono in relazione una variabile
indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la
derivata di quest’ultima ( es. y’ = f’ (x) ).

ESEMPIO
y '  F ( f ( x), x)
Ordine: massimo grado di derivazione che compare
nell’equazione differenziale.

SOLUZIONI

Generale
ogni equazione differenziale ha infatti infinite soluzioni
che differiscono per una costante.
Particolare
Si ottiene applicando la condizione iniziale alla
soluzione generale trovata
APPLICAZIONI ECONOMICHE

Considereremo sistemi DINAMICI in cui avremo:
t : var. indipendente ( tempo )
 x( t ): var. dipendente (var. economica che si evolve nel tempo)

Variabile di stato
 Useremo questa notazione:
x(t)  Ax(t)  Bu(t)
I SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
NELLE APPLICAZIONI ECONOMICHE
x(t)  Ax(t)  Bu(t)
Saggio di variazione
della variabile x al
variare del tempo
“ cause del
variare di x ”
TERMINE DI
CONTROLLO
•Se B  0  •sistema NON OMOGENEO
• soluzioni diverse da quella banale
•si può “guidare” la variabile x con opportuni interventi
•Altrimenti  •sistema OMOGENEO
•ammette almeno la soluzione banale
•la variabile x è incontrollabile
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI OMOGENEI
x(t)  Ax(t)
(1)
La cui soluzione è del tipo
x(t) ξe
λt
In forma esplicita…
 x1 (t)
 ξ1 
 x (t)
ξ 
2


 2
 x3 (t)   ξ 3  e λt




...
...






 x4 (t)

ξ 4 

(2)
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI OMOGENEI
Se la (2) è soluzione del sistema 
(A  λI )ξξ  0
λt
Il sistema omogeneo avrà soluzioni diverse da quella banale
se:
 det( A  I )  0
EQUAZIONE
CARATTERISTICA
DELLA MATRICE
 infinite soluzioni diverse da
quella banale
Cercare le soluzioni non nulle
del sistema equivale a
cercare gli autovalori di A e
gli autovettori corrispondenti
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI OMOGENEI
Quindi le soluzioni del sistema saranno
 ξ ( 1)e λ1t 
 x ( 1)(t)
 ( 2) λ2 t 
 ( 2)

ξ e

 x (t)
 x ( 3)(t)  ξ ( 3)e λ3t 




...


 ... 
ξ ( n)e λn t 
 x ( n)(t)




1, 2, 3, …, n sono gli autovalori e (1), (2),
(3)…(n) sono gli autovettori corispondenti.
dove
ESEMPIO
Dato il sistema
 x1  1 1  x1 
 x   4 1  x 
 2 
 2 
Calcoliamo autovalori e corrispondenti autovettori di A ponendo
1 
1
2
det( A  I ) 
 (1   )  4  0
4 1 
da cui otteniamo due autovalori con molteplicità algebrica pari a 1
1  1
2  3
ESEMPIO
Troviamo gli autovettori associati a
valore in
(A  λ1I)ξ  0
ottenendo
 l’autovettore fondamentale è
1 =-1 sostituendo tale
2 1 1  0
4 2    0

 2   
1 
 2
 
Analogamente l’autovettore fondamentale di
2 sarà
1 
2
 
ESEMPIO
Ponendo 1 e 2 pari a 1 le soluzioni particolari del sistema
saranno dunque
t
x
(t)
1

 1    t
e 
 x (t)   2 e  
t 
 2   
 2e 
Per 1
 x1 (t )  1 3t  e 
 x (t )  2e   3t 
 2   
2e 
Per 2
3t
SOLUZIONI
Se un sistema di equazioni differenziali omogeneo ammette
soluzioni non nulle   infinite soluzioni perché trovatane
una se ne possono ricavare infinite attribuendo a  valori
arbitrari.

Se  due o più soluzioni linearmente indipendenti  una
qualunque loro combinazione lineare è a sua volta
soluzione del sistema.


Se è data una condizione iniziale  la soluzione  è unica
CONDIZIONI INIZIALI
Se  una condizione iniziale
x(t0) = x0 

la soluzione del sistema  ed è unica

Si possono determinare c1 e c2

Graficamente si identifica una sola tra il fascio di possibili
curve identificate dall’integrale generale.
x(t)
x0
t0
t
ESEMPIO
L’integrale generale nell’esempio precedente era
 et 
 e3t 
x(t)  c1 
 c2  3t 
t 
 2e 
2e 
Se  la condizione iniziale in t0=o
5 
x(0)   
6 
Applicando tale condizione all’integrale generale
 e0 
 e0 
1
 1  5 
x(0)  c1 
 c2  0   c1    c2     
0
  2
2 6 
 2e 
2e 
Da cui
c1  1
c2  4
ESEMPIO
Sostituendo i valori trovati nell’integrale generale troviamo
la soluzione particolare
 e t   e3t   e t  4e3t 
x(t)  1
 4  3t   
t 
t
3t 
 2e  2e   2e  8e 
soluzione che:
•È unica
•Muta se cambia la condizione iniziale.
MATRICE FONDAMENTALE DELLE
SOLUZIONI
 Si ottiene affiancando i vettori delle soluzioni particolari
in un sistema con due sole equazioni differenziali sarà:

