Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Analisi asintotica dell’equazione risolvente
per valori grandi del parametro
J. J. Benavides
Dipartimento di Matematica "Ulisse Dini"
Università degli studi di Firenze.
11 ottobre 2007
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
1
Introduzione
Qualche Motivazione
Il nostro approccio
2
Analisi asintotica di una perturbazione singolare
dell’equazione iconale
3
I primi termini dello sviluppo asintotico
4
Conclusioni e lavoro futuro
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Qualche Motivazione
L’analisi asintotica delle soluzioni dell’equazione del calore si è
rivelato utile nello studio di alcune proprietà geometriche di tali
soluzioni. Per esempio in un lavoro di Magnanini e Sakaguchi
(Annals of Mathematics, 156 (2002)) considerando il seguente
problema al contorno per l’equazione del calore:
Un problema al contorno per l’equazione del calore


per x ∈ Ω × (0, ∞),
ut = ∆u
u(x, 0) = 0 per x ∈ Ω,


u(x, t) = 1 per x ∈ ∂Ω, t > 0,
(1)
dove Ω è un dominio limitato di Rn che soddisfa la condizione
della sfera esterna.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Si dimostra che:
Una conseguenza dell’esistenza di superfici isotermiche
invarianti
Se esiste un dominio D tale che:
(i) Γ = ∂D soddisfa la condizione del cono interno,
(ii) D̄ ⊂ Ω,
(iii) u(x, t) = a(t) per (x, t) ∈ Γ × [0, ∞) per qualche
a : (0, ∞) → (0, 1).
Allora il dominio Ω è una sfera.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Si dimostra che:
Una conseguenza dell’esistenza di superfici isotermiche
invarianti
Se esiste un dominio D tale che:
(i) Γ = ∂D soddisfa la condizione del cono interno,
(ii) D̄ ⊂ Ω,
(iii) u(x, t) = a(t) per (x, t) ∈ Γ × [0, ∞) per qualche
a : (0, ∞) → (0, 1).
Allora il dominio Ω è una sfera.
Superfici Isotermiche Invarianti (o Stazionarie)
Una ipersuperficie Γ ⊂ Ω di dimensione n − 1 per cui vale la (iii)
viene detta una superficie isotermica invariante.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Questa dimostrazione si basa sul fatto che se Ω contiene una
superficie isotermica invariante, essa è parallela a ∂Ω e vale la
formula:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Questa dimostrazione si basa sul fatto che se Ω contiene una
superficie isotermica invariante, essa è parallela a ∂Ω e vale la
formula:
n−1
Y
(1 − Rκi (y )) = c
(2)
i=1
dove c è una costante, y ∈ ∂Ω,κi (y ) sono le curvature principali
nel punto y e R è la distanza dalla superficie Γ a ∂Ω.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Questa dimostrazione si basa sul fatto che se Ω contiene una
superficie isotermica invariante, essa è parallela a ∂Ω e vale la
formula:
n−1
Y
(1 − Rκi (y )) = c
(2)
i=1
dove c è una costante, y ∈ ∂Ω,κi (y ) sono le curvature principali
nel punto y e R è la distanza dalla superficie Γ a ∂Ω.
Quando ∂Ω è limitato, (2) implica che Ω è una sfera per un
teorema di Aleksandrov (Amer. Math. Soc Translations No 21
(1962))
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Nella dimostrazione di (2), si sfrutta essenzialmente il
comportamento per tempi piccoli della soluzione del problema
(1). Infatti la dimostrazione si basa su:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Nella dimostrazione di (2), si sfrutta essenzialmente il
comportamento per tempi piccoli della soluzione del problema
(1). Infatti la dimostrazione si basa su:
La presenza di un Boundary Layer quando t → 0.
Il fatto che Γ risulta essere una superficie analitica e
parallela a ∂Ω.
Per
R ogni x ∈ Γ il contenuto calorico nel tempo t,
Br (x0 ) u(x, t)dx, in Br (x) con r < R rimane costante.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Qualche Motivazione
Nella dimostrazione di (2), si sfrutta essenzialmente il
comportamento per tempi piccoli della soluzione del problema
(1). Infatti la dimostrazione si basa su:
La presenza di un Boundary Layer quando t → 0.
Il fatto che Γ risulta essere una superficie analitica e
parallela a ∂Ω.
Per
R ogni x ∈ Γ il contenuto calorico nel tempo t,
Br (x0 ) u(x, t)dx, in Br (x) con r < R rimane costante.
