Stabilità per E.D.O. (II): IL METODO DIRETTO DI LYAPUNOV 19 maggio 2006 Roberta Pappadà Introduzione Il metodo diretto di Lyapunov è un importante metodo per lo studio della stabilità delle soluzioni. Si consideri il sistema dinamico autonomo (1) x f ( x) x n Il metodo diretto di Lyapunov si basa su particolari classi di funzioni V (x ) , caratterizzabili in segno, dette funzioni di Lyapunov; tali funzioni permettono di determinare la stabilità o l’instabilità della soluzione di (1). Nel seguito, senza perdere di generalità, si tratterà solo il caso di stabilità della soluzione nulla. 2 Premesse (1) Si consideri il sistema dinamico autonomo (1) x f (x ) dove x ( x1 ,........, xn ) e f ( x) ( f1 ( x),..........., f n ( x)) . Si assume che f (x) soddisfi le seguenti condizioni: (i) f (x) è definita e continua in x || x || a dove con || x || si indica la norma euclidea di x ; (ii) in ogni punto x0 è soddisfatta la condizione di unicità delle soluzioni x(t ; t0 , x0 ) di (1) ; (iii) f (0) 0 e quindi x(t; t0 ,0) 0 è una soluzione di (1) . 3 Premesse (2) Si consideri una funzione scalare V (x ) continua con derivate parziali prime continue nell’intorno dell’origine. Sono necessarie alcune definizioni preliminari. Definizione: La funzione V (x ) è detta definita positiva se : (i) V (0) 0 , (ii) V ( x ) 0 , per tutti i punti x 0 in . Definizione: La funzione V (x ) è detta semidefinita positiva se : (i) V (0) 0 , (ii) V ( x ) 0 , per tutti i punti x 0 in . 4 Premesse (3) Definizione: derivata rispetto ad un campo vettoriale La derivata V di una funzione V (x ) rispetto al campo vettoriale f (x ) è definita dal prodotto scalare V V (x) : V ( x) f ( x) V ( x) V ( x) f1 ( x) .......... f n ( x) x1 xn V si calcola direttamente dalla conoscenza di V (x ) e del campo vettoriale f (x). 5 Premesse (4) Sia x x(t ) , t0 t t1 , una soluzione di (1); allora, utilizzando la regola di derivazione di funzioni composte, se la funzione V (x ) viene valutata lungo la traiettoria x(t ), si ottiene: V ( x) V ( x) V ( x(t )) V x1 ...... xn x1 xn V ( x) V ( x) f1 ( x) ...... f n ( x) x1 xn Segue che la derivata di V lungo f descrive la variazione temporale della funzione V (x ) quando è calcolata lungo una soluzione x(t ) dell’equazione differenziale, ovvero V V. In seguito si indicherà con V la derivata di V. 6 Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov Se esiste una funzione V (x ) definita positiva, tale che V sia definita negativa, allora la soluzione x(t ) 0 del sistema x f (x) è asintoticamente stabile . Dimostrazione: Dimostriamo che x(t ) 0 è stabile. Poiché V è definita positiva V ( x) min V ( x) 0 per 0 || x || a . Fissato 0 , sia m min V ( x) ; allora m 0 . || x|| Poiché V è continua e V (0) 0 , possiamo scegliere 0 t. c. V ( x0 ) m se || x0 || . Inoltre V definita negativa implica che se t1 t 0 e || x0 || allora si ha : V ( x(t1; t0 , x0 )) V ( x(t0 ; t0 , x0 )) V ( x0 ) m . 7 Ora supponiamo che per un certo t1 t0 risulti || x(t1 ; t0 , x0 ) || con || x0 || . Ma allora si avrebbe V ( x(t1; t0 , x0 )) min V ( x(t1; t0 , x0 )) m e si giungerebbe ad una contraddizione. Quindi se || x0 || , allora la soluzione x(t ; t0 , x0 ) è definita per t t0 e soddisfa || x(t1 ; t0 , x0 ) || . Pertanto x(t ) 0 è stabile . Ora proviamo che x(t ) 0 è asintoticamente stabile. Fissato 0 , si suppone che 0 , 0 e una soluzione x(t ; t0 , x0 ) di (1) tali che || x(t; t0 , x0 ) || , t t0, || x0 || . Inoltre, poiché V è definita negativa e || x(t; t0 , x0 ) || 0, d 0 t. c. V ( x(t ; t0 , x0 )) sup V ( x(t ; t0 , x0 )) d 0 , t t 0. t t0 8 Ciò implica che t V ( x(t ; t0 , x0 )) V ( x0 ) V dt V ( x0 ) d (t t0 ) , t0 ma per t sufficientemente grande il secondo membro della disuguaglianza diventerà negativo assurdo, poiché per ipotesi V è definita positiva. Quindi non esiste 0 t. c. || x(t ; t0 , x0 ) || , e poiché V ( x(t ; t0 , x0 )) é una funzione positiva e decrescente, si ha: lim V ( x(t ; t0 , x0 )) 0 , t da cui lim || x(t ; t0 , x0 ) || 0 t Segue che la soluzione x(t ) 0 é asintoticamente stabile . 9 Dal Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov segue, come corollario, il Teorema di stabilità di Lyapunov : Se esiste una funzione V (x ) definita positiva, tale che V sia semidefinita negativa, allora la soluzione x(t ) 0 di x f (x) è stabile . Definizione: funzione di Lyapunov Una funzione V (x ) che soddisfa le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov è detta funzione di Lyapunov per il sistema corrispondente . 