Sistemi dinamici
Cos’è un sistema dinamico?
E’ un sistema del tipo:
X  F ( X ; t ; c1 ;; cn )



Il vettore X rappresenta le incognite e dipende da t.
c1,…,cn sono i parametri di controllo del sistema.
t è la variabile indipendente (tempo).
Molti modelli fisici, biologici, meccanici, sono
rappresentati da sistemi di questo tipo.
Sistemi dinamici
Un sistema dinamico può anche essere
visto come un sistema di input-output:
Dati
iniziali
Soluzioni
del sistema
Parametri di
controllo
Sistemi dinamici autonomi

Un sistema dinamico si dice autonomo quando non dipende
esplicitamente dal tempo. In questi casi per analizzare le soluzioni
del sistema si effettua una loro proiezione sul piano delle variabili,
detto piano delle fasi:

Il piano delle fasi è il piano delle variabili del sistema.
Piano delle fasi
Per i sistemi a due gradi di
libertà, il piano delle fasi è
realmente un piano su cui
vengono proiettate le
soluzioni.
Soluzione del sistema preda predatore
Proiezione sul piano delle fasi
Sistemi autonomi e non autonomi
Sistema del pendolo linearizzato
(per piccole oscillazioni)
in assenza d’attrito:
x 
1
Nel punto (0,0) presenta
un punto d’equilibrio.
x2
x2  4x1
Con l’aggiunta di un termine forzante (cos(wt)), il sistema
non autonomo presenta comportamenti differenti:

Se w è uguale alla frequenza del pendolo allora si ha
risonanza.

Se w è leggermente diversa dalla frequenza del pendolo si
presenta il fenomeno dei battimenti.
Risonanza e battimenti
Battimenti
x1  x2
x2  4 x1  cos(1.6t )
in (0,0)
Risonanza
x1  x2
x2  4 x1  cos( 2t )
in (0,0)
Sistemi autonomi e non (piano delle fasi)

Piano delle fasi per il
sistema del pendolo in
assenza d’attrito.
(autonomo)
 Piano delle fasi per il
sistema del pendolo con
l’aggiunta del termine
forzante.
(Non autonomo)
Stabilità


Nel piano delle fasi è possibile studiare
un’importante caratteristica del sistema
dinamico: la stabilità.
Essenzialmente essa consiste nella richiesta
che un cambiamento piccolo nelle condizioni
iniziali produca solo un piccolo cambiamento
nella soluzione.
Filmato sulla stabilità
Equilibrio stabile ed instabile
Sistemi dinamici lineari
Prima di passare allo studio della stabilità di un sistema
dinamico, dobbiamo introdurre i sistemi lineari.

Un sistema dinamico si dice lineare quando la funzione F è lineare
in X e dunque il sistema si può scrivere come:
X  AX

A questo punto, basta calcolare gli autovalori della matrice A,
associata al sistema. Esiste, infatti, una classificazione dei punti di
equilibrio legata appunto agli autovalori di A.
In presenza di sistemi non lineari si effettua invece una
linearizzazione in un intorno dei punti critici.
Linearizzazione

Si determinano i punti singolari ponendo
X  0

In un intorno del punto critico si approssima il
sistema con il suo sviluppo in serie di Taylor,
ovviamente arrestato al primo ordine.