In questa tesi abbiamo sviluppato un approccio alternativo a
questo problema, che apre la possibilità di un futuro studio sia
nel caso di domini non limitati che nel caso di domini contenuti
in una varietà Riemanniana.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Il Nostro Approccio
Sia u una soluzione del problema (1), dove Ω ⊂ Rn è un aperto
limitato con frontiera regolare (di classe C ∞ ). Consideriamo la
seguente trasformata di u,
Z ∞
2
U(x, s) = s2
u(x, t)e−s t dt.
0
Abbiamo allora che U soddisfa,
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Il Nostro Approccio
Sia u una soluzione del problema (1), dove Ω ⊂ Rn è un aperto
limitato con frontiera regolare (di classe C ∞ ). Consideriamo la
seguente trasformata di u,
Z ∞
2
U(x, s) = s2
u(x, t)e−s t dt.
0
Abbiamo allora che U soddisfa,
∆U(x, s) = s
2
2
2
([u(x, t)e−s t ]∞
0 +s
Z
0
∞
2
u(x, t)e−s t dt) = s2 U(x, s),
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Il Nostro Approccio
Sia u una soluzione del problema (1), dove Ω ⊂ Rn è un aperto
limitato con frontiera regolare (di classe C ∞ ). Consideriamo la
seguente trasformata di u,
Z ∞
2
U(x, s) = s2
u(x, t)e−s t dt.
0
Abbiamo allora che U soddisfa,
∆U(x, s) = s
2
2
2
([u(x, t)e−s t ]∞
0 +s
Z
∞
2
u(x, t)e−s t dt) = s2 U(x, s),
0
e quindi U è soluzione del seguente problema al contorno:
Un problema al contorno per l’equazione Risolvente
(
∆U(x, s) = s2 U(x, s)
in Ω,
R ∞ −s2 t
2
U(x, s) = s 0 e
dt = 1 in ∂Ω.
(3)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Se v (x, s) è tale che U(x, s) = e−sv (x,s) , abbiamo che
DU = −sUDv , da cui:
s2 U = ∆U = −s · div(UDv )
= −s(DU · Dv + U∆v )
= −s(−sU|Dv |2 + U∆v );
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Se v (x, s) è tale che U(x, s) = e−sv (x,s) , abbiamo che
DU = −sUDv , da cui:
s2 U = ∆U = −s · div(UDv )
= −s(DU · Dv + U∆v )
= −s(−sU|Dv |2 + U∆v );
concludiamo allora che v (x, s) è soluzione del problema
(
−s−1 ∆v + |Dv |2 = 1 per x ∈ Ω,
v =0
per x ∈ ∂Ω.
(4)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Se poniamo ε = s−1 e v = uε possiamo scrivere il problema (4)
della forma:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Se poniamo ε = s−1 e v = uε possiamo scrivere il problema (4)
della forma:
Il problema approssimato
(
−ε∆uε + |Duε |2 − 1 = 0
uε = 0
in Ω,
in ∂Ω,
(5)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il nostro approccio
Se poniamo ε = s−1 e v = uε possiamo scrivere il problema (4)
della forma:
Il problema approssimato
(
−ε∆uε + |Duε |2 − 1 = 0
uε = 0
in Ω,
in ∂Ω,
(5)
che per valori piccoli del parametro ε (rispettivamente valori
grandi del parametro s) si può vedere come
un’approssimazione del seguente problema al contorno per
l’equazione iconale.
Un problema al contorno per l’equazione iconale
(
|Du0 |2 − 1 = 0 in Ω,
u0 = 0
in ∂Ω.
(6)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Analisi asintotica di una perturbazione singolare dell’equazione
iconale
In un lavoro di Fleming e Souganidis (Indiana Univ. Math. J. 35,
No 2 (1986)), si dimostra un risultato di vicinanza tra le
soluzione uε di (5) e la soluzione di viscosità u0 di (6). Più
precisamente considerando
Ωδ
Ωδ = {x ∈ Ω̄ : d(x) < δ},
dove
d(x) = d(x, ∂Ω) = inf |x − y |,
y ∈∂Ω
si dimostra che:
(7)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Teorema (Fleming, Souganidis)
Siano uε le soluzioni dei problemi (5) al variare di ε e δ > 0 tale
che u0 ∈ C ∞ (Ωδ ) dove u0 è la soluzione di viscosità del
problema (6). Allora per ogni m ∈ N, risulta che
uε = u0 + εu1 + ε2 u2 + ... + εm um + o(εm ) per ε → 0
(8)
uniformemente nei sottoinsiemi compatti di Ωδ . I coefficienti u1 ,
u2 ,..., um sono di classe C ∞ in Ωδ e soddisfano i problemi

P
0
Dui · Duj per x ∈ Ωδ

2Du · Dum = ∆um−1 −
1≤i,j≤m
(9)
i+j=m


um = 0
per x ∈ ∂Ω
per m = 1, 2, 3, ...
