Capitolo 9
Autovalori e
autovettori
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
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Numeri complessi
Gli insiemi numerici N, Z, Q e R si possono
ricollegare alla soluzione di equazioni.
Consideriamo per x  R l'equazione
x2 + 1 = 0.
È evidente che tale equazione non ha soluzione
nell'ambito dei numeri reali dobbiamo ampliare
l'insieme numerico in cui lavorare:
insieme C dei numeri complessi
La quantità fondamentale è rappresentata dall'unità
immaginaria i, ossia un numero che soddisfa
l'equazione i2 = -1, è un numero immaginario
puro (e tali sono i suoi multipli ib con b in R).
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La “somma” di un numero reale e di un immaginario
puro è un numero complesso a + ib e si può
rappresentare nel piano complesso (i numeri reali,
per cui b = 0, sono inclusi come caso speciale di
numeri complessi).
Figura 9.1:
Il piano
complesso.
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Numeri complessi
La somma di due numeri complessi è definita come
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
e la moltiplicazione
(a + ib) (c + id) = ac + ibc + iad + i2bd = (ac – bd) + i(bc + ad).
Il complesso coniugato di a + ib è il numero a – ib.
1.
Il coniugato di un prodotto è uguale al prodotto dei coniugati
2.
Il coniugato di una somma è uguale alla somma dei coniugati
3.
Il prodotto di un numero complesso con il suo complesso coniugato
è un numero reale pari al quadrato dell’ipotenusa del triangolo
rettangolo |a| e |b|
(a + ib) (a – ib) = a2 + b2.
La lunghezza di tale ipotenusa è detta modulo del numero complesso
a + ib e indicato come |a + ib|.
Segue…
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Nota: Esiste uno stretto legame tra i numeri
complessi e le funzioni trigonometriche. Se infatti
indichiamo con  l’angolo tra l’asse reale e
l’ipotenusa abbiamo le seguenti relazioni
Da queste equazioni abbiamo la rappresentazione in
coordinate polari di un numero complesso
Dove ei = cos  + i sin  rappresenta un numero
complesso con modulo uguale a 1.
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Autovalore e autovettore
Indicheremo con Cn l'insieme dei vettori aventi n
elementi complessi e con Cmn l'insieme delle matrici
con m righe e n colonne a elementi complessi.
Definizione 9.1 (Autovalore e autovettore) Sia A una
matrice quadrata n X n ad elementi reali. Definiamo
autovalore e rispettivamente autovettore della matrice
A un numero complesso  ed un vettore u non nullo di
numeri complessi per cui
Au = u
o equivalentemente
(A - I)u = 0.
Segue…
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Osservazione. Dalla definizione precedente
segue che u è una soluzione non nulla di un
sistema lineare omogeneo di matrice A - I.
Osservazione. Se u è un autovettore di A, tale
che è anche au, con a numero reale o
complesso non nullo
A(au) = a(Au) = a(u) = (au).
Ossia gli autovettori sono infiniti (potremmo
sempre scegliere l’autovettore unitario).
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Autovalori e autovettori
Esempio. Sia
Abbiamo visto che (A - I)u = 0 ha soluzioni non nulle solo se le colonne di
A - I sono l.d.
In questo caso 1 = 3 e 2 = -1 sono autovalori. Infatti,
Gli autovettori corrispondenti sono
Infatti
Proposizione 9.1 La
somma degli autovalori
di una matrice A
uguaglia la somma
degli elementi sulla
diagonale della matrice
A. Tale somma è detta
traccia della matrice A.
Poiché
Gli autovettori normalizzati (unitari) sono
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Calcolo di autovalori e autovettori
Sia ora A quadrata di tipo n X n: Il problema del calcolo di autovalori e
autovettori coinvolge il sistema lineare (A- I)u =0, con u nullo.
Sappiamo che il calcolo di una soluzione non nulla u è possibile se e soltanto
se det (A - I) = 0. L’equazione
det (A - I) = |A - I| = 0
È detta equazione caratteristica di A.
Si calcola quindi il determinante della matrice caratteristica
Si può dimostrare che det (A - I) è un polinomio di grado n in 
Detto polinomio caratteristico.
Teorema fondamentale dell’algebra  vi sono n radici in C.
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In pratica, quindi, per calcolare autovalori e autovettori possiamo:
1. determinare le radici del polinomio caratteristico
2. Per ogni autovalore determinato al punto 1), risolvere il
sistema lineare
Per calcolare gli autovettori associati a .
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Calcolo di autovalori e autovettori
Proposizione 9.2 Se A è una matrice triangolare
allora gli autovalori coincidono con gli elementi della
diagonale.
Osservazione. Se conosciamo gli autovalori 1,…, n di
A, allora gli autovalori di A2 sono
In modo analogo per calcolare gli autovalori di
Ar, r > 2 intero.
Nota. In pratica, nel caso generale, solo per n = 2 il
calcolo è “immediato”.
