Università degli Studi di Roma
Tor Vergata
Facoltà di Ingegneria
Tesi di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi
Sistemi ibridi: stabilità ed applicazioni
al controllo
Laureando
Giulio Iacobelli
Relatore
Francesco Martinelli
SOMMARIO
►Sistemi
Ibridi
►Sistemi Switched
►Stabilità
►Controllo
►Conclusioni
Sistemi ibridi
Dinamica discreta
Dinamica continua
Sistemi di controllo del traffico aereo
Modelli matematici
Sistemi manifatturieri
Processi chimici
►
Perché introdurre un sistema ibrido ?
►
Esiste un approccio formale ad analizzare i sistemi ibridi ?
►
Quali sono i problemi associati a una dinamica ibrida ?
Dinamica continua
Sistema di equazioni differenziali
 . 
 x, x, w   0


Dinamica discreta
( L, A, E )
L
A
E
li
ai
li , ai , li 1 
Automa a stati finiti
Sistema ibrido
Inv(l)

X
Diversi approcci
Comportamento discreto
Sistemi continui con
eventi di COMMUTAZIONE
Sistemi switched
Eventi di switching
Autonomi
Controllati
Stato-dipendenti
Tempo-dipendenti
Stato-dipendenti
Tempo-dipendenti
.
x
=
f p x 
f p x  = A p x
pP
Ap  R
n n
Segnale di switching
σ : [0, ∞) → P
.
x
=
f p x 
tempi di switching
x f  t   x 
.
=
discontinuità
Superfici di switching predeterminate
switching autonomo
Legge che definisce 
switching controllato
t  sconosciuta
Evoluzione del sistema regolata
Stabilità
Che cosa si intende per stabilità dei sistemi switched ?
Trovare le condizioni che garantiscono l’asintotica stabilità di un sistema
switched per arbitrari segnali di switching
Se un sistema switched non è asintoticamente stabile per ogni segnale di
switching, identificare quali segnali stabilizzano asintoticamente il sistema
Sconosciuto
Troppo complicato per essere utile all’analisi della stabilità
Se alcuni o tutti i sottosistemi sono asintoticamente stabili
Tutti i sottosistemi sono instabili
Stabilità di Lyapunov
(teorema di Lyapunov)
.
x
=
f x 
se esiste
x*
V
V xt  = 0
.
(stabile)
(as. stabile)
Stabilità sotto arbitrari switching
Asintotica stabilità
Uniforme asintotica stabilità
Possibilità di estendere il teorema alla famiglia di sistemi switched
.
x
=
f p x 
V
f p x  
x
Esistenza funzione di Lyapunov
comune
-W
x   x
GUAS
pP
.
x
=
Ax
Asintotica stabilità = Hurwitz
Sistemi lineari switched
stabilità
Esistenza di V
V x   x Px
A p P  PAp
T
T
x quadratica
Quadratica stabilità
GUES
.
x  A1 x
.
x  A2 x
commutano
A1, A2   A1A2  A2 A1  0
A1, A 2 as.stabili
GUES
<0
Stabilità sotto particolari switching
x
x  , x = f 2 x 
.
.
= f1
a.s.
V ti 1  t i   V ti  t i 
V1 ,V2
( t i , t j ), i < j  t i  =  t j  = p
V p xt j  - V p xt i  ≤ - W p xt i 
Controllo
Sistema di controllo
Tempo continuo
controllore
Controllo
Feedback continuo
- ostacoli dello spazio di stato
- vincoli anolonomi
Ostacoli dello spazio di stato
.
x
=
f x 
x  f  x, u 
.
f 0 = 0
Legge feedback
continua
Globale asintotica
stabilizzazione
u  k x 
X non è
semplicemente connesso
0 punto di equiibrio
as. stabile
Ostacolo
proprietà
topologiche
di X
Locale as. stabilizzazione attraverso un feedback continuo sia impossibile
N ( x* )
Ostacolo è insito nel sistema di equazioni
Theorem (Brockett)
x, u 
x  f  x, u 
.
f x, u 
N (0,0)
u  k x 
N (0)
origine punto
asintoticamente
stabile
Vincolo anolonomo in un sistema
Robot mobile
.
x 1  u1 cos 
.
x 2  u1 sin 
.
  u2
Vincolo di puro rotolamento
as. stabilizzazione
Brockett violato
veicolo nell’origine
Non può essere stabilizzato con un feedback continuo
.
r u
.
Attraverso cambi di coordinate
 v r
.
z  rv
(r  0)
u  r 2
v  z
La legge feedback
.
Il sistema diviene
r  r
.
z
 
r
.
z  rz
2
r t  
1
t 1
t
r 0
 r  d
z t   e 0
z 0
r 0  0
r t , zt   0
r 0  0
Una legge di controllo che muova lo stato lontano da z
Risultati dell’implementazione mediante MATLAB
r 0 
0
xx1010 30
10
50
xx2020 29
06
2
00 10.7.1
Conclusioni
►
I sistemi ibridi che rappresentano un’interazione tra dinamica continua
e discreta e che hanno permesso di stabilizzare un sistema di controllo
altrimenti non risolubile.
►
Le considerazioni intorno alle due questioni fondamentali relative alla
stabilità dei sistemi switched hanno consentito l’individuazione di
condizioni necessarie e sufficienti alla stabilità dei sistemi stessi.
►
L’implementazione di una legge di controllo a commutazione per la
movimentazione di un veicolo con vincoli anolonomi.
►
Come possibile sviluppo di questo lavoro si potrebbe ricercare un
controllo ibrido che, oltre ad assicurare l’asintotica stabilità del veicolo,
ponga dei vincoli sul numero di oscillazioni in modo tale da renderne
più uniforme l’andamento asintotico e migliorarne così la
stabilizzazione.