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Tornando alle superfici invarianti...
Osserviamo adesso che se Γ è una superficie isotermica
invariante per u soluzione del problema (1), allora su Γ
abbiamo che:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Tornando alle superfici invarianti...
Osserviamo adesso che se Γ è una superficie isotermica
invariante per u soluzione del problema (1), allora su Γ
abbiamo che:
U(x, s) = s
2
Z
∞
u(x, t)e
0
−s2 t
dt = s
2
Z
0
∞
2
a(t)e−s t dt = A(s).
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Tornando alle superfici invarianti...
Osserviamo adesso che se Γ è una superficie isotermica
invariante per u soluzione del problema (1), allora su Γ
abbiamo che:
U(x, s) = s
2
Z
∞
u(x, t)e
0
−s2 t
dt = s
2
Z
∞
2
a(t)e−s t dt = A(s).
0
così, fissando s, al variare di x, U(x, s) rimane costante sulla
superficie Γ. Dunque fissando ε anche il termine uε rimane
costante su Γ e quindi anche i termini u0 , u1 , u2 , .... Vediamo
adesso che informazione possiamo ricavare da questo fatto
trovando i termini u0 , u1 e u2 .
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
I primi termini dello sviluppo asintotico
u0
È un risultato noto che la funzione distanza d(x) è una
soluzione di viscosità per il problema (6) e data l’unicità delle
soluzioni di viscosità abbiamo che u0 = d in Ω̄. Abbiamo in
particolare che il fatto che u0 sia costante su Γ ci dice che la
superficie Γ è parallela a ∂Ω, come già dimostrato nel lavoro di
Magnanini e Sakaguchi.
Dato che stiamo supponendo ∂Ω di classe C ∞ è un risultato
noto che esiste δ > 0 tale che
d(x) ∈ C ∞ (Ωδ ),
(10)
da questo punto in poi quando parleremo di Ωδ sarà per δ tale
che la (10) venga soddisfatta.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Per trovare u1 abbiamo bisogno di richiamare il seguente
risultato classico sulla funzione distanza
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Per trovare u1 abbiamo bisogno di richiamare il seguente
risultato classico sulla funzione distanza
Lemma
Dato x ∈ Ωδ e y (x) ∈ ∂Ω, il punto più vicino a x, consideriamo il
sistema coordinato dove l’asse xn è diretto lungo la normale
interna in y (x) e gli assi x1 , x2 , ..., xn−1 sono diretti lungo le
direzioni principali di ∂Ω nel punto y (x). Nel sistema coordinato
appena dato abbiamo che
Dd(x) = (0, ..., 1) = ν(y (x))
(11)
κ1 (y (x))
κn−1 (y (x))
2
, ...,
,0
D d(x) = −diag
1 − κ1 (y (x))d(x)
1 − κn−1 (y (x))d(x)
(12)
dove i κi (y (x)) sono le curvature principali nel punto y (x) ∈ ∂Ω.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
D’altra parte abbiamo che per u1 il problema (9) diventa:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
D’altra parte abbiamo che per u1 il problema (9) diventa:
(
2Dd(x) · Du1 (x) = ∆d(x) for x ∈ Ωδ
u1 (x) = 0
per x ∈ Ω̄δ ∩ ∂Ω,.
(13)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
D’altra parte abbiamo che per u1 il problema (9) diventa:
(
2Dd(x) · Du1 (x) = ∆d(x) for x ∈ Ωδ
u1 (x) = 0
per x ∈ Ω̄δ ∩ ∂Ω,.
(13)
Per risolvere questo problema consideriamo ϕ la funzione
definita da,
ϕ(t) = u1 (x) = u1 (y + tν(y )) = u1 (y + tDd(x))
risulta che:
ϕ0 (t) = Du1 (y + tDd(x)) · Dd(x)
Possiamo allora scrivere il problema 13 come un problema di
Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria del primo
ordine:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
D’altra parte abbiamo che per u1 il problema (9) diventa:
(
2Dd(x) · Du1 (x) = ∆d(x) for x ∈ Ωδ
u1 (x) = 0
per x ∈ Ω̄δ ∩ ∂Ω,.
