Il sistema di Lorenz
Permette di descrivere, entro i limiti delle approssimazioni fatte, il comportamento dinamico
di uno strato di fluido che presenta moti convettivi a causa di una differenza di temperatura
applicata fra la superficie inferiore e quella superiore
 Le temperature delle due superfici sono fissate
 Assenza di flusso attraverso le 2 superfici
Le equazioni
X è proporzionale all'intensità del moto convettivo,
Y è proporzionale alla differenza di temperatura fra
le correnti ascendenti e quelle discendenti,
Z è proporzionale alla distorsione dalla linearità del
profilo verticale di temperatura.
, r, b
possono assumere solo valori positivi
dX
 Y  X
dt
dY
  XZ  rX  Y
dt
dZ
 XY  bZ
dt
Soluzioni di equilibrio
Punti di equilibrio del sistema di Lorenz
X  [b(r  1)]
YX
Si ottengono risolvendo il sistema:
X2
Z
b
Le soluzioni di equilibrio sono tre:
S1  (0, 0, 0)
1
2
1
2
S 2  ([b(r  1)] ,[b(r  1)] , r  1)
1
2
1
2
S 3  ([b(r  1)] , [b(r  1)] , r  1)
1
2
Analisi di stabilita’
Esisatono tre autovalori per ogni soluzione di equilibrio, gli atuovalori di
J(S2) e J(S3) coincidono, ed gli autovettori associati ad essi sono
linearmente indipendenti.
Gli autovalori, di J(S2) e J(S3) in funzione di r
In prossimità del valore di r pari a 24.74 le parti reali dei tre autovalori non
risultano essere tutte negative. Da questo punto in poi entriamo in un regime
caotico. Successivamente per r > 30,1 entriamo in un regime caotico alternato
da finestre di periodicità
Attrattore di Lorenz
Schema riassuntivo delle soluzioni e della loro stabilità:
r
0<r<1
r=1
1<r<24,74
S
l
stabilità
S1
l1, l2 , l3 < 0
attrattiva
S2
R
S3
R
S1
l1, l2 , l3 < 0
attrattiva
S2
l1, l2 , l3 < 0
attrattiva
S3
l1, l2 , l3 < 0
attrattiva
S1
l1, l2 <0 , l3 >0
repulsiva
S2
l1, l2 , l3 < 0
attrattiva
S3
l1, l2 , l3 < 0
attattiva
24,74<r<30,1
regime caotico
r>30,1
regime caotico alternato con finestre di periodicità
La mappa di biforcazione
Gli esponenti di Lyapunov
Significato fisico degli esponenti
•
•
•
λ<0
The orbit attracts to a stable fixed point or stable periodic orbit. Negative Lyapunov
exponents are characteristic of dissipative or non-conservative systems (the damped
harmonic oscillator for instance). Such systems exhibit asymptotic stability; the more
negative the exponent, the greater the stability.
λ=0
[The orbit is a neutral fixed point. A Lyapunov exponent of zero indicates that the
system is in some sort of steady state mode. A physical system with this exponent is
conservative. Such systems exhibit Lyapunov stability. Take the case of two identical
simple harmonic oscillators with different amplitudes. Because the frequency is
independent of the amplitude, a phase portrait of the two oscillators would be a pair
of concentric circles. The orbits in this situation would maintain a constant separation,
like two flecks of dust fixed in place on a rotating record.
λ>0
The orbit is unstable and chaotic. Nearby points, no matter how close, will diverge to
any arbitrary separation. All neighborhoods in the phase space will eventually be
visited. These points are said to be unstable. Although the system is deterministic,
there is no order to the orbit that ensues.
una previsione “miope”
| x(t ) || x(t )  x' (t ) | e lt