Si studiano gli autovalori del sistema linearizzato.
Diversi tipi di equilibri
Equilibrio stabile
Equilibrio instabile
Equilibrio asintoticamente stabile
Punti di equilibrio stabile
Si ha un punto di equilibrio stabile quando le
orbite tendono ad esso per t tendente
all'infinito, lungo ogni direzione. Si parla
perciò di attrattore. Piccoli e successivi
spostamenti da tale punto non provocano
cambiamenti nel comportamento generale del
sistema.
Un sistema linearizzato in un punto di
equilibrio stabile è caratterizzato dal possedere
solo autovalori la cui parte reale è negativa.
Un esempio tipico si rinviene nel sistema che
descrive il moto del pendolo smorzato.
In questo esempio si può osservare
come le orbite siano "attratte" verso
il punto di equilibrio stabile (0,0).
Punti di equilibrio instabile
Si ha un punto di equilibrio instabile quando
le orbite si allontanano da esso per t tendente
all'infinito, lungo ogni direzione. Se il
sistema parte da tale punto critico esso
rimane fermo, ma un minimo scostamento
da esso provoca un cambiamento totale nel
comportamento del sistema, il quale si
allontana dal punto critico. Per tale motivo i
punti di equilibrio instabile sono punti dal
carattere repulsivo. Analiticamente si può
osservare che il sistema, linearizzato in un
intorno di un punto di equilibrio instabile,
presenta solo autovalori la cui parte reale è
positiva.
In questo esempio si può osservare come,
pur partendo da valori molto prossimi al
punto (0,0), le orbite tendano ad allontanarsi
da esso.
Punto di sella
Il punto critico si dice punto di sella quando ci
sono due coppie di orbite asintotiche che
rispettivamente convergono e divergono
asintoticamente, rispetto al punto, lungo
direzioni opposte (tali direzioni sono quelle
specificate dagli autovettori associati agli
autovalori).
Nelle regioni comprese tra i due asintoti le
traiettorie
sono
approssimativamente
iperboliche.
Analiticamente un punto di sella è
caratterizzato da autovalori reali con segno
discorde, ciò appunto per giustificare il
comportamento repulsivo lungo una direzione
e attrattivo lungo l'altra.
Si può notare in tale figura come,
nei pressi del punto di sella (1,1),
le orbite seguano traiettorie iperboliche
nelle regioni comprese tra i due asintoti.
Centri
In alcuni sistemi dinamici, le orbite nel
piano delle fasi sono delle traiettorie
chiuse periodiche. Analiticamente ciò si
presenta quando ci sono solo autovalori
puramente immaginari. Il punto di
equilibrio in questo caso è detto centro.
Un esempio è dato dal sistema del
pendolo in assenza d’attrito.
Cicli limite
In alcuni sistemi dinamici, le orbite del
piano delle fasi non convergono verso
singoli punti critici ma verso una
soluzione periodica.
Tale soluzione viene detta ciclo limite
quando è costituita da una curva chiusa
isolata, cioè che possiede un intorno in
cui non è contenuta nessun'altra
soluzione periodica del sistema.
Un esempio tipico di ciclo limite è
rappresentato nel sistema di van der
Pol.
Si può osservare come sia le orbite interne
che quelle esterne al ciclo limite convergono
ugualmente ad esso.
“Attrattori strani”
Nelle studio di un sistema dinamico si possono
individuare soluzioni caotiche per le quali non
esiste una definizione rigorosa, né è possibile
effettuare previsioni sul comportamento generale
dell'orbita. All'interno di tali sistemi caotici è
possibile individuare tuttavia degli attrattori, detti
attrattori strani.
La caratteristica principale di questi attrattori strani
è la cosiddetta SIC (Sensitivity to initial
conditions), cioè la dipendenza critica dalle
condizioni iniziali. Questo significa che, presi due
punti iniziali arbitrariamente vicini sulla superficie
dell'attrattore, le due traiettorie originatesi dai due
punti divergeranno ben presto in maniera
esponenziale.
Un esempio tipico di
attrattore strano è
l'attrattore di Lorenz.
Osservazione


Si può dunque osservare che una volta trovati gli
autovalori della matrice associata al sistema dinamico
lineare (o linearizzato) avremo informazioni
sul carattere attrattivo o repulsivo delle orbite
osservando il segno della parte reale,
sul modo in cui le traiettorie vengono attratte o respinte
osservando il segno della parte immaginaria.
Classificazione
Autovalori reali
distinti, negativi.
Autovalori reali
distinti, discordi.
Autovalori
immaginari puri.
Autovalori immaginari con
parte reale negativa.
Bacini d’attrazione e linee separatrici
Ogni attrattore è caratterizzato dal suo
bacino
d'attrazione,
che,
per
definizione, è costituito dall'insieme
dei punti da cui hanno origine le orbite
che convergono nell'attrattore per t
tendente all'infinito.
Tutte le orbite che non rientrano nel
bacino d'attrazione di alcun punto
critico sono dette linee separatrici, le
cui traiettorie riescono a “sfuggire”
all'influenza attrattiva dei punti critici.
Spesso tali linee “separano” due zone
di curve dal comportamento differente.
La linea separatrice, disegnata in verde,
segna la separazione fra i due comportamenti
differenti delle orbite nel sistema del pendolo
in assenza d’attrito.
Esempi

Sistema di Lotka-Volterra
(preda-predatore).

Sistema di Van der Pol.