(13)
Per risolvere questo problema consideriamo ϕ la funzione
definita da,
ϕ(t) = u1 (x) = u1 (y + tν(y )) = u1 (y + tDd(x))
risulta che:
ϕ0 (t) = Du1 (y + tDd(x)) · Dd(x)
Possiamo allora scrivere il problema 13 come un problema di
Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria del primo
ordine:
(
P
κi (y )
ϕ0 (t) = − 12 N−1
per t ∈ (0, δ),
i=1 1−tκi (y )
(14)
ϕ(0) = 0.
Introduzione
Analisi Asintotica
che ha come soluzione:
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
che ha come soluzione:
ϕ(t) =
N−1
1X
ln |1 − tκi (y )|,
2
i=1
quindi
Conclusioni e lavoro futuro
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
che ha come soluzione:
ϕ(t) =
N−1
1X
ln |1 − tκi (y )|,
2
i=1
quindi
u1
u1 (x) =
n−1
n−1
i=1
i=1
1 Y
1X
ln(1 − d(x)κi (y )) = ln
(1 − d(x)κi (y ))
2
2
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
che ha come soluzione:
ϕ(t) =
N−1
1X
ln |1 − tκi (y )|,
2
i=1
quindi
u1
u1 (x) =
n−1
n−1
i=1
i=1
1 Y
1X
ln(1 − d(x)κi (y )) = ln
(1 − d(x)κi (y ))
2
2
Osserviamo che il fatto che u1 sia costante nella superficie
isotermica invariante Γ implica la formula (2) dimostrata nel
lavoro di Magnanini e Sakaguchi.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Passiamo adesso a calcolare u2 . Per u2 il problema (9) diventa:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Passiamo adesso a calcolare u2 . Per u2 il problema (9) diventa:
(
2Dd(x) · Du2 (x) = ∆u1 (x) − |Du1 (x)|2
u2 (x) = 0
in Ωδ
for x ∈ Ωδ ∩ ∂Ω
(15)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Passiamo adesso a calcolare u2 . Per u2 il problema (9) diventa:
(
2Dd(x) · Du2 (x) = ∆u1 (x) − |Du1 (x)|2
u2 (x) = 0
in Ωδ
for x ∈ Ωδ ∩ ∂Ω
(15)
Come prima il primo paso sarà calcolare ∆u1 (x) − |Du1 (x)|2
nel sistema dato per le direzioni principali nel punto y ∈ ∂Ω più
vicino a x. Per fare questo saranno fondamentali le seguenti
osservazioni:
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Passiamo adesso a calcolare u2 . Per u2 il problema (9) diventa:
(
2Dd(x) · Du2 (x) = ∆u1 (x) − |Du1 (x)|2
u2 (x) = 0
in Ωδ
for x ∈ Ωδ ∩ ∂Ω
(15)
Come prima il primo paso sarà calcolare ∆u1 (x) − |Du1 (x)|2
nel sistema dato per le direzioni principali nel punto y ∈ ∂Ω più
vicino a x. Per fare questo saranno fondamentali le seguenti
osservazioni:
∂κi
∂xn (y (x))
= 0 per ogni i = 1, ..., n − 1. Questo si deve al
fatto che la direzione xn coincide con la direzione della
normale, per cui, al variare di x lungo la normale il punto
y (x) non varia e pertanto anche κi (y (x)).
Introduzione
Analisi Asintotica
∂d
∂xi (x)
I primi termini dello sviluppo asintotico
= 0 per i 6= n e
∂d
∂xn (x)
Conclusioni e lavoro futuro
= 1. Questo si ha per la (11).
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
∂d
∂d
∂xi (x) = 0 per i 6= n e ∂xn (x) = 1. Questo si ha per la (11).
∂κi
∂κi
1
∂xj (y (x)) = ∂yj (y ) 1−d(x)κj (y ) . Infatti sostituendo t = d(x)
abbiamo che y = x − tν(y ) da cui otteniamo che
∂yl
∂νl
= δlj − t
=[1 − tκj (x)]δlj =
∂xj
∂xj
tκj (y )
= 1+
δlj
1 − tκj (y )
δlj
=
.
1 − tκj (y )
Quindi
n
X ∂κi
δlj
∂κi
1
∂κi
(y (x)) =
(y )
=
(y )
.