10 Interpretazione geometrica dei Teoremi di stabilità di Lyapunov (1) Consideriamo il caso n 2 . Le curve V ( x, y ) c , con c costante piccola e positiva, costituiscono una famiglia di curve chiuse concentriche che includono l’origine. Le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov implicano che, per curve chiuse sufficientemente piccole, il campo vettoriale definito dal sistema x P ( x, y ) , y Q( x, y ) non è mai diretto verso l’esterno. 11 Interpretazione geometrica dei Teoremi di stabilità di Lyapunov (2) Le ipotesi del Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov implicano che il campo vettoriale definito dal sistema è diretto verso l’interno. Ciò è facilmente intuibile tenendo presente che si suppone Vdefinita positiva e V definita negativa, e che, come già visto, risulta: d V V ( x(t )) V ( x(t )) x (t ) dt V ( x(t )) f ( x(t )) V c 12 Esempi (1) Data l’equazione del secondo ordine x q ( x) 0 con q differenziabile, q (0) 0 e xq( x) 0 , consideriamo il sistema corrispondente: x y y q (x) Le ipotesi assicurano che (0,0) è l’unico punto fisso. L’ energia totale del sistema è data da: x y2 V ( x, y ) q( s )ds 0 2 energia cinetica energia potenziale13 Esempi (2) La funzione La funzione V è differenziabile; V è definita positiva. Infatti: V (0,0) 0 ; V ( x, y ) 0 per ( x, y ) (0,0) ; xq( x) 0 V Vx x V y y q ( x) y y (q ( x)) 0 . Pertanto V è una funzione di Lyapunov e il punto fisso (0,0) è stabile. Per il sistema x y x 3 y x y 3 consideriamo la funzione V ( x, y) x 2 y 2 . 14 Esempi (3) V è definita positiva; V è definita negativa. Infatti: V Vx x V y y 2 x( y x 3 ) 2 y ( x y 3 ) 2( x 4 y 4 ) Pertanto il punto fisso (0,0) è asintoticamente stabile. 15 Teorema di instabilità di Lyapunov Se esiste una funzione V tale che V sia definita positiva ed in ogni intorno dell’origine esista un punto x0 per cui vale V ( x0 ) 0 , allora la soluzione x(t ) 0 del sistema x f (x) è instabile . Dimostrazione: Sia R 0 , sufficientemente piccolo , tale che la palla S ( R) { x | || x || R } sia contenuta in . Sia M max V ( x) ed M è finito in quanto V è continua. Scelto r 0 tale che || x|| R 0 r R , per le ipotesi esiste un punto x0 tale che 0 || x0 || r e V ( x0 ) 0 . 16 Lungo la traiettoria C : x x(t ; t0 , x0 ) , t t0 , V ' è positiva e quindi V ( x(t; t0 , x0 )) , t t0 , è una funzione crescente e V ( x(t; t0 , x0 )) 0 . Segue che C non può avvicinarsi all’origine. Inoltre, poiché V ' è definita positiva, si ha : e quindi inf V ( x(t ; t0 , x0 )) m 0 t t 0 t V ( x(t ; t0 , x0 )) V ( x0 ) V dt V ( x0 ) m(t t0 ) , ovvero t0 V ( x(t ; t0 , x0 )) V ( x0 ) m(t t0 ) per t t0 . Ma per t sufficientemente grande, il secondo membro della disuguaglianza diviene più grande di M e quindi C si allontana dalla palla S (R) . Segue che la soluzione x(t ) 0 è instabile. 17 Esempio Per il sistema x 3x y 2 y 2 y x 3 consideriamo la funzione V ( x, y ) x y . V è continua con derivate parziali prime continue; V (0,0) 0 e V ha valori positivi in ogni intorno dell’origine; 2 2 2 3 V Vx x V y y 2 x(3x y ) (2 y)( 2 y x ) (6 x 2 4 y 2 ) (2 xy2 2 yx 3 ) e per | x | e | y | sufficientemente piccoli il segno di V ' è determinato dal primo termine tra parentesi. Inoltre V (0,0) 0 e quindi V ' è definita positiva in un intorno dell’origine. Pertanto il punto fisso (0,0) è instabile. 18 Conclusioni I teoremi di stabilità ed instabilità di Lyapunov non forniscono alcuna informazione circa la costruzione di una funzione di Lyapunov di un sistema. Ciò costituisce la principale difficoltà nell’applicazione del criterio. I teoremi forniscono condizioni sufficienti di stabilità. Tali condizioni non sono necessarie. Le condizioni di stabilità sono locali. In alcuni casi l’intorno dell’origine considerato potrebbe essere anche molto piccolo. Analogamente a quanto fatto per il sistema dinamico autonomo x f (x) , il metodo diretto di Lyapunov può essere applicato allo studio della stabilità delle soluzioni del sistema non autonomo x f (t , x ) , dove x x(t ) ( x1 (t ),...., xn (t )) e f (t , x) ( f1 (t , x),......, f n (t , x)) . 19