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Proposizione 9.3 (Autovalori di matrici 2 X 2) Nel caso di
matrici 2 X 2 abbiamo quattro possibilità:
i) i due autovalori sono reali distinti, corrispondenti a due
autovettori linearmente indipendenti;
ii) due autovalori complessi coniugati corrispondenti a due
autovettori complessi coniugati;
iii) un autovalore reale con molteplicit due corrispondente a un
solo
autovettore;
iv) un autovalore reale con molteplicit due corrispondente a due
autovettori linearmente indipendenti.
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Diagonalizzazione
Una matrice quadrata A di dimensione n ammetta n autovalori (non
necessariamente distinti) di cui alcuni eventualmente complessi. Indichiamo con
1, 2,…, n gli autovalori e supponiamo che la matrice A ammetta n autovettori
che indichiamo con v1, v2,…, vn. Sia ora V la matrice
e
Abbiamo
Se la matrice A ammette n autovettori linearmente indipendenti allora la matrice
V è invertibile. In tal caso otteniamo A = V DV-1, e la matrice A è detta
diagonalizzabile.
Definizione 9.2 (Matrici simili) Due matrici quadrate A e B sono dette simili se
esiste una matrice invertibile V tale che A = V BV –1.
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Matrici simmetriche
Nel caso in cui la matrice reale A sia simmetrica, ossia A = AT, è possibile
determinare alcune proprietà degli autovalori.
1. Gli autovalori di una matrice simmetrica sono numeri reali.
2. Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti di una matrice simmetrica
sono ortogonali.
3. Esistono n autovettori unitari ortogonali tra loro.
Una matrice simmetrica quindi ammette n autovalori reali 1, …, n e n autovettori
unitari ortogonali.
Se indichiamo tali autovettori con u1, …, un possiamo definire la matrice
che soddisferà la relazione UTU = I = UUT
poiché
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Matrice ortogonale
Definizione 9.3 (Matrice ortogonale) Una matrice U tale che UTU = UUT = I
è detta ortogonale.
Osservazione. Per una matrice ortogonale l'inversa coincide con la trasposta. Se
indichiamo con D = diag(1, …, n), allora AU = UD da cui UTAU = D
quindi U è una matrice simmetrica di A, quindi diagonalizzabile.
Definizione 9.4 (Forma quadratica) Un'espressione del tipo xTAx con x in Rn e A
matrice simmetrica è detta forma quadratica associata alla matrice A:
Definizione 9.5 (Matrice definita positiva) La matrice A è detta definita positiva se
per x  0 la forma quadratica è positiva, ossia xTAx > 0. Se xTAx  0 si dice che A è
semidefinita positiva. Analogamente si parla di semidefinita negativa se xTAx  0 è
definita negativa se xTAx < 0.
Osservazione. Si verifica che una matrice simmetrica A è definita positiva se e
soltanto se tutti i suoi autovalori sono positivi.
Definizione 9.6 (Raggio spettrale) Si dice raggio spettrale della matrice A, indicato
con
, il massimo degli autovalori di A.
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Minimi quadrati
Risolvere Ax = b “minimizzando” gli errori: Cosa significa?
Norme di vettori e matrici
Vogliamo misurare quanto è grande un vettore o una matrice. Ad ogni vettoreè
possibile associare un numero reale non negativo che indicheremo con ||x||;
detto norma di x; tale che
1. se x  0 allora ||x|| = 0 e viceversa;
2.  scalare, ||x|| = || ||x||;
3. per ogni coppia x,y di vettori con la stessa dimensione
||x + y||  ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare).
(Norme di vettore)
a) Norma 
b) Norma 1
c) Norma 2
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Norme di matrici
Il concetto di norma può essere esteso alle matrici.
Sia A di tipo m X n: Indichiamo con ||A|| un numero che soddisfa le seguenti condizioni:
1. ||A|| = 0 se e solo se A è la matrice nulla.
2. ||A|| = || ||A||, dove  è uno scalare.
3. Se A e B hanno le stesse dimensioni
||A + B|  ||A|| + ||B||.
4. Se B ha un numero di righe pari al numero di colonne di A
||AB||  ||A||||B||.
(Norme di matrice) Dalle norme di vettori si possono dedurre norme di matrici.
1. Norma 
2. Norma 1
3. Norma 2
ossia il massimo autovalore di ATA e uguale alla norma
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Sistema sovradeterminato.
Se fissiamo m = 3 e n = 2 abbiamo il sistema
Il sistema è sovradeterminato e avrà soluzione solo se b è combinazione lineare delle
colonne di A e quindi non ne aumenta il rango. È possibile che il sistema non abbia
soluzione.
In questi casi possiamo pensare di estendere il concetto di soluzione di un sistema
lineare definendo come soluzione il vettore x tale che il vettore r = Ax- b sia il “più
piccolo” possibile.
Dobbiamo scegliere una norma per r.
Nel caso della norma 2
Il problema della determinazione del minimo è detto problema dei minimi quadrati.
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Esempio: retta dei minimi quadrati. Vogliamo approssimare
l’andamento delle misure (xi, yi), i = 1, …, m con la retta
y = ax + b.
Pretendiamo
Da risolvere nel senso dei minimi quadrati.
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