∂xj
∂yl
1 − tκj (y )
∂yj
1 − d(x)κj (y )
l=1
(16)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Possiamo calcolare adesso le derivate di u1 . Per semplificare le
i
notazioni scriveremo ∂j κi (y ) invece di ∂κ
∂yj (y ). Abbiamo allora,
n−1
X
∂j κi (y )
∂u1
1
d(x)
(y (x)) = −
∂xj
2 (1 − d(x)κj (y ))
1 − d(x)κi (y )
i=1
j = 1, ..., n − 1
n−1
∂u1
1X
κi (y )
(y (x)) = −
,
∂xn
2
1 − d(x)κi (y )
i=1
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
n−1
∂j κi (y )
∂ 2 u1
1 d 2 (x)∂j κj (y ) X
(y (x)) = −
2
3
2
1
−
d(x)κi (y )
(1 − dκj (y ))
∂xj
i=1
−
−
n−1
X
∂jj κi (y )
d(x)
1
2
2 (1 − d(x)κj (y ))
1 − d(x)κi (y )
d(x)2
1
2 (1 − d(x)κj (y ))2
n−1
i=1
n−1
X
i=1
∂j κi (y )2
(1 − dκi (y ))2
1X
∂ 2 u1
κi (y )2
(y
(x))
=
−
2
(1 − d(x)κi (y ))2
∂xn2
i=1
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Usando questi risultati, ponendo d(x) = t, possiamo scrivere
∆u1 (x) − |Du1 (x)|2 = F (t) dove
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Usando questi risultati, ponendo d(x) = t, possiamo scrivere
∆u1 (x) − |Du1 (x)|2 = F (t) dove
n−1
n−1
κ2i
κi κl
1X
1X
−
F (t) = −
−
2
2
4
(1 − tκi )(1 − tκl )
(1 − tκi )
i=1
−
−
n−1
t2 X
2
i,j=1
i,l=1
n−1
(∂j κi )(∂j κj )
∂jj κi
t X
−
−
3
(1 − tκj ) (1 − tκi ) 2
(1 − tκj )2 (1 − tκi )
i,j=1
n−1
(∂j κi )2
t2 X
−
2
(1 − tκj )2 (1 − tκi )2
i,j=1
−
n−1
(∂i κi )(∂j κl )
d2 X
,
4
(1 − tκi )(1 − tκl )(1 − tκj )2
i,j,l=1
(17)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Procedendo adesso analogamente a come si è fatto per u1 ,
possiamo scrivere il problema (15) come un problema di
Cauchy per una equazione differenziale ordinaria del primo
ordine:
(
ϕ0 (t) = 12 F (t) per t ∈ (0, δ),
(18)
ϕ(0) = 0.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Procedendo adesso analogamente a come si è fatto per u1 ,
possiamo scrivere il problema (15) come un problema di
Cauchy per una equazione differenziale ordinaria del primo
ordine:
(
ϕ0 (t) = 12 F (t) per t ∈ (0, δ),
(18)
ϕ(0) = 0.
Dunque
u2
u2 (x) =
1
2
Z
d(x)
F (t)dt.
0
(19)
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Conclusioni e lavoro futuro
Informazioni contenute nell’espressione di u2
Un primo obbiettivo sarà di trovare un’espressione per u2
analoga a quella di u1 , data in funzione di certi invarianti
geometrici (curvature medie, curvature di Gauss etc.).
Speriamo così, che dal fatto che u2 sia costante su una
superficie isotermica invariante Γ, potremo ottenere nuove
informazioni che ci permetteranno di affrontare il caso di domini
non limitati.
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
Il caso Riemanniano
I calcoli per U(x) e v (x) da cui siamo partiti si possono ripetere
in maniera del tutto analoga nel caso Riemanniano. Così, la
possibilità di una generalizzazione dei risultati appena trattati,
dipende dalla generalizzazione del teorema di Fleming e
Souganidis. Questo teorema dipende da certe maggiorazioni
2
fate su uε (x), |Duε (x)| e ∂∂xu2ε (x), che dipendono dalla struttura
i
dell’equazione differenziale (5). Sembra allora plausibile che
tale maggiorazioni siano vere anche nel caso più generale.
Resta comunque il problema di generalizzare i calcoli di u1 e u2 .
Introduzione
Analisi Asintotica
I primi termini dello sviluppo asintotico
Conclusioni e lavoro futuro
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