X (t )  x (t ) x (t )
(1)
( 2)

È quadrata perché il numero delle soluzioni è sempre
uguale al numero delle equazioni del sistema.
MATRICE DI TRANSIZIONE
Ponendo il vettore delle costanti pari a c possiamo riscrivere
l’integrale generale nel modo seguente
x(t) X(t)c
Applicando le
condizioni iniziali
si ricava c
x(t0 )  X(t0 )c
Sostituendo la (2) nella (1)
 (t, t0 )
(1)
 c  X (t0 ) x(t0 ) (2)
-1
x(t)  X(t)X (t0 )x(t0 )
-1
MATRICE DI
TRANSIZIONE
MATRICE DI TRANSIZIONE
Così chiamata perché il suo effetto è quello di portare il
vettore iniziale x(t0) al vettore al tempo t x (t).
x(t)
x(t0)
t0
t
t
ESEMPIO
La matrice fondamentale delle soluzioni è
 e t
X (t )  
t

2
e

e3t 
3t 
2e 
Data la condizione iniziale
 1 1
X (t0 )  

  2 2
La matrice di transizione allora sarà
 e t
 (t , t0 )  
t

2
e

 1 2
3t  
e  1 2
e
3t
 1 4
1 4 

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA
MATRICE DI TRANSIZIONE
1).
 (t0 , t0 )  I
2).
 (t, t0 )   (t, t1 ) (t1, t0 )
x(t)
x(t0)
t0
t1
t
t
PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA
MATRICE DI TRANSIZIONE
3).
 (t, t0 )
1
  (t0 , t )
x(t)
x(t0)
t0
4).
t
t
(t , t0 )  A (t , t0 )
 Anche la matrice di transizione è una soluzione del sistema
ESEMPIO 2
Dato il sistema
1  x2  x3
x

 2  x1  x3
x
x
 3  x1  x2
con
0 1 1
A  AT 1 0 1
1 1 0
calcoliamo gli autovalori imponendo
det( A  I )  0
L’equazione caratteristica diventa
   3  2  0
Le cui soluzioni sono
(autovalori di A)
1  2  1
m.a. = 2
3
3  2
m.a. = 1
ESEMPIO 2
Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2= -1 risolvendo il sistema
( A  ( 1) I )  ( A  I )  0
1 1 1 1  0
1 1 1    0
In forma matriciale 
 2   
1 1 1 3  0
Da cui
1   2  3

 2   2
  
3
 3
1  2  3  0
 n-r = 2 soluzioni, dove
n ordine di (A- I)
r rango di (A- I)
ESEMPIO 2
• Se

• Se
 2  1

 3  0
x (1)   (1) e 1t

 et 
1
 t 
t


  1 e   e 
 
 0 
 0 


 2  0

 3  1
x ( 2 )   ( 2 ) e 2t
 (1)
0  ( 1)
 1 
    1
 
1




0





 0 

Prima
possibile
soluzione per
1 = 2= -1
analogamente avremo
 et 
1 


  0  e t   0 
 
  e t 
  1


Seconda
possibile
soluzione per
1 = 2= -1
ESEMPIO 2
Cerchiamo ora gli autovettori per 3= 2 risolvendo il sistema
( A  2 I )  0
ossia
Da cui
 2
 1


 1
1
2
1
1   3

 2   3
  
3
 3
1  1  0
1   2   0
   
 2

 3 
 
0

quindi,
se 3 =1
 1  22  3  0
 
1  1 2  23  0
x ( 3)   ( 3) e 3t
2t


1
e

 2t 
2t


 1 e  e 

e 2 t 
1
 
possibile soluzione per 3= 2
ESEMPIO 2
Le tre soluzioni trovate sono linearmente indipendenti 
possiamo scrivere l’integrale generale come segue
x (t )  c1 x (1) (t )  c2 x ( 2 ) (t )  c3 x ( 3) (t )
La matrice fondamentale delle soluzioni sarà
 et
 t
X (t )    e
 0

et
0
 e t
e2t 
2t 
e 
e 2 t 