Laboratorio di MatLab
Algebra lineare e Geometria
Alessandro Benfenati
Ph.D. Student
Departments of Mathematics - University of Ferrara
[email protected]
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Sommario
1
Parametrizzazione delle coniche
Ellisse
Iperbole
2
Ortogonalizzazione
Proiezioni e vettori ortogonali
Gram-Schmidt
3
Autovalori ed autovettori
Definizioni
Determinazione degli autovalori e degli autovettori
In MatLab
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Parametrizzazione delle coniche
Ellisse
Parametrizzazione dell’ellise
Dalla geometria analitica: l’ellisse è il luogo geometrico costituito da punti la
cui somma delle distanze da due punti detti fuochi è costante.
b
F2
x2
a2
(0,0)
F1
a
p
d O, Fi
y2
b2
1
q sqrt pa2 b2 q
La sua equazione parametrica è
#
x
y
per φ
a cospφq
b sinpφq
P r0, 2πr
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Parametrizzazione delle coniche
Ellisse
Origine della parametrizzazione
Ricordando la formula fondamentale della trigonometria
p q2
p q2 1α P R
cos α
sin α
manipolando l’equazione dell’ellisse si ha
x2
a2
b2 x 2
ponendo x
y2
b2
2 2
a y
1
a2 b 2
a cospφq e y b sinpφq
a2 b 2
b 2 a2 cospφq2 a2 b 2 sinpφq2 a2 b 2
a2 b 2 cospφq2 sinpφq2 a2 b 2
b2 x 2
a2 y 2
e quindi l’uguaglianza è valida.
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Parametrizzazione delle coniche
Iperbole
Parametrizzazione dell’iperbole
Dalla geometria analitica: l’iperbole è il luogo geometrico costituito da punti la
cui differenza delle distanze da due punti detti fuochi è costante.
x2
a2
F2
di asintoti
F1
y
2
yb2 1
ba x
La sua equazione parametrica è
#
x
y
per φ
a coshpφq
b sinhpφq
PR
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Parametrizzazione delle coniche
Iperbole
Origine della parametrizzazione
Ricordando la formula fondamentale
p q2 sinhpt q2 1t P R
cosh t
dove
p q e
x
cosh x
e x
2
manipolando l’equazione dell’iperbole si ha
x2
a2
x
x
p q e 2 e
, sinh x
2
yb2 1
b 2 x 2 a2 y 2 a2 b 2
ponendo x a coshpt q e y b sinhpt q
b 2 x 2 a2 y 2 a2 b 2
b 2 a2 coshpt q2 a2 b 2 sinhpt q2 a2 b 2
a2 b 2 coshpt q2 sinhpt q2 a2 b 2
e quindi l’uguaglianza è valida.
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Ortogonalizzazione
Proiezioni e vettori ortogonali
Proiezione
Def. (Proiezione)
pq
¡
Dati due vettori u e v si definisce il vettore Proju v proiezione ortogonale di
v su u il vettore
u, v
Proju v
u
u 2
p q } }
u
e1
Proju(v)
v
Proje (v)
2
v
Proje (v)
1
e2
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Ortogonalizzazione
Proiezioni e vettori ortogonali
Vettori ortonormali
Def. (Vettori ortonormali)
Un insieme di vettori v1 , . . . , vn si dice ortonormale se
vi , vj ¡ 0
per ogni i, j e
}vi } 1 i 1, . . . , n
Esempio
La base canonica
B
te1 , e2 , . . . , en u
è un insieme di vettori ortonormali.
} } 1 non è rispettata per ogni i, allora i vettori si dicono
Se la condizione vi
ortogonali.
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Ortogonalizzazione
Gram-Schmidt
Gram-Schmidt
Il processo di ortogonalizzazione di Graham-Schmidt consiste nel rendere
ortogonale un insieme di vettori linearmente indipendenti.
t
u
t
u
} }
p q } }
p q
p q
Sia V
v1 , . . . , vn l’insieme di vettori l.i, si vuole creare un insieme di vettori
o1 , . . . , on :
ortogonali O
u1
1 u1 v1 ; o1
u1
u2
2 u2 v2 Projo1 v2 ; o2
u2
u3
3 u3 v3 Projo1 v3
Projo2 v3 ; o3
u3
... ...
k uk
vk 1
¸
k
j
1
p q
Projoj vk ; ok
} }
}uukk }
Ad ogni vettore vk si sottraggono le proiezioni sui precedenti k 1 vettori
ortogonali, dopodichè si normalizza (dividendo per la propria norma) il vettore
ottenuto.
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Ortogonalizzazione
Gram-Schmidt
Fattorizzazione QR
Il procedimento di Gram-Schmidt è alla base della fattorizzazione QR di una
matrice A: ovverossia su può scrivere la matrice A Mmn R (con le colonne
l.i.) come
A QR
P
p q
dove Q P Mmm pRq è ortogonale e R P Mmn pRq è triangolare.
Con questa scomposizione è possibile risolvere in maniera numericamente
stabile i sistemi lineari malcondizionati.