Sistema di Lorenz.
Sistema di Lotka -Volterra
x1 '  k1 x1 (1  x1 / k 2 )  k3 x1 x2
x2 '  k 4 x2  k5 x2 x1



Il sistema preda-predatore descrive gli andamenti di due popolazioni
che interagiscono (le prede e i predatori).
Dallo studio del sistema linearizzato si ottengono tre punti critici
(P1,P2,P3).
Per valori diversi dei parametri di controllo, che regolano il tasso di
nascite, di morte, di crescita, etc, delle due popolazioni; i tre punti critici
assumono nature diverse:



P1 e P2 selle e P3 nodo stabile.
P1 e P2 selle e P3 fuoco o centro.
P1 e P3 selle e P2 nodo stabile.
Piano delle fasi del sistema preda-predatore
I due punti critici segnati sono un
centro (autovalori immaginari
puri ) e una sella (autovalori reali
discordi).
Le due variabili rappresentano le
popolazioni delle prede e dei
predatori. Nel piano delle fasi si
vede come queste popolazioni
variano nel tempo l’una in
funzione dell’altra.
Sistema di Van der Pol



Alcuni modelli biologici di fronte a piccoli disturbi ristabiliscono
nel tempo il loro andamento iniziale. Ciò è dovuto alla presenza
di un ciclo limite.
Un ciclo limite è una soluzione periodica isolata verso la quale
convergono tutte le altre orbite.
Il primo e più semplice modello biologico con tale caratteristica
risiede nelle oscillazioni cardiache. La loro modellizzazione fu
proposta dall’ingegnere elettronico Van der pol nel seguente
sistema:
 x13


x1 '  x2  k1 
 3  x1 


x2 '   x1
Piano delle fasi (dall’interno del ciclo)



Gli andamenti nel piano delle fasi
mostrano la presenza di un ciclo
limite.
Nel grafico sono tracciate delle
soluzioni con condizioni iniziali
all’interno del ciclo.
Si osserva che il centro del ciclo è un
fuoco instabile, infatti le soluzioni che
hanno condizione iniziale vicino ad
esso, si allontanano con un andamento
a spirale, fino ad “avvolgersi” sul
ciclo limite.
Piano delle fasi (dall’esterno del ciclo)
Nel grafico sono riportate alcune
traiettorie con condizioni iniziali
all’esterno del ciclo.
Anche queste, come quelle viste
precedentemente, tendono a
raggiungere il ciclo limite.
L’attrattore di Lorenz
A volte, in alcuni sistemi,
non si approda a nessun
ciclo limite, né ad un
equilibrio, ma emerge la
presenza di un attrattore
strano.
L’attrattore di Lorenz ne è
un esempio, ma com’è nato
l’attrattore di Lorenz?
Due aspetti del caos
Non sempre le piccole variazioni nelle condizioni iniziali e/o nei
parametri del sistema provocano solo piccole variazioni nelle
soluzioni.
 Esistono sistemi che sono molto sensibili alle
variazioni dei parametri di controllo (biforcazioni).
 Esistono sistemi per i quali le piccole variazioni nei dati
iniziali degenerano, provocando comportamenti
imprevedibili nelle soluzioni (SIC)
Biforcazione “pozzo-sorgente”



Ci sono sistemi per i quali, pur mantenendo fisse le
condizioni iniziali, una piccola variazione dei
parametri di controllo può condizionare l’intera
stabilità del sistema.
Il valore del parametro che segna la separazione fra
i due comportamenti diversi è detto punto di
biforcazione.
Un tipo di biforcazione è quello detto “pozzosorgente”; esso genera un cambiamento radicale
nel tipo di singolarità: da pozzo a sorgente.
Esempio di biforcazione
Questo sistema presenta un punto di biforcazione per
a = 0. Per valori negativi di a il sistema è
caratterizzato da un “pozzo” nell’origine, che si
trasforma in una “sorgente” quando a assume
valori positivi.
Biforcazione
Ovviamente anche nella musica si nota questo
drastico cambiamento:
a>0
a<0
SIC



La stabilità di un sistema ci garantisce che piccole
variazioni nelle condizioni iniziali possono provocare
solo piccole variazioni nelle soluzioni.
In presenza di sistemi caotici questa proprietà
decade, per cui una piccola variazione nelle
condizioni iniziali può provocare un cambiamento
drastico nelle soluzioni.
Un sistema che presenta questa caratteristica è il
sistema di Lorenz.
L’effetto farfalla
Attrattore di Lorenz e SIC