Malcondizionamento
Sia dato il sistema lineare Ax
A
Ha soluzione x
b con
2.0
2.0
3.0
3.1
b
5.0
5.1
p1, 1q. Se si perturbano i dati iniziali nel seguente modo:
Ã
2.000
1.999
allora la soluzione diventa x̃
3.000
3.000
b̃
5.000
4.990
p10, 5q.
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Autovalori ed autovettori
Definizioni
Eigenvalues and Eigenvectors
Def.
Data una matrice A
vettore u tale che
P Mn pRq si definisce autovettore di autovalore λ il
Au
λu
L’azione di A sull’autovettore u consiste nel modificare modulo ed
eventualmente verso, lasciando inalterata la direzione .
Av
Data
A
3
2
6
2
il vettore v in figura è un suo
autovettore di autovalore 6.
v
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Autovalori ed autovettori
Determinazione degli autovalori e degli autovettori
Polinomio caratteristico
Per determinare autovalori ed autovettori, si procede esaminando la definizione:
Au
λu Au λu 0 pA λI qu 0
La teoria dei sistemi lineari dice che per non avere l’unica soluzione (banale)
u 0 è necessario porre
det A λI
0
p q
Def. (Polinomio caratteristico)
p λI q prende il nome di polinomio caratteristico della
La quantità det A
matrice A.
p q Una volta trovati gli autovalori λ, si sostituiscono in A λI u 0 e si
calcolano gli autovettori u associati risolvendo il sistema lineare.
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Autovalori ed autovettori
Determinazione degli autovalori e degli autovettori
Proprietà degli autovalori e degli autovettori
p q p q
p q pq
Se Au λu, allora
A µI u
λ µu
Ak u λk u
1
A1 u
u
λ
P A u P λ u per ogni polinomio P
Def. (Similitudine)
Sia S invertibile. Due matrici A e B si dicono simili se
A
S 1BS
La similitudine corrisponde ad un cambiamento di base.
Def. (Matrici diagonalizzabili)
Una matrice A si dice diagonalizzabile se esiste S invertibile tale che
A
SDS 1
dove D è diagonale. In altre parole, A è diagonalizzabile se è simile ad una
matrice diagonale.
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Autovalori ed autovettori
Determinazione degli autovalori e degli autovettori
Proprietà degli autovalori e degli autovettori
Theorem
Una matrice A di ordine n è diagonalizzabile se e soltanto se possiede n
autovettori linearmente indipendenti.
Theorem
Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Dall’ultimo risultato si ricava che una matrice è diagonalizzabile se i suoi
autovalori sono distinti.
Se una matrice A è diagonalizzabile, allora possiamo scrivere
A
U 1DU
dove le colonne di U sono gli autovettori di A, mentre D è una matrice
diagonale sulla cui diagonale sono presenti gli autovalori di A.
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Autovalori ed autovettori
In MatLab
Calcolo degli autovalori in MatLab
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
Si inizializza la matrice A, si crea la matrice identità Id della stessa dimensione di A. Viene inizializzata la variabile
simbolica l e si crea la matrice A lId .
Si salvano in e_values le radici del polinomio caratteristico, che consistono nee_values = solve ( det ( P_c ) , l );
gli autovalori della matrice A. Si ricorda
che essi sono ancora valori simbolici.
Si crea il vettore nullo dei termini noti, e
con subs si sostituisce il primo autovab =[0;0];
lore trovato in A lId : in questo modo
P1 = subs ( P_c ,l ,...
è noto che il sistema non ha un’unica
double ( e_values (1)));
soluzione, quindi viene utlizzato il corref ([ P1 , b ])
mando rref per visualizzare la soluzione
dipendente dal parametro.
A = [ 3 6; 2 2];
I = eye ( size ( A ));
syms l
P_c = A - l * I ;
>> u1 = [2 ,1] ’;
>> u1 = u1 / norm ( u1 )
Un volta trovata la soluzione, si
crea l’autovettore e se necessario si
normalizza.
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Autovalori ed autovettori
In MatLab
Calcolo degli autovalori in MatLab
In realtà in MatLab è presente una funzione che calcola automaticamente
eigenvalues e eigenvectors: eig(A).
>> [U , D ] = eig ( A )
Le colonne dela matrice U sono gli autovettori della matrice A, mentre D è una
matrice diagonale in cui sono presenti gli autovalori.
>> [U , D ] = eig ( A )
U =
0.8944
-0.8321
0.4472
0.5547
D =
6
0
0
-1
Verifichiamo che A
UDU 1:
>> U * L * inv ( U )
ans =
3.0000
6.0000
2.0000
2.0000
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Autovalori ed autovettori
In MatLab
Interpretazione geometrica
Data la matrice
A
?
? ?
0
2
1
0
?
? ?
di autovettori e relativi autovalori
1
2
1
2
,
v
, λu
2, λv
2
u
,
,
3
3
3
3
si nota che u e v sono direzioni privilegiate: la figura viene dilatata di un
fattore 2 e ruotata:
?
?
?
Au
v
u
(0,0